北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊全冊教案 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組

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1、 第一章 一元一次不等式和一元一次不等式組 1.1 不等關(guān)系 一、教學(xué)目標(biāo)：理解實數(shù)范圍內(nèi)代數(shù)式的不等關(guān)系，并會進(jìn)行表示。 能夠根據(jù)具體的事例列出不等關(guān)系式。 二、教學(xué)過程： 如圖：用兩根長度均為Lcm的繩子，各位成正方形和圓。 （1）如果要使正方形的面積不大于25㎝，那么繩長L應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系式？ （2）如果要使原的面積大于100㎝，那么繩長L應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？ （3）當(dāng)L=8時，正方形和圓的面積哪個大？L=12呢？ （4）由（3）你能發(fā)現(xiàn)什么？改變L的取值再試一試。 在上面的問題中，所謂成的正方形的面積可以表示為（L/4），遠(yuǎn)的面積可以表示為

2、π（L/2π） 。 （1）要是正方形的面積不大于25㎝，就是 （L/4）≤25， 即L/16≤25。 （2）要使原的面積大于100㎝，就是 π（L/2π）＞100 即 L/4π＞100。 （3）當(dāng)L=8時，正方形的面積為8/16=6，圓的面積為 8/4π≈5.1， 4＜5.1 此時圓的面積大。 當(dāng)L=12時，正方形的面積為12/16=9，圓的面積為 12/4π≈11.5， 9＜11.5， 此時還是圓的面積大。 教師得出結(jié)論 （4）由（3）可以發(fā)現(xiàn)，無論繩長L取何值，圓的面積總大于正方形的面積，即

3、 L/4π＞L/16。 三、 隨堂練習(xí) 1、試舉幾個用不等式表示的例子。 2、用適當(dāng)?shù)姆柋硎鞠铝嘘P(guān)系 （1）a是非負(fù)數(shù)； （2）直角三角形斜邊c比她的兩直角邊a，b都長； （3）x于17的和比它的5倍小。 1.2 不等式的基本性質(zhì) 2 / 18 一、教學(xué)目標(biāo) （1）探索并掌握不等式的基本性質(zhì)； （2）理解不等式與等式性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別. 二、教學(xué)內(nèi)容 我們學(xué)習(xí)了等式，并掌握了等式的基本性質(zhì)，大家還記得等式的基本性質(zhì)嗎？ 等式的基本性質(zhì)1：在等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或整式，所得的結(jié)果仍是等式. 基本性質(zhì)2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數(shù)

4、（除數(shù)不為0），所得的結(jié)果仍是等式. 1.不等式基本性質(zhì)的推導(dǎo) 例∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a＜5+a 3－a＜5－a 所以，在不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變. 例：3＜4 33＜43 3＜4 3（－3）＞4（－3） 3（－）＞4（－） 3（－5）＞4（－5） 由此看來，在不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時，不等號的方向不變；在不等式的兩邊同乘以一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向改變. 三、課堂練習(xí) 1.將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式. （1）x－1＞2 （2）－x＜ 解：（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1，兩邊

5、都加上1，得x＞3 （2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3，兩邊都乘以－1，得x＞－ 2.已知x＞y,下列不等式一定成立嗎？ （1）x－6＜y－6; （2）3x＜3y; （3）－2x＜－2y. 解：（1）∵x＞y,∴x－6＞y－6. ∴不等式不成立； （2）∵x＞y,∴3x＞3y ∴不等式不成立； （3）∵x＞y,∴－2x＜－2y ∴不等式一定成立. 4.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式： （1）x－2＜3;（2）6x＜5x－1; （3）x＞5;（4）－4x＞3. 5.設(shè)a＞b.用“＜”或“＞”號填空. （1）a－3 b－

6、3;（2） ; （3）－4a －4b;（4）5a 5b; （5）當(dāng)a＞0,b 0時，ab＞0; （6）當(dāng)a＞0,b 0時，ab＜0; （7）當(dāng)a＜0,b 0時，ab＞0; （8）當(dāng)a＜0,b 0時，ab＜0. 參考答案： 4.（1）x＜5;（2）x＜－1;（3）x＞10;（4）x＜－. 5（1）＞ （2）＞ （3）＜ （4）＞（5）＞ （6）＜ （7）＜ （8）＞. 1.3 不等式的解集 一、教學(xué)目標(biāo) 1.能夠根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義. 2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式這些概念的含義.

7、 3.會在數(shù)軸上表示不等式的解集. 二、教學(xué)過程 1.現(xiàn)實生活中的不等式. 燃放某種禮花彈時，為了確保安全，人在點燃導(dǎo)火線后要在燃放前轉(zhuǎn)移到10 m以外的安全區(qū)域.已知導(dǎo)火線的燃燒速度為以0.02 m/s，人離開的速度為4 m/s，那么導(dǎo)火線的長度應(yīng)為多少厘米？ 分析：人轉(zhuǎn)移到安全區(qū)域需要的時間最少為秒，導(dǎo)火線燃燒的時間為秒，要使人轉(zhuǎn)移到安全地帶，必須有：＞. 解：設(shè)導(dǎo)火線的長度應(yīng)為x cm，根據(jù)題意，得 ＞ ∴x＞5. 2.想一想 （1）x=5,6,8能使不等式x＞5成立嗎？ （2）你還能找出一些使不等式x＞5成立的x的值嗎？ 答：（1）x=5不能使x＞5成立，x=

8、6,8能使不等式x＞5成立. （2）x=9,10,11…等比5大的數(shù)都能使不等式x＞5成立. 3.例題講解 根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求不等式的解集，并把解集在數(shù)軸上表示出來. （1）x－2≥－4;（2）2x≤8 （3）－2x－2＞－10 解：（1）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1，兩邊都加上2，得x≥－2 在數(shù)軸上表示為： （2）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2，兩邊都除以2，得x≤4 在數(shù)軸上表示為： （3）根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1，兩邊都加上2，得－2x＞－8 根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3，兩邊都除以－2，得x＜4 在數(shù)軸上表示為： 三、課堂練習(xí) 1.判斷正誤： （1）

9、不等式x－1＞0有無數(shù)個解； （2）不等式2x－3≤0的解集為x≥. 2.將下列不等式的解集分別表示在數(shù)軸上： （1）x＞4;（2）x≤－1; （3）x≥－2;（4）x≤6. 1.解：（1）∵x－1＞0,∴x＞1 ∴x－1＞0有無數(shù)個解.∴正確. （2）∵2x－3≤0,∴2x≤3, ∴x≤,∴結(jié)論錯誤. 2.解： 1.4 一元一次不等式 一、教學(xué)目標(biāo) 1.知道什么是一元一次不等式？ 2.會解一元一次不等式. 二、一元一次不等式的定義. 下列不等式是一元一次不等式嗎？ （1）2x－2.5≥15;（2）5+3x＞240; （3）x＜－4;（4）＞

10、1. 答（1）、（2）、（3）中的不等式是一元一次不等式，（4）不是. （4）為什么不是呢？ 因為x在分母中，不是整式. 不等式的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1，這樣的不等式，叫做一元一次不等式（linear inequality with one unknown）. 2.一元一次不等式的解法. 例1 解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在數(shù)軸上. ［分析］要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式兩邊的x或常數(shù)項轉(zhuǎn)移到同一側(cè)，變成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求得. 解：兩邊都加上x，得 3－x+x＜2x+

11、6+x 合并同類項，得 3＜3x+6 兩邊都加上－6,得 3－6＜3x+6－6 合并同類項，得 －3＜3x 兩邊都除以3，得－1＜x 即x＞－1. 這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下： 下面大家仿照上面的步驟練習(xí)一下解一元一次不等式. ［例2］解不等式≥，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來. ［生］解：去分母，得3（x－2）≥2（7－x） 去括號，得3x－6≥14－2x 移項，合并同類項，得5x≥20 兩邊都除以5，得x≥4. 這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下： 三、課堂練習(xí) 解下列不等式，并把它們的解集分別表示在數(shù)軸上： （1）5x＞－10;（2）－3x

12、+12≤0; （3）＜; （4）－1＜. 解：（1）兩邊同時除以5，得x＞－2. 這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下： （2）移項，得－3x≤－12, 兩邊都除以－3，得x≥4, 這個不等式的解集在數(shù)軸上表示為： （3）去分母，得3（x－1）＜2（4x－5）, 去括號，得3x－3＜8x－10, 移項、合并同類項，得5x＞7, 兩邊都除以5，得x＞, 不等式的解集在數(shù)軸上表示為： （4）去分母，得x+7－2＜3x+2, 移項、合并同類項，得2x＞3, 兩邊都除以2，得x＞, 不等式的解集在數(shù)軸上表示如下： 1.5 一元一次不等式與一次

13、函數(shù) 一、教學(xué)目標(biāo) 1.一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系. 2.會根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，畫出函數(shù)圖象，并利用不等關(guān)系進(jìn)行比較. 二、教學(xué)過程 1.一元一次不等式與一次函數(shù)之間的關(guān)系. 作出函數(shù)y=2x－5的圖象，觀察圖象回答下列問題. （1）x取哪些值時，2x－5=0? （2）x取哪些值時，2x－5＞0? （3）x取哪些值時，2x－5＜0? （4）x取哪些值時，2x－5＞3? （1）當(dāng)y=0時，2x－5=0, ∴x=, ∴當(dāng)x=時，2x－5=0. （2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函數(shù)值y大于0時所對應(yīng)的x的值，從圖象上可知，y＞0時，圖象在x軸上方

14、，圖象上任一點所對應(yīng)的x值都滿足條件，當(dāng)y=0時，則有2x－5=0,解得x=.當(dāng)x＞時，由y=2x－5可知 y＞0.因此當(dāng)x＞時，2x－5＞0; （3）同理可知，當(dāng)x＜時，有2x－5＜0; （4）要使2x－5＞3,也就是y=2x－5中的y大于3，那么過縱坐標(biāo)為3的點作一條直線平行于x軸，這條直線與y=2x－5相交于一點B（4，3），則當(dāng)x＞4時，有2x－5＞3. 3.試一試 如果y=－2x－5,那么當(dāng)x取何值時，y＞0? 首先要畫出函數(shù)y=－2x－5的圖象，如圖 從圖象上可知，圖象在x軸上方時，圖象上每一點所對應(yīng)的y的值都大于0，而每一個y的值所對應(yīng)的x的值都在A點的左側(cè)，即為

15、小于－2.5的數(shù)，由－2x－5=0,得x=－2.5,所以當(dāng)x取小于－2.5的值時，y＞0. 三、課堂練習(xí) 1.已知y1=－x+3,y2=3x－4,當(dāng)x取何值時，y1＞y2？你是怎樣做的？與同伴交流. 解：如圖1－24所示： 當(dāng)x取小于的值時，有y1＞y2. 2.作出函數(shù)y1=2x－4與y2=－2x+8的圖象，并觀察圖象回答下列問題： （1）x取何值時，2x－4＞0？ （2）x取何值時，－2x+8＞0? （3）x取何值時，2x－4＞0與－2x+8＞0同時成立？ （4）你能求出函數(shù)y1=2x－4，y2=－2x+8的圖象與x軸所圍成的三角形的面積嗎？并寫出過程. 解：

16、圖象如下： 分析：要使2x－4＞0成立，就是y1=2x－4的圖象在x軸上方的所有點的橫坐標(biāo)的集合，同理使－2x+8＞0成立的x，即為函數(shù)y2=－2x+8的圖象在x軸上方的所有點的橫坐標(biāo)的集合，要使它們同時成立，即求這兩個集合中公共的x，根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點的坐標(biāo)可求出三角形的底邊長，由兩函數(shù)的交點坐標(biāo)可求出底邊上的高，從而求出三角形的面積. ［解］（1）當(dāng)x＞2時，2x－4＞0; （2）當(dāng)x＜4時，－2x+8＞0; （3）當(dāng)2＜x＜4時，2x－4＞0與－2x+8＞0同時成立. （4）由2x－4=0,得x=2; 由－2x+8=0,得x=4 所以AB=4－2=2 由 得交點

17、C（3，2） 所以三角形ABC中AB邊上的高為2. 所以S=22=2. 3.分別解不等式 5x－1＞3（x+1）, x－1＜7－x 所得的兩個解集的公共部分是什么？ 解：解不等式5x－1＞3（x+1）,得x＞2 解不等式x－1＜7－ x，得x＜4, 所以兩個解集的公共部分是2＜x＜4. 4.某商場計劃投入一筆資金采購一批緊俏商品，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果月初出售，可獲利15%，并可用本和利再投資其他商品，到月末又可獲利10%；如果月末出售可獲利30%，但要付出倉儲費用700元.請問根據(jù)商場的資金狀況，如何購銷獲利較多？ 解：設(shè)商場計劃投入資金為x元，在月初出售，到月

18、末共獲利y1元；在月末一次性出售獲利y2元， 根據(jù)題意，得 y1=15%x+（x+15%x）10%=0.265x, y2=30%x－700=0.3x－700. （1）當(dāng)y1＞y2,即0.265x＞0.3x－700時，x＜20000; （2）當(dāng)y1=y2,即0.265x=0.3x－700時，x=20000; （3）當(dāng)y1＜y2，即0.265x＜0.3x－700時，x＞20000. 所以，當(dāng)投入資金不超過20000元時，第一種銷售方式獲利較多；當(dāng)投入資金超過20000元時，第二種銷售方式獲利較多. 5.某醫(yī)院研究發(fā)現(xiàn)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2

19、小時時血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3毫克，每毫升血液中含藥量y（微克），隨著時間x（小時）的變化如圖所示（成人按規(guī)定服藥后）. （1）分別求出x≤2和x≥2時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）根據(jù)圖象觀察，如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上，在治療疾病時是有效的，那么這個有效時間是多少？ 解：（1）當(dāng)x≤2時，圖象過（0，0），（2，6）點，設(shè)y1=k1x, 把（2，6）代入得，k1=3 ∴y1=3x. 當(dāng)x≥2時，圖象過（2，6），（10，3）點. 設(shè)y2=k2x+b,則有 得k

20、2=－,b= ∴y2=－x+ （2）過y軸上的4點作平行于x軸的一條直線，于y1,y2的圖象交于兩點，過這兩點向x軸作垂線,對應(yīng)x軸上的和，即在－=6小時間是有效的. 1.6 一元一次不等式組 一、教學(xué)目標(biāo) 總結(jié)解一元一次不等式組的步驟及情形. 二、教學(xué)過程 某校今年冬季燒煤取暖時間為4個月。如果每月比計劃多燒5噸煤，那么取暖用煤總量將超過100噸；如果每月比計劃少燒5噸煤，那么取暖用煤總量不足68噸。該校計劃每月燒煤多少噸？ 解： 設(shè)該校計劃每月燒煤x噸，根據(jù)題意，得 4（x+5）>100, （1

21、） 且 4（x-5）<68. （2） 未知數(shù)x同時滿足 （1）（2）兩個條件，把（1）（2）兩個不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組，記作 4（x+5）>100, 4（x-5）<68. 一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元依次不等式組。 解下列不等式組 （1） （2） （3） （4） （1） 解：解不等式（1），

22、得x＞1 解不等式（2），得x＞－4. 在同一條數(shù)軸上表示不等式（1），（2）的解集如下圖 所以，原不等式組的解集是x＞1 （2） 解：解不等式（1），得x＜ 解不等式（2），得x＜ 在同一條數(shù)軸上表示不等式（1），（2）的解集.如下圖 所以，原不等式組的解集是x＜ （3） 解：解不等式（1），得x＞ 解不等式（2），得x≤4. 在同一條數(shù)軸上表示不等式（1），（2）的解集，如下圖 所以，原不等式組的解集為＜x≤4. （4） 解：解不等式（1），得x＞4. 解不等式（2），得x＜3. 在同一條數(shù)軸上表示不等式（1），（2

23、）的解集如下圖 所以，原不等式組的解集為無解. 我們從每個不等式的解集，到這個不等式組的解集，認(rèn)真觀察，互相交流，找出規(guī)律. （1）由得x＞1; （2）由; （3）由得＜x≤4; （4）由得，無解. 兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集有以下四種情形. 設(shè)a＜b,那么 （1）不等式組的解集是x＞b; （2）不等式組的解集是x＜a; （3）不等式組的解集是a＜x＜b; （4）不等式組的解集是無解. 用語言簡單表述為： 同大取大；同小取小； 大于小數(shù)小于大數(shù)取中間； 大于大數(shù)小于小數(shù)無解. 三、課堂練習(xí) 解下列不等式組 （1） （2） ［解］（1） 解不等式（1），得x＜2 解不等式（2），得x＞3 在同一數(shù)軸上表示不等式（1）、（2）的解集， 所以，原不等式組無解. （2） 解：解不等式（1），得x＞2 解不等式（2），得x＞3 在同一數(shù)軸上表示不等式（1），（2）的解集，如下圖 所以，原不等式組的解集為x＞3. l 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！