北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全冊(cè)教案 第六章 證明（一）

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1、 第六章 證明（一） 6.1 你能肯定嗎 一、教學(xué)目標(biāo) 1.通過觀察、猜測(cè)得到的結(jié)論不一定正確. 2.讓學(xué)生初步了解，要判定一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否，需要進(jìn)行有根有據(jù)的推理. 二、教學(xué)過程 1.在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常采用觀察的方法來了解世界.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們通過觀察、度量、猜測(cè)來得到一些結(jié)論.那這樣得到的結(jié)論都是正確的嗎？如果不是，那么用什么方法才能說明它的正確性呢？ 下面我們來動(dòng)手畫一畫，然后歸納、總結(jié)。 如上圖，四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)分別為E、F、G、H.度量四邊形EFGH的邊和角，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？ 畫出四邊形ABCD，找到四邊形的中點(diǎn)E、F、G、H后，量了量四邊

2、形EFGH的邊發(fā)現(xiàn)：EF=GH，EH=GF.角∠EHG=∠EFG，∠HEF=∠HGF. 由此說明：四邊形EFGH是平行四邊形. 如果改變四邊形ABCD的形狀，你還能得到類似的結(jié)論嗎？ 改變了四邊形ABCD的形狀后，它們四邊的中點(diǎn)所圍成的四邊形EFGH仍然是對(duì)邊相等、對(duì)角也相等.即：四邊形EFGH是平行四邊形. 在八年級(jí)上冊(cè)我們已經(jīng)知道：連接三角形的兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線.由于E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，所以可把這個(gè)四邊形變?yōu)閮蓚€(gè)三角形.即：可以連接AC，也可以連接BD.把四邊形ABCD變?yōu)椤鰽BC與△ADC或△ABD與△BDC. 現(xiàn)在我們來連接AC。如上圖

3、 在△ABC中，EF是△ABC的中位線，根據(jù)“三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半”可得：EF平行于AC且等于AC的一半. 同樣，在△ADC中，GH是△ADC的中位線，則GH平行于AC且等于AC的一半. 由“兩直線都與第三條直線平行，則這兩條直線互相平行”可知：EF∥GH.又因?yàn)椋篍F=AC，GH=AC，所以得EF=GH.這樣由平行四邊形的判定：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.可以得到：四邊形EFGH是平行四邊形. 即：連接AC 2 / 27 剛才我們連接了四邊形的對(duì)角線后，通過推理得證了：連接任意四邊形四邊的中點(diǎn)所組成的圖形是平行四邊形. 注：本題連接

4、BD與連接AC的推理過程一樣. 通過觀察、猜測(cè)、度量得到的結(jié)論是否正確，需要用推理過程得證. 2.當(dāng)n=0、1、2、3、4、5時(shí)，代數(shù)式n2－n+11的值是質(zhì)數(shù)嗎？你能否得到結(jié)論：對(duì)于所有自然數(shù)n,n2－n+11的值都是質(zhì)數(shù)？ 當(dāng)n=0時(shí)，n2－n+11=11. 當(dāng)n=1時(shí)，n2－n+11=11. 當(dāng)n=2時(shí)，n2－n+11=13. 當(dāng)n=3時(shí)，n2－n+11=17. 當(dāng)n=4時(shí)，n2－n+11=23. 當(dāng)n=5時(shí)，n2－n+11=31. 由此可知：當(dāng)n=0、1、2、3、4、5時(shí)，代數(shù)式n2－n+11的值都是質(zhì)數(shù). 這樣我們就可以得到結(jié)論：對(duì)于所有自然數(shù)n,n2－n+11的

5、值都是質(zhì)數(shù). 6.2 定義與命題 定義與命題（一） 一、教學(xué)目標(biāo) 1.定義的意義 2.命題的概念 二、教學(xué)過程 1.講授新課 “兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離”是“兩點(diǎn)之間的距離”的定義. “在一個(gè)方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1，這樣的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定義. “兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”是“平行四邊形”的定義. “角是由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形”是“角”的定義. …… 定義就是對(duì)名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定. 如圖，某地區(qū)境內(nèi)有一條大河，大河的水流入許多小河中，圖中A、B、C、D

6、、E、F、G、H、I、J、K處均有一個(gè)化工廠，如果它們向河中排放污水，下游河流便會(huì)受到污染. 圖6－6 如果B處工廠排放污水，那么__________處便會(huì)受到污染； 如果C處受到污染，那么__________處便受到污染； 如果E處受到污染，那么__________處便受到污染； …… 如果環(huán)保人員在h處測(cè)得水質(zhì)受到污染，那么你認(rèn)為哪個(gè)工廠排放了污水？你是怎么想的？ 如果B處工廠排放污水，那么a、b、c、d處便會(huì)受到污染。 如果B處工廠排放污水，那么e、f、g處也會(huì)受到污染的。 如果C處受到污染，那么a、b、c處便受到污染。 如果C處受到污染，那么d處也會(huì)受到

7、污染的。 如果E處受到污染，那么a、b處便會(huì)受到污染.。 如果h處受到污染，我認(rèn)為是A處的那個(gè)工廠或B處的那個(gè)工廠排放了污水.因?yàn)锳處工廠的水向下游排放，B處工廠的污水也向下游排放。 …… 在假設(shè)的前提條件下，對(duì)某一處受到污染作出了判斷.像這樣，對(duì)事情作出判斷的句子，就叫做命題. 即：命題是判斷一件事情的句子.如： 熊貓沒有翅膀. 對(duì)頂角相等. 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等. 無論n為任意的自然數(shù)，式子n2－n+11的值都是質(zhì)數(shù). 內(nèi)錯(cuò)角相等. 任意一個(gè)三角形都有一個(gè)直角. 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行. 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等. …… 三、

8、課堂練習(xí) 1.你能列舉出一些命題嗎？ 答案：舉例略. 2.舉出一些不是命題的語句. 答案：如：①畫線段AB=3 cm. ②兩條直線相交，有幾個(gè)交點(diǎn)？ ③等于同一個(gè)角的兩個(gè)角相等嗎？ ④在射線OA上，任取兩點(diǎn)B、C.等等. 6.3 為什么他們平行 一、教學(xué)目標(biāo) 1.平行線的判定公理. 2.平行線的判定定理. 二、教學(xué)過程 1.講授新課 看命題：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行. 這是一個(gè)文字證明題，需要先把命題的文字語言轉(zhuǎn)化成幾何圖形和符號(hào)語言.所以根據(jù)題意，可以把這個(gè)文字證明題轉(zhuǎn)化為下列形式： 如上圖，已知，∠1和∠2

9、是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角，且∠1與∠2互補(bǔ)，求證：a∥b. 要證明直線a與b平行，可以想到應(yīng)用平行線的判定公理來證明.這時(shí)從圖中可以知道：∠1與∠3是同位角，所以只需證明∠1=∠3，則a與b即平行. 因?yàn)閺膱D中可知∠2與∠3組成一個(gè)平角，即∠2+∠3=180,所以：∠3=180－∠2.又因?yàn)橐阎獥l件中有∠2與∠1互補(bǔ)，即：∠2+∠1=180,所以∠1=180－∠2,因此由等量代換可以知道：∠1=∠3. 證明：∵∠1與∠2互補(bǔ)（已知） ∴∠1+∠2=180（互補(bǔ)的定義） ［∵∠1+∠2=180］ ∴∠1=180－∠2（等式的性質(zhì)） ∵∠3+∠2=180（1平角=180）

10、 ∴∠3=180－∠2（等式的性質(zhì)） ［∵∠1=180－∠2，∠3=180－∠2］ ∴∠1=∠3（等量代換） ［∵∠1=∠3］ ∴a∥b（同位角相等，兩直線平行） 這樣我們經(jīng)過推理的過程證明了一個(gè)命題是真命題，我們把這個(gè)真命題稱為：直線平行的判定定理. 這一定理可簡單地寫成： 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行. 注意：（1）已給的公理，定義和已經(jīng)證明的定理以后都可以作為依據(jù).用來證明新定理. （2）方括號(hào)內(nèi)的“∵∠1+∠2=180”等，就是上面剛剛得到的“∴∠1+∠2=180”，在這種情況下，方括號(hào)內(nèi)的這一步可以省略. （3）證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”.這些根據(jù)，

11、可以是已知條件，也可以是定義、公理，已經(jīng)學(xué)過的定理.在初學(xué)證明時(shí)，要求把根據(jù)寫在每一步推理后面的括號(hào)內(nèi). 例1 已知，如上圖，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的內(nèi)錯(cuò)角，且∠1=∠2. 求證：a∥b 證明：∵∠1=∠2（已知） ∠1+∠3=180（1平角=180） ∴∠2+∠3=180（等量代換） ∴∠2與∠3互補(bǔ)（互補(bǔ)的定義） ∴a∥b（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）. 這樣我們就又得到了直線平行的另一個(gè)判定定理 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行. 這一定理可以簡單說成： 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行. 例2 已知，如下圖，直線a⊥c

12、,b⊥c. 求證：a∥b. 證明：∵a⊥c,b⊥c（已知） ∴∠1=90∠2=90（垂直的定義） ∴∠1=∠2（等量代換） ∴b∥a（同位角相等，兩直線平行） 由此可以得到：“如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”的結(jié)論. 三、課堂練習(xí) 蜂房的底部由三個(gè)全等的四邊形圍成，每個(gè)四邊形的形狀如圖6－17所示，其中∠α=10928′,∠β=7032′,試確定這三個(gè)四邊形的形狀，并說明你的理由. 解：這三個(gè)四邊形的形狀是平行四邊形. 理由是：∵∠α=10928′∠β=7032′（已知） ∴∠α+∠β=180（等式的性質(zhì)） ∴AB∥CD，AD∥BC（同旁內(nèi)角

13、互補(bǔ)，兩直線平行） ∴四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形的定義） 5.4 如果兩條直線平行 一、教學(xué)目標(biāo) 1.平行線的性質(zhì)定理的證明. 2.證明的一般步驟. 二、教學(xué)過程 1.講授新課 在前一節(jié)課中，我們知道：“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等”這個(gè)真命題是公理，這一公理可以簡單說成： 兩直線平行，同位角相等. 例 已知，如圖6－24，直線a∥b,∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角. 求證：∠1+∠2=180. 證明：∵a∥b（已知） ∴∠3=∠2（兩直線平行，同位角相等） ∵∠1+∠3=180（1平角=180） ∴∠1+∠2=

14、180（等量代換） 圖6－25 證明的一般步驟： 第一步：根據(jù)題意，畫出圖形. 先根據(jù)命題的條件即已知事項(xiàng)，畫出圖形，再把命題的結(jié)論即求證的內(nèi)容在圖上標(biāo)出符號(hào)，還要根據(jù)證明的需要在圖上標(biāo)出必要的字母或符號(hào)，以便于敘述或推理過程的表達(dá). 第二步：根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證. 把命題的條件化為幾何符號(hào)的語言寫在已知中，命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號(hào)的語言寫在求證中. 第三步，經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程. 一般情況下，分析的過程不要求寫出來，有些題目中，已經(jīng)畫出了圖形，寫好了已知、求證，這時(shí)只要寫出“證明”一項(xiàng)就可以了. 三、課堂練習(xí) 補(bǔ)充練習(xí)

15、 1.證明鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直. 已知：如圖6－25，∠AOB、∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC. 求證：OE⊥OF. 證明：∵OE平分∠AOB. OF平分∠BOC（已知） ∴∠EOB=∠AOB ∠BOF=∠BOC（角平分線定義） ∵∠AOB+∠BOC=180（1平角=180） ∴∠EOB+∠BOF=（∠AOB+∠BOC）=90（等式的性質(zhì)） 即∠EOF=90 ∴OE⊥OF（垂直的定義） 2.已知，如上圖，AB∥CD，∠B=∠D，求證：AD∥BC. 證法一：∵AB∥DC（已知） ∴∠B+∠C=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

16、 ∵∠B=∠D（已知） ∴∠D+∠C=180（等量代換） ∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行） 證法二：如上圖，延長BA（構(gòu)造一組同位角） ∵AB∥CD（已知） ∴∠1=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ∵∠B=∠D（已知） ∴∠1=∠B（等量代換） ∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行） 證法三：如上圖，連接BD（構(gòu)造一組內(nèi)錯(cuò)角） ∵AB∥CD（已知） ∴∠1=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ∵∠B=∠D（已知） ∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性質(zhì)） ∴∠2=∠3 ∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 5.5 三角形內(nèi)角和定理的證明

17、一、教學(xué)目標(biāo) 三角形的內(nèi)角和定理的證明. 二、教學(xué)過程 工人師傅將凹型零件加工成斜面EC與槽底CD成55的燕尾槽的程序是：將垂直的銑刀傾斜偏轉(zhuǎn)35角，就能得到55的燕尾槽底角. 圖1　　　　　　圖2　　　　 　　圖3 為什么銑刀偏轉(zhuǎn)35角，就能得到55的燕尾槽底角呢？ 1.講授新課 為了回答這個(gè)問題，先觀察如下的實(shí)驗(yàn) 用橡皮筋構(gòu)成△ABC，其中頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)（如圖6－37），放松橡皮筋后，點(diǎn)A自動(dòng)收縮于BC上，請(qǐng)同學(xué)們考察點(diǎn)A變化時(shí)所形成的一系列的三角形：△A1BC、△A2BC、△A3BC……其內(nèi)角會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化呢？ 當(dāng)點(diǎn)A離BC越來越近時(shí),∠A越來越

18、接近180,而其他兩角越來越接近于0，三角形各內(nèi)角的大小在變化過程中是相互影響的，三角形的最大內(nèi)角不會(huì)大于或等于180。 當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離BC時(shí)，∠A越來越趨近于0,而AB與AC逐漸趨向平行，這時(shí)，∠B、∠C逐漸接近為互補(bǔ)的同旁內(nèi)角.即∠B+∠C→180. 請(qǐng)同學(xué)們猜一猜：三角形的內(nèi)角和可能是多少？ 實(shí)驗(yàn)1：先將紙片三角形一角折向其對(duì)邊，使頂點(diǎn)落在對(duì)邊上，折線與對(duì)邊平行（圖6－38（1））然后把另外兩角相向?qū)φ郏? 使其頂點(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合（圖（2）、（3）），最后得圖（4）所示的結(jié)果. （1） （2） （3） （4） 實(shí)驗(yàn)2：將紙片三角形三頂

19、角剪下，隨意將它們拼湊在一起. 由實(shí)驗(yàn)可知：我們猜對(duì)了！三角形的內(nèi)角之和正好為一個(gè)平角. 但觀察與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明.那么怎樣證明呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)賮砜磳?shí)驗(yàn). 這里有兩個(gè)全等的三角形，我把它們重疊固定在黑板上，然后把三角形ABC的上層∠B剝下來，沿BC的方向平移到∠ECD處固定，再剝下上層的∠A，把它倒置于∠C與∠ECD之間的空隙∠ACE的上方. 這時(shí)，∠A與∠ACE能重合嗎？ 因?yàn)橥唤恰螮CD=∠B.所以CE∥BA，所以能重合。 這樣我們就可以證明了：三角形的內(nèi)角和等于180.接下來來證明：三角形的內(nèi)角和等于180這個(gè)真命題.

20、這是一個(gè)文字命題，證明時(shí)需要先干什么呢？ 需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證. 證1 已知，如圖6－40，△ABC. 求證：∠A+∠B+∠C=180 證明：作BC的延長線CD，過點(diǎn)C作射線CE∥AB.則 ∠ACE=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ∠ECD=∠B（兩直線平行，同位角相等） ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180（1平角=180） ∴∠A+∠B+∠ACB=180（等量代換） 即：∠A+∠B+∠C=180. 證2 證明：作BC的延長線CD，作∠ECD=∠B. 則：EC∥AB（同位角相等，兩直線平行） ∴∠A=∠ACE（兩直線

21、平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180（1平角=180） ∴∠ACB+∠A+∠B=180（等量代換） 三、課堂練習(xí) 1.直角三角形的兩銳角之和是多少度？等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度？請(qǐng)證明你的結(jié)論. 答案：90 60 如圖6－44，在△ABC中，∠C=90 ∵∠A+∠B+∠C=180 ∴∠A+∠B=90. 如上圖，△ABC是等邊三角形，則：∠A=∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180 ∴∠A=∠B=∠C=60 2.如上圖,已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60,∠C=70,求證：∠ADE=50. 證明：∵DE∥BC（已知

22、） ∴∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等） ∵∠C=70（已知） ∴∠AED=70（等量代換） ∵∠A+∠AED+∠ADE=180（三角形的內(nèi)角和定理） ∴∠ADE=180－∠A－∠AED（等式的性質(zhì)） ∵∠A=60（已知） ∴∠ADE=180－60－70=50（等量代換） 5.6 關(guān)注三角形的外角 一、教學(xué)目標(biāo) 1.三角形的外角的概念. 2.三角形的內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論. 二、教學(xué)過程 1.下面大家來共同證明：三角形的內(nèi)角和定理. 已知，如上圖，△ABC. 求證：∠A+∠B+∠C=180 證明：作BC的延長線CD，過點(diǎn)C作CE∥BA. 則：

23、∠A=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等） ∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等） ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180（1平角=180） ∴∠ACB+∠A+∠B=180（等量代換） 在證明這個(gè)定理時(shí)，先把△ABC的一邊BC延長，這時(shí)在△ABC外得到∠ACD，我們把∠ACD叫做三角形ABC的外角. 那三角形的外角有什么性質(zhì)呢？我們這節(jié)課就來研究三角形的外角及其應(yīng)用. 2.那什么叫三角形的外角呢？ 像∠ACD那樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角. 外角的特征有三條： （1）頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上.如：∠ACD的頂點(diǎn)C是△ABC的一個(gè)頂點(diǎn). （2）一

24、條邊是三角形的一邊.如：∠ACD的一條邊AC正好是△ABC的一條邊. （3）另一條邊是三角形某條邊的延長線.如：∠ACD的邊CD是△ABC的BC邊的延長線. 把三角形各邊向兩方延長，就可以畫出一個(gè)三角形所有的外角.由此可知：一個(gè)三角形有6個(gè)外角，其中有三個(gè)與另外三個(gè)相等，所以研究時(shí)，只討論三個(gè)外角的性質(zhì). 如上圖，∠1是△ABC的一個(gè)外角，∠1與圖中的其他角有什么關(guān)系呢？能證明你的結(jié)論嗎？ ∠1與∠4組成一個(gè)平角.所以∠1+∠4=180. ∠1=∠2+∠3.因?yàn)椋骸?與∠4的和是180,而∠2、∠3、∠4是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.則∠2+∠3+∠4=180.所以∠2+∠3=180－∠

25、4.而∠1=180－∠4,因此可得： ∠1=∠2+∠3. 因?yàn)椤?=∠2+∠3，所以由和大于任何一個(gè)加數(shù)，可得：∠1>∠2,∠1>∠3. 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰 的任一個(gè)內(nèi)角. 例1 已知，如上圖，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求證：AD∥BC. 要證明AD∥BC.只需證明“同位角相等”即：需證明：∠DAE=∠B. 證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） ∠B=∠C ∴∠B=∠EAC（等式的性質(zhì)） ∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAE=∠EAC（

26、角平分線的定義） ∴∠DAE=∠B（等量代換） ∴AD∥BC（同位角相等，兩直線平行） 這個(gè)題還可以用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”來證. 證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C=∠EAC（等式的性質(zhì)） ∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAC=∠EAC（角平分線的定義） ∴∠DAC=∠C（等量代換） ∴AD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行） 還可以用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”來證. 證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） ∠B=∠C（已知） ∴∠C=∠EAC（等式的性

27、質(zhì)） ∵AD平分∠EAC（已知） ∴∠DAC=∠EAC（角平分線的定義） ∴∠DAC=∠C（等量代換） ∵∠B+∠BAC+∠C=180（三角形的內(nèi)角和定理） ∴∠B+∠BAC+∠DAC=180（等量代換） 即：∠B+∠DAB=180 ∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行） 若證明兩個(gè)角不相等、或大于、或小于時(shí)，該如何證呢？ 例2 已知，如上圖，在△ABC中，∠1是它的一個(gè)外角，E是邊AC上一點(diǎn)，延長BC到D，連接DE. 求證：∠1>∠2. 一般證明角不等時(shí)，應(yīng)用“三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角”來證明.所以需要找到三角形的外角. 證明：∵

28、∠1是△ABC的一個(gè)外角（已知） ∴∠1>∠3（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角） ∵∠3是△CDE的一個(gè)外角（已知） ∴∠3>∠2（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角） ∴∠1>∠2（不等式的性質(zhì)） ［師］很好.下面我們通過練習(xí)來進(jìn)一步熟悉掌握三角形內(nèi)角和定理的推論. 三、.課堂練習(xí) 1.已知，如上圖，在△ABC中，外角∠DCA=100,∠A=45. 求∠B和∠ACB的度數(shù). 解：∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） ∠DCA=100,∠A=45（已知） ∴∠B=∠DCA－∠A=100－45=55（等式的性質(zhì)）

29、 ∵∠DCA+∠ACB=180（1平角=180） ∴∠ACB=180－∠DCA（等式的性質(zhì)） ∵∠DCA=100（已知） ∴∠ACB=80（等量代換） 本節(jié)課我們主要研究了三角形內(nèi)角和定理的推論： 推論1：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和. 推論2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角. 2.如下圖，求證：（1）∠BDC>∠A. （2）∠BDC=∠B+∠C+∠A. 如果點(diǎn)D在線段BC的另一側(cè)，結(jié)論會(huì)怎樣？ 證法一：（1）連接AD，并延長AD，如上圖則：∠1是△ABD的一個(gè)外角，∠2是△ACD的一個(gè)外角. ∴∠1>∠3. ∠2>∠4（

30、三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角） ∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性質(zhì)） 即：∠BDC>∠BAC. （2）連結(jié)AD，并延長AD，如下圖，則∠1是△ABD的一個(gè)外角，∠2是△ACD的一個(gè)外角. ∴∠1=∠3+∠B ∠2=∠4+∠C（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） ∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性質(zhì)） 即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC 證法二：（1）延長BD交AC于E（或延長CD交AB于E），則∠BDC是△CDE的一個(gè)外角. ∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角） ∵∠DEC是△ABE的一個(gè)外角

31、（已作） ∴∠DEC>∠A（三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角） ∴∠BDC>∠A（不等式的性質(zhì)） （2）延長BD交AC于E，則∠BDC是△DCE的一個(gè)外角. ∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） ∵∠DEC是△ABE的一個(gè)外角（已作） ∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和） ∴∠BDC=∠C+∠A+∠B（等量代換） 如果點(diǎn)D在線段BC的另一側(cè)，如上圖，則有 ∠A+∠B+∠C+∠D=360。 l 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！