九年級數(shù)學(xué)上冊24一元二次方程教學(xué)案冀教版.doc

《九年級數(shù)學(xué)上冊24一元二次方程教學(xué)案冀教版.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《九年級數(shù)學(xué)上冊24一元二次方程教學(xué)案冀教版.doc（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

教學(xué)資料參考范本 九年級數(shù)學(xué)上冊 24 一元二次方程教學(xué)案 （新版）冀教版 撰寫人：__________________ 時 間：__________________ 1.經(jīng)歷從實際問題出發(fā)建立一元二次方程的過程,體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的重要模型,進一步發(fā)展符號感. 2.了解一元二次方程及方程的解的概念,能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程. 3.會用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況. 4.了解一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系. 5.在了解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 6.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系,列出一元二次方程并求得結(jié)果,能根據(jù)具體的問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性. 1.通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生對概念理解的完整性和深刻性. 2.通過對一元二次方程解法的探究,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴密性及嚴謹性,同時培養(yǎng)學(xué)生尋求簡便方法的探索精神及創(chuàng)新意識. 3.通過列一元二次方程解應(yīng)用題,進一步培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力,同時提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 1.通過學(xué)習(xí)一元二次方程的概念,體會類比思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 2.通過學(xué)習(xí)配方法、因式分解法解一元二次方程,向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化思想在研究數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用,同時體驗知識之間的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生愛數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)的興趣. 3.通過對求根公式的推導(dǎo),向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)中的分類思想. 4.體會數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用到生活,由設(shè)未知數(shù)列方程向?qū)W生滲透方程的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的意識. 方程是科學(xué)研究中重要的數(shù)學(xué)思想方法,也是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)和工具,它是初中數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)內(nèi)容,在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位,一元二次方程是在學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程(組)、不等式知識的后繼學(xué)習(xí),它和學(xué)習(xí)一元一次方程、二元一次方程組一樣,也可以表達許多實際問題中的數(shù)量關(guān)系,是分析和解決許多實際問題的重要的數(shù)學(xué)模型之一.本章在初中代數(shù)中起著承前啟后的作用,一方面對以前學(xué)過的一些內(nèi)容進行綜合應(yīng)用,如探究解方程的方法時開平方、一元一次方程、完全平方公式、因式分解等知識都有應(yīng)用,另一方面,一元二次方程又是前邊所學(xué)知識的繼續(xù)和發(fā)展,是學(xué)好二次函數(shù)不可缺少的知識,也是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基工程. 本章主要讓學(xué)生進一步體會在實際問題中建立方程模型,一元二次方程的概念、基本解法及應(yīng)用都是重要的基礎(chǔ)知識,解方程的基本思想是化歸思想,將“二次”方程轉(zhuǎn)化成兩個“一次”方程求解,蘊含了重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法,其中配方法是初中數(shù)學(xué)中的基本方法,通過對配方法的學(xué)習(xí),探究出一元二次方程的求根公式,進而探究出根與系數(shù)之間的關(guān)系.本章內(nèi)容自始至終置于實際情景中,使學(xué)生充分感受和經(jīng)歷在實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型,體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效模型,體會數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用價值.通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容進一步培養(yǎng)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識. 【重點】 1.一元二次方程及其有關(guān)概念. 2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程. 3.能應(yīng)用根的判別式、根與系數(shù)之間的關(guān)系解決有關(guān)問題. 4.利用實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型,并解決這個問題. 【難點】 1.用配方法解一元二次方程. 2.選擇合適的方法解一元二次方程. 3.在實際問題中尋求等量關(guān)系,從而抽象出一元二次方程數(shù)學(xué)模型. 1.一元二次方程是初中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)模型之一,通過建立一元二次方程模型解決實際問題,可以使學(xué)生更深入地體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,所以從實際問題抽象出一元二次方程的有關(guān)概念及數(shù)學(xué)符號表示,學(xué)生用類比思想理解并掌握一元二次方程、解的概念及一般形式. 2.一元二次方程的解法中,滲透“降次”的轉(zhuǎn)化思想,即把方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程,教材由實際背景引入,建立一元二次方程模型,探究將二次降為一次的方法,轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.配方法是推導(dǎo)一元二次方程的求根公式的工具,引導(dǎo)學(xué)生用配方法導(dǎo)出求根公式,從而體會不同解法的優(yōu)缺點與相互的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生靈活解一元二次方程的能力與扎實的運算功底. 3.一元二次方程根的判別式的學(xué)習(xí),使學(xué)生理解一元二次方程根的存在情況與系數(shù)之間的關(guān)系.探究一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,不僅為了一元二次方程理論的完整性,更重要的是初高中的銜接問題,通過這節(jié)課的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的嚴謹性和數(shù)學(xué)思維能力. 4.數(shù)學(xué)來源于生活,并應(yīng)用于生活中,數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān),應(yīng)用一元二次方程解決實際問題,引導(dǎo)學(xué)生分析其中的已知量、未知量和等量關(guān)系,建立一元二次模型,得出方程的解,并檢驗所得的結(jié)果是否符合實際,得出具有一般意義的一元二次方程的解法,讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情景—建立模型—求解驗證”的數(shù)學(xué)活動過程,培養(yǎng)學(xué)生建模思想,逐步形成應(yīng)用意識. 24.1一元二次方程 1課時 24.2解一元二次方程 3課時 24.3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系* 1課時 24.4一元二次方程的應(yīng)用 3課時 回顧與反思 1課時 24.1　一元二次方程 1.理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式,正確認識二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項. 3.體會一元二次方程是刻畫實際問題的重要數(shù)學(xué)模型. 4.理解一元二次方程解的概念. 1.通過一元二次方程的引入,培養(yǎng)學(xué)生建模思想,歸納、分析問題及解決問題的能力. 2.體會數(shù)學(xué)來源于生活,又回歸生活的理念. 3.由設(shè)未知數(shù)、列方程向?qū)W生滲透方程的思想,從而進一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力. 1.培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、自主學(xué)習(xí)和合作交流的意識. 2.激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣,體會學(xué)數(shù)學(xué)的快樂,培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識. 3.體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系. 【重點】　一元二次方程的概念及一般形式. 【難點】 1.由具體問題抽象出一元二次方程的轉(zhuǎn)化過程. 2.正確識別一般式中的“項”及“系數(shù)”. 【教師準備】　多媒體課件. 【學(xué)生準備】　預(yù)習(xí)教材P34~35. 導(dǎo)入一: 【課件展示】　教材章前圖,請同學(xué)們閱讀章前問題,并回答下列問題: 一個長為10 m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端A處到地面的距離為8 m.如果梯子的頂端沿墻面下滑1 m,那么梯子的底端B在地面上滑動的距離也是1 m嗎?你能列方程解決這個問題嗎? 學(xué)生分析等量關(guān)系:AB2=AC2+BC2. 設(shè)梯子的底端在地面上滑動的距離x m,于是得方程102=(8-1)2+(6+x)2. 整理得x2+12x-15=0. 【問題】　這個方程是不是我們前邊學(xué)過的方程? 導(dǎo)入二: 【課件展示】　觀察下列方程: (1)3x-2=0,(2)x2+2x-3=0,(3)x+=0,(4)x2-5=0. 哪些是我們學(xué)過的一元一次方程?其他方程與一元一次方程有什么不同? 【師生活動】　復(fù)習(xí)方程、一元一次方程及方程的解的概念. 【學(xué)生活動】　小組合作交流,觀察新方程,分析元和次,嘗試為新方程定義. [設(shè)計意圖]　讓學(xué)生在實際問題中建立一元二次方程模型,體會數(shù)學(xué)來源于生活,通過復(fù)習(xí)一元一次方程的概念,讓學(xué)生用類比的方法從已有的知識體系中自然地構(gòu)建出新知識. 　　[過渡語]　方程是一類重要的數(shù)學(xué)模型,在現(xiàn)實生活中具有廣泛的應(yīng)用.在學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組和分式方程的基礎(chǔ)上,現(xiàn)在我們來學(xué)習(xí)一元二次方程. 共同探究一　教材中觀察與思考中的實際問題,設(shè)未知數(shù),建立方程模型 【課件展示】　如圖所示,某學(xué)校要在校園內(nèi)墻邊的空地上修建一個長方形的存車處,存車處的一面靠墻(墻長22 m),另外三面用90 m長的鐵柵欄圍起來.如果這個存車處的面積為700 m2,求這個長方形存車處的長和寬. 思路一 教師引導(dǎo)學(xué)生思考并回答: 長方形存車處的長與寬之間的數(shù)量關(guān)系為　　　　,該問題中的等量關(guān)系為　　　　. (1)設(shè)長方形存車處的寬(靠墻的一邊)為x m,則它的長為　　　　m,長方形存車處的面積為　　　　. 由此,我們可以列出方程　　　　,化簡得　　　　. (2)設(shè)長方形存車處的長(與墻垂直的一邊)為x m,則它的寬為　　　　m,長方形存車處的面積為　　　　. 由此,我們可以列出方程　　　　,化簡得　　　　. 【師生活動】　教師引導(dǎo)分析,學(xué)生回答,通過所設(shè)未知數(shù),根據(jù)題意列出方程,老師點評并分析如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型,整理所列出的方程. 【課件展示】 解:(1)設(shè)長方形存車處的寬(靠墻的一邊)為x m,則它的長為 m. 根據(jù)題意,可得方程x=700. 整理,得x2-90x+1400=0. (2)設(shè)長方形存車處的長(與墻垂直的一邊)為x m,則它的寬為(90-2x)m. 根據(jù)題意,可得方程(90-2x)x=700. 整理,得x2-45x+350=0. 思路二 小組活動,共同探究,思考下列問題: (1)分析題意,題中的已知條件是什么? (2)分析題意,題中的等量關(guān)系是什么? (3)如何設(shè)未知數(shù),根據(jù)題中等量關(guān)系怎樣列方程? (4)分析下面小明和小亮列方程的做法,他們的解題思路和所列方程是否正確? 【課件展示】 小明的做法: 設(shè)長方形存車處的寬(靠墻的一邊)為x m,則它的長為 m. 根據(jù)題意,可得方程x=700. 整理,得x2-90x+1400=0. 小亮的做法: 設(shè)長方形存車處的長(與墻垂直的一邊)為x m,則它的寬為(90-2x)m. 根據(jù)題意,可得方程(90-2x)x=700. 整理,得x2-45x+350=0. 【師生活動】　教師先出示問題(1)~(3),學(xué)生討論交流后出示問題(4),學(xué)生再進行交流.教師在巡視過程中及時解決疑難問題,學(xué)生討論后小組展示結(jié)果,教師及時補充和點評. [設(shè)計意圖]　師生共同分析探討實際問題中的等量關(guān)系,列出方程,為引出一元二次方程的概念做鋪墊,同時提高學(xué)生建立方程模型解決生活中實際問題的能力. 共同探究二　共同歸納概念 請口答下面問題. (1)上面方程整理后含有幾個未知數(shù)? (2)上面方程中未知數(shù)x的最高次數(shù)是幾次? (3)方程兩邊都是整式嗎? (4)你能類比一元一次方程的概念,給出一元二次方程的定義嗎? 【學(xué)生活動】　小組合作交流,類比一元一次方程定義,嘗試給出一元二次方程的定義. 老師點評歸納:一元二次方程滿足三個條件:(1)都只含一個未知數(shù)x;(2)它們的最高次數(shù)都是2次;(3)方程兩邊都是整式. 【課件展示】　只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程,叫做一元二次方程. [設(shè)計意圖]　學(xué)生通過合作交流,類比一元一次方程的定義得出一元二次方程的定義,體會類比思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,同時培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力及合作交流能力. 　　[過渡語]　我們了解了一元二次方程的有關(guān)概念,現(xiàn)在同學(xué)們比一比誰理解得更透徹吧. 【課件展示】　請搶答下列各式是否為一元二次方程: (1)2x2=9; (2)2x2-1=3y; (3)4x2+3=2x; (4)=0; (5)5x2-2x+3; (6)2x(x+2)=5x-2; (7)3x(x-1)=3x2-5. 【師生活動】　學(xué)生以搶答的形式來完成該題,并讓學(xué)生說出判斷理由.教師對學(xué)生給出的答案作出點評和歸納,并讓學(xué)生歸納判斷易錯點——先化簡再判斷. [設(shè)計意圖]　通過搶答進一步強化一元二次方程的概念滿足的三個條件,同時提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性. 共同探究三　一元二次方程的一般形式 【思考1】　類比一元一次方程的一般形式,你能不能寫出一元二次方程的一般形式? 【課件展示】 一元二次方程的一般形式為:ax2+bx+c=0(a≠0). 其中ax2是二次項,a是二次項系數(shù);bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項. 【思考2】 (1)任何一個一元二次方程是否都可以整理成一般形式? (2)一元二次方程的二次項系數(shù)為什么不能為0? (任何一個一元二次方程都能化成一般形式;當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù)a=0,b≠0時,方程為一元一次方程) 【師生活動】　學(xué)生獨立思考后,小組合作交流,教師對學(xué)生的展示進行點評、歸納. [設(shè)計意圖]　通過概括一元二次方程的一般形式,讓學(xué)生理解掌握數(shù)學(xué)符號語言在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,更深入地理解一元二次方程的概念,同時強調(diào)了一元二次方程概念中的易錯點. 　　[過渡語]　我們又知道了一元二次方程的一般形式,試試我們能不能完成以下問題. 【課件展示】 做一做: 將下列一元二次方程化為一般形式,并指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項. (1)4x2=3(x+4); (2)(2x-3)(3x-2)=10; (3)=7; (4)(2x-1)(2x+1)=(3x+1)2. 〔解析〕　一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),因此,通過去分母、去括號、移項、合并同類項等法則先將一元二次方程進行整理,再根據(jù)有關(guān)概念求解. 解:(1)原方程可化為:4x2-3x-12=0. 其中二次項系數(shù)為4,一次項系數(shù)為-3,常數(shù)項為-12. (2)原方程可化為:6x2-13x-4=0. 其中二次項系數(shù)為6,一次項系數(shù)為-13,常數(shù)項為-4. (3)原方程可化為:2x2+x-48=0. 其中二次項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為1,常數(shù)項為-48. (4)原方程可化為:5x2+6x+2=0. 其中二次項系數(shù)為5,一次項系數(shù)為6,常數(shù)項為2. 追問:求一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項時應(yīng)注意什么? (一是先化簡成一般形式;二是書寫系數(shù)時不要遺漏前邊的符號) 【師生活動】　學(xué)生獨立思考回答,教師進行點評歸納. [設(shè)計意圖]　通過做一做,讓學(xué)生了解求一元二次方程的項或項的系數(shù)時,先化成一元二次方程一般形式再求解,加深對一元二次方程一般形式的理解. 共同探究四　一元二次方程的根 【思考】 1.什么是一元二次方程的解? (使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值,叫做一元二次方程的解) 板書:一元二次方程的解也叫做這個方程的根. 2.如何判定一個數(shù)值是不是一元二次方程的根? (將這個數(shù)值代入一元二次方程,如果方程左右兩邊相等,則該數(shù)值是方程的根;如果方程左右兩邊不相等,則該數(shù)值不是方程的根) 【課件展示】 做一做: 在下列各題中,括號內(nèi)未知數(shù)的值,哪些是它前面方程的根? (1)x2-3x-4=0(x=0,x=-1,x=4); (2)(x+2)(x-2)=12(x=-1,x=-4,x=4); (3)2y2-y-1=0. 【師生活動】　學(xué)生獨立完成并回答,教師點評. [設(shè)計意圖]　通過做一做讓學(xué)生真正理解和掌握一元二次方程的根的概念. [知識拓展]　 1.判斷一個方程是一元二次方程需同時滿足三個條件:(1)是整式方程;(2)只含有一個未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.同時要注意二次項系數(shù)不能為0. 2.一元二次方程的一般形式的特點是方程的右邊為0,左邊是關(guān)于未知數(shù)的二次整式. 3.一元二次方程的項或系數(shù)是針對一元二次方程的一般形式而言的,所以寫項或系數(shù)時,要先化成一般形式,并且都包括前邊的符號. 4.判斷一個數(shù)值是不是一元二次方程的根的方法:將這個數(shù)值代入一元二次方程,如果方程左右兩邊相等,則該數(shù)值是方程的根;如果方程左右兩邊不相等,則該數(shù)值不是方程的根. 5.如果已知a是一元二次方程的根,把x=a代入方程,方程左右兩邊相等,可以求待定系數(shù)的值,整體思想是常用的數(shù)學(xué)思想. 1.一元二次方程概念需要滿足三個條件: (1)是整式方程; (2)只含有一個未知數(shù); (3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2. 2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),易錯點是忽略強調(diào)a≠0. 3.確定一元二次方程的項與系數(shù)時一定先化成一般形式,書寫時應(yīng)注意包括前邊的符號. 4.一元二次方程的解也叫一元二次方程的根. 5.根據(jù)實際問題列一元二次方程的關(guān)鍵是讀懂題意,找到題目中的等量關(guān)系. 6.本節(jié)課用到了類比思想、整體思想解決數(shù)學(xué)問題. 1.在下列方程中,一元二次方程的個數(shù)是 (　　) ①2x2+5=0;②ax2+bx+c=0;③(x-1)(x+2)=x2-1;④3x2-=0;⑤x2-1=x. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 解析:一元二次方程必須滿足三個條件:(1)含有一個未知數(shù);(2)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;(3)是整式方程,同時注意二次項系數(shù)不為0.①④⑤滿足條件,②中二次項系數(shù)可能為0,③化簡后不含有二次項,不符合定義.故選B. 2.一元二次方程7x2-2x=0的二次項、一次項、常數(shù)項依次是 (　　) A.7x2,2x,0 B.7x2,-2x,無常數(shù)項 C.7x2,0,2x D.7x2,-2x,0 解析:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ax2是二次項,bx是一次項,c是常數(shù)項.所以該方程中二次項、一次項、常數(shù)項依次是7x2,-2x,0.故選D. 3.已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一個解,則m的值是 (　　) A.-3 B.3 C.0 D.0或3 解析:把x=2代入方程,得4+2m+2=0,解得m=-3.故選A. 4.若(m-2)=-3是一元二次方程,則m=　　　　. 解析:根據(jù)一元二次方程的概念知未知數(shù)x的最高次數(shù)是2,且二次項系數(shù)不為0,得m2-2=2,m-2≠0,解得m=-2.故填-2. 5.根據(jù)題意填空. (1)如果兩個連續(xù)奇數(shù)的積是323,求這兩個數(shù),如果設(shè)其中較小的一個奇數(shù)為x,你能列出求解x的方程嗎?　　　　,一般形式為　　　　. (2)如圖所示,在寬為20 m,長30 m的矩形場地上,修筑同樣寬的兩條道路,余下的部分作為耕地,要使耕地的面積為500 m2,若設(shè)路寬為x m,則可列方程為　　　　,一般形式為　　　　. 解析:(1)根據(jù)兩個奇數(shù)的積是323,列方程,得x(x+2)=323,化簡,得x2+2x-323=0;(2)將兩條道路平移到矩形的邊上,矩形的長為(30-x)m,寬為(20-x)m,根據(jù)余下的耕地面積為500 m2,列方程,得(20-x)(30-x)=500,化簡,得x2-50x+100=0. 答案:(1)x(x+2)=323　x2+2x-323=0　(2)(20-x)(30-x)=500　x2-50x+100=0 24.1　一元二次方程 共同探究一　教材中觀察與思考中的實際問題,設(shè)未知數(shù),建立方程模型 共同探究二　共同歸納概念 共同探究三　一元二次方程的一般形式 共同探究四　一元二次方程的根 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第36頁習(xí)題A組第1,2,3題. 【選做題】 教材第36頁習(xí)題B組第1,2題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下列方程為一元二次方程的是 (　　) A.1-x2=0 B.2(x2-1)=3y C.-=0 D.(x-3)2=(x+3)2 2.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的一個根,則等于 (　　) A.1 B.-1 C.0 D.2 3.關(guān)于x的方程xm-3-2x+1=0是一元二次方程,則m=　　　　. 4.若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常數(shù)項為0,則m的值為　　　　. 5.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一個根,則代數(shù)式a2+b2+2ab的值是　　　　. 6.如圖所示,某小區(qū)規(guī)劃在一個長30 m,寬20 m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道,使其中兩條與AB平行,另一條與AD平行,其余部分種花草.要使每一塊花草的面積都為78 m2,那么通道的寬應(yīng)設(shè)計成多少米?設(shè)通道的寬為x m,由題意列方程得　　　　. 7.將下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出各項系數(shù). (1)(2x-1)2=7; (2)3x2+5(2x+1)=0. 【能力提升】 8.若關(guān)于x的方程(k2-4)x2+x+5=0是一元二次方程,則k的取值范圍是　　　　. 9.已知x=2是關(guān)于x的方程x2-2a=0的一個解,則一次函數(shù)y=ax-1的圖像不經(jīng)過第　　　　象限. 10.(20xx菏澤中考)已知m是方程x2-x-1=0的一個根,求m(m+1)2-m2(m+3)+4的值. 【拓展探究】 11.已知關(guān)于x的方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0. (1)x為何值時,此方程是一元一次方程? (2)x為何值時,此方程是一元二次方程?并寫出一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項. 【答案與解析】 1.A(解析:B中含有兩個未知數(shù),C中方程不是整式方程,D中方程化簡后不含有x的二次項,只有A符合一元二次方程定義.故選A.) 2.A(解析:把x=-1代入方程可得a-b+c=0,∴a+c=b,∴ = =1,故選A.) 3.5(解析:根據(jù)一元二次方程的定義可得m-3=2,解得m=5,故填5.) 4.-1(解析:由題意得所以m=-1,故填-1.) 5.1(解析:把x=1代入方程可得1+a+b=0,∴a+b=-1,∴a2+b2+2ab=(a+b)2=(-1)2=1,故填1.) 6.(30-2x)(20-x)=678(解析:設(shè)道路的寬為x m,將6塊草地平移為一個長方形,長為(30-2x) m,寬為(20-x) m.根據(jù)長方形面積公式即可列方程(30-2x)(20-x)=678.) 7.解:(1)2x2-2x-3=0,二次項系數(shù)為2,一次項系數(shù)為-2,常數(shù)項為-3.　(2)3x2+10x+5=0,二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為10,常數(shù)項為5. 8.k≥1且k≠2(解析:一元二次方程滿足二次項系數(shù)不為0,該題易忽略考慮二次根式的被開方數(shù)為非負值.) 9.二(解析:把x=2代入方程可得a=3,所以一次函數(shù)為y=3x-1,函數(shù)圖像過第一、三、四象限,故填二.) 10.解:∵m是方程x2-x-1=0的一個根,∴m2-m=1,∴m(m+1)2-m2(m+3)+4=-m2+m+4=-(m2-m)+4=-1+4=3. 11.解:(1)由題意得即m=1時,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元一次方程-2x+1=0.　(2)由題意得m2-1≠0,即m≠1時,方程(m2-1)x2-(m+1)x+m=0是一元二次方程.此方程的二次項系數(shù)是m2-1,一次項系數(shù)是-(m+1),常數(shù)項是m. 因為學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程及相關(guān)概念,教學(xué)中力求體現(xiàn)“問題情景——數(shù)學(xué)模型——概念歸納”的模式.類比一元一次方程的有關(guān)概念,通過自主學(xué)習(xí)、小組交流、共同歸納、練習(xí)檢測等環(huán)節(jié)讓學(xué)生在愉悅的課堂上掌握了本節(jié)課的重點,學(xué)生在課堂中發(fā)揮主體作用,讓數(shù)學(xué)課堂有了生命力,在本節(jié)課,大多數(shù)學(xué)生能體驗成功的快樂,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.在練習(xí)中學(xué)生經(jīng)歷由淺入深,由易到難的過程,提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力,同時滲透了數(shù)學(xué)建模思想、整體思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力得到提高. 在教學(xué)過程中,小組合作交流還存在個別學(xué)生參與意識不強的現(xiàn)象,有些問題教師引導(dǎo)不到位,比如實際問題中建立數(shù)學(xué)模型時,通過題意不能找到等量關(guān)系時,沒有很好地幫助學(xué)生提高分析問題的能力.本節(jié)課雖采取了學(xué)生自主學(xué)習(xí)、共同探究的方法,但是還是沒有放開手腳,教師還是急于解決下邊的問題,給學(xué)生思考、交流的時間還不是很充足,應(yīng)該把課堂大膽交給學(xué)生,讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識形成過程,加深對知識的理解和掌握. 本章內(nèi)容的難點為一元二次方程的應(yīng)用,在引出一元二次方程的有關(guān)概念時,通過創(chuàng)設(shè)實際情景,建立一元二次方程的模型,通過觀察方程特點,類比一元一次方程的有關(guān)概念得出新概念,學(xué)生在實際問題中建立數(shù)學(xué)模型時,教師應(yīng)給足夠的時間交流、探究.在學(xué)習(xí)一元二次方程概念時,大膽放手,讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí),理解掌握有關(guān)概念,體會類比思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用,真正讓學(xué)生在課堂上動起來. 練習(xí)(教材第35頁) 1.解:(1)是,二次項系數(shù)為2;一次項系數(shù)為1;常數(shù)項為-1.　(2)不是.　(3)是,二次項系數(shù)為3;一次項系數(shù)為0;常數(shù)項為-12.　(4)是,二次項系數(shù)為1;一次項系數(shù)為-2;常數(shù)項為-1. 2.解:根據(jù)題意,得(40-4x)(60-2x)=800. 習(xí)題(教材第36頁) A組 1.解:如下表所示: 題號 一般形式 二次項 一次項 常數(shù)項 (1) x2-121=0 x2 0 -121 (2) x2-2x-11=0 x2 -2x -11 (3) x2-x-2=0 x2 -x -2 (4) 6x2-7x-21=0 6x2 -7x -21 2.解:設(shè)小亮為x歲,則小麗為(x+1)歲,可列方程x(x+1)=210;設(shè)小麗為x歲,則小亮為(x-1)歲,可列方程x(x-1)=210.化簡兩個方程,得x2+x-210=0,x2-x-210=0,都是一元二次方程. 3.解:因為直角三角形的三條邊長是三個連續(xù)整數(shù),所以兩條直角邊長分別為x-1,x-2.根據(jù)題意,得(x-2)2+(x-1)2=x2,整理,得x2-6x+5=0. B組 1.解:當(dāng)a-1≠0,即a≠1時,該方程為關(guān)于x的一元二次方程. 2.解:當(dāng)v0=25 m/s,g=10 m/s2,h=20 m時,可得關(guān)于t的方程20=25t-10t2,即20=25t-5t2,整理得t2-5t+4=0. 建立數(shù)學(xué)模型,類比歸納概念 1.一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重要模型,它與生活實際息息相關(guān),所以以生活實際問題為背景導(dǎo)入新課,體會數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用到生活中去,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.通過分析生活實際問題中的等量關(guān)系,構(gòu)建方程模型,通過觀察所得方程,很自然引出了本節(jié)課的課題即本節(jié)課的重點. 2.類比方法是數(shù)學(xué)中重要的方法,所以本節(jié)課類比以前學(xué)過的一元一次方程的有關(guān)概念,讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)、小組交流方式探究新知識,重難點基本能夠解決,教師適時點撥即可讓學(xué)生掌握重難點. 3.本節(jié)課重難點、易錯點的掌握通過不同形式的練習(xí)加以鞏固,讓學(xué)生積極參與,培養(yǎng)競爭意識,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,教師隨時注意學(xué)生們出現(xiàn)的問題,及時引導(dǎo)和反饋,使學(xué)生在快樂中掌握知識.整體思想及學(xué)過的知識與本節(jié)課的重點結(jié)合成為了本節(jié)課的一個難點,在習(xí)題的設(shè)計上要難易適中,有適當(dāng)?shù)奶荻?尊重學(xué)生差異,對有困難的學(xué)生多關(guān)注,培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的提升. 　已知α是方程x2-20xxx+1=0的一個根,試求α2-20xxα+的值. 〔解析〕　因為α是方程x2-20xxx+1=0的一個根,所以α2-20xxα+1=0,即α2-20xxα=-1,α2+1=20xxα,將所求代數(shù)式化簡,整體代入法可求代數(shù)式的值.注意化簡時轉(zhuǎn)化成與α2-20xxα,α2+1有關(guān)的代數(shù)式. 解:由題意可得α2-20xxα+1=0,∴α2-20xxα=-1,α2+1=20xxα, ∴α2-20xxα+=α2-20xxα+α+ =-1+α+=-1+α+ =-1+=-1+20xx=20xx. 24.2　解一元二次方程 1.能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程. 2.會根據(jù)方程的不同特點,靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠? 3.不解方程,會判斷一元二次方程根的情況. 4.能利用一元二次方程解決實際問題,增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力. 1.在探究一元二次方程的解法過程中,體會轉(zhuǎn)化、降次、分類等數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用. 　　2.參與對一元二次方程解法的探索,體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察和總結(jié)的能力,發(fā)展數(shù)學(xué)思維. 3.通過正確、熟練地解一元二次方程,提高學(xué)生的綜合運算能力. 1.通過對一元二次方程解法的探究,感受數(shù)學(xué)的嚴謹性,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識和合情推理能力. 2.通過師生的共同活動,培養(yǎng)學(xué)生積極參與、主動探索的精神,發(fā)展學(xué)生合作意識. 3.由生活實際問題抽象出一元二次方程,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識及數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 第課時 1.會根據(jù)平方根的定義解簡單一元二次方程. 2.知道形如(ax+b)2=p的方程可以用直接開平方法求解. 3.理解并掌握用配方法解簡單的一元二次方程. 4.能利用配方法解決實際問題,增強學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力. 1.通過對比、轉(zhuǎn)化,總結(jié)得出配方法的解題步驟,提高學(xué)生的推理能力. 2.經(jīng)歷探索用配方法解一元二次方程的步驟,體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程,感悟轉(zhuǎn)化思想在解一元二次方程中的運用. 3.通過用配方法熟練地解一元二次方程,培養(yǎng)學(xué)生的運算技巧,提高學(xué)生的計算能力. 1.通過師生的共同活動,培養(yǎng)學(xué)生積極參與、主動探索、敢于發(fā)表見解的精神. 2.鼓勵學(xué)生積極主動地參與知識的形成過程,激發(fā)求知的欲望,體驗成功的快樂,增強學(xué)習(xí)的興趣和自信心. 3.通過配方法的探究活動,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣,感受數(shù)學(xué)的嚴謹性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性. 4.通過用配方法將一元二次方程變形的過程,讓學(xué)生進一步體會轉(zhuǎn)化的思想方法,并增強他們的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 【重點】　利用配方法解簡單的一元二次方程. 【難點】　通過配方把一元二次方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n(n≥0)的形式. 【教師準備】　多媒體課件. 【學(xué)生準備】　預(yù)習(xí)教材P37~39. 導(dǎo)入一: 【課件展示】　一桶油漆可刷的面積為1500 dm2,張明用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面,你能算出盒子的棱長嗎? 【師生活動】　學(xué)生思考,教師引導(dǎo)回答下列問題: (1)設(shè)其中一個盒子的棱長為x dm,則一個正方體的表面積為　　　　dm2; (2)題目中的等量關(guān)系為　　　　;因此,根據(jù)題意可列方程　　　　;化簡可得　　　　. 【師生活動】　學(xué)生在教師的引導(dǎo)下完成填空,教師及時引導(dǎo)和點撥. 追問:如何解這個方程?5和-5是方程的兩個根,它們都符合問題的實際意義嗎? (棱長不能為負數(shù),所以正方體的棱長為5 dm) 【課件展示】 解:設(shè)其中一個盒子的棱長為x dm,則一個正方體的表面積為6x2 dm2. 根據(jù)題意,得106x2=1500,整理,得x2=25, 根據(jù)平方根的意義,得x=5. 即x1=5,x2=-5(不合題意,舍去). 答:其中一個盒子的棱長為5 dm. 導(dǎo)入二: 1.什么是一個數(shù)的平方根?平方根有哪些性質(zhì)? 2.計算:9的平方根是　　　　,的平方根是　　　　. 3.若x2=36,則x的值是　　　　. 4.什么是完全平方公式? 【師生活動】　共同復(fù)習(xí)平方根的概念和性質(zhì)及完全平方公式. [設(shè)計意圖]　由實際問題導(dǎo)入新課,讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)來源于生活,又應(yīng)用于生活,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,同時教師引導(dǎo)學(xué)生分析解決問題,為以后學(xué)習(xí)一元二次方程的應(yīng)用打下基礎(chǔ).通過復(fù)習(xí)平方根的概念和性質(zhì)及完全平方公式,讓學(xué)生很自然地應(yīng)用舊知識解決新問題. 　　[過渡語]　我們復(fù)習(xí)了平方根的定義,根據(jù)平方根的定義可以解某些特殊的一元二次方程,讓我們嘗試解這些方程吧. 試著做做 【課件展示】 1.根據(jù)平方根的意義,解下列方程: (1)x2=4; (2)(x+1)2=4. 【師生活動】　學(xué)生獨立思考回答,教師規(guī)范書寫. 解:(1)根據(jù)平方根的意義得x=2, ∴x1=2,x2=-2. (2)根據(jù)平方根的意義得x+1=2, ∴x+1=2或x+1=-2, ∴x1=1,x2=-3. 【思考】　方程的左右兩邊滿足什么形式時,利用平方根的意義,可以直接開平方解一元二次方程? (方程左邊是完全平方式的形式,方程右邊是一個非負數(shù).即(x+m)2=n,其中n≥0) 【師生活動】　學(xué)生獨立思考后小組合作交流,教師對學(xué)生的展示進行點評、歸納. 【課件展示】 2.解下列方程: (1)x2+2x+1=4; (2)x2+2x-3=0. 教師引導(dǎo)分析,思考下列問題并回答: (1)方程(2)與方程(1)的區(qū)別是什么? (方程(1)左邊可以化簡成完全平方式,方程(2)左邊不是完全平方式) (2)把常數(shù)項移項,如何把方程(2)的左邊化成與方程(1)的左邊相同? (移項,得x2+2x=3,根據(jù)等式的性質(zhì),方程兩邊同時加1可以化成與(1)的左邊相同) (3)能不能配方后解方程? (配方后用直接開平方法可以求解) 【師生活動】　學(xué)生小組合作交流,教師在巡視過程中幫助有困難的學(xué)生,小組代表板書解題過程,教師點評. 解:(1)原方程可化為(x+1)2=4, ∴x+1=2,∴x+1=2或x+1=-2, ∴x1=1,x2=-3. (2)原方程可化為x2+2x+1=4, 即(x+1)2=4, ∴x+1=2,∴x+1=2或x+1=-2, ∴x1=1,x2=-3. 追加提問:通過上面的探究,解一元二次方程的基本策略是什么? 【師生活動】　學(xué)生思考,教師提示:由方程(x+1)2=4,得到方程x+1=2或x+1=-2,方程的次數(shù)有什么變化?將新知識化成原來學(xué)過的知識,是數(shù)學(xué)中常用的轉(zhuǎn)化思想. (“降次”是解一元二次方程的基本策略,解一元二次方程時就是把一個一元二次方程“降次”,達到轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程的目的) [設(shè)計意圖]　通過探究利用平方根的意義解一元二次方程的方法,學(xué)生做好新舊知識的銜接,同時練習(xí)的設(shè)計由淺入深,學(xué)生易于理解和掌握本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點.引導(dǎo)學(xué)生對比練習(xí)(1)和(2)兩個方程,發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系,從而找到解決問題的突破口,依據(jù)完全平方公式進行配方,體會從特殊到一般,從具體到抽象的思維過程. 做一做 【課件展示】　先把下列方程化為(x+m)2=n(m,n是常數(shù),n≥0)的形式,再求出方程的根. (1)x2+2x=48; (2)x2-4x=12; (3)x2-6x+5=0; (4)x2+x-=0. 思路一 【課件展示】　根據(jù)完全平方公式填空: (1)x2+2x+(　　)2=(x+　　　　)2; (2)x2-4x+(　　)2=(x-　　　　)2; (3)x2-6x+(　　)2=(　　)2; (4)x2+x+(　　)2=(　　)2. 【師生活動】　學(xué)生獨立思考后,小組討論交流,共同完成,教師及時點評.教師強調(diào):當(dāng)一次項系數(shù)為負數(shù)或分數(shù)時,要注意運算的準確性. 【思考】 1.當(dāng)二次項系數(shù)為1時,配方時常數(shù)項和一次項系數(shù)之間有什么關(guān)系? (當(dāng)完全平方式的二次項為1時,常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方) 2.以上方程左邊能不能化成完全平方的形式? 3.你能將以上方程左邊化成完全平方形式后求出該方程的解嗎? 【師生活動】　學(xué)生獨立思考后,小組合作交流,教師對有困難的學(xué)生進行指導(dǎo),小組代表展示,教師點評過程中強調(diào)易錯點. 解:(1)原方程可化為x2+2x+1=49, 即(x+1)2=49, ∴x+1=7,∴x+1=7或x+1=-7, ∴x1=6,x2=-8. (2)原方程可化為x2-4x+4=16, 即(x-2)2=16, ∴x-2=4,∴x-2=4或x-2=-4, ∴x1=6,x2=-2. (3)原方程可化為x2-6x+9=4, 即(x-3)2=4, ∴x-3=2,∴x-3=2或x-3=-2, ∴x1=5,x2=1. (4)原方程可化為x2+x+=1, 即=1, ∴x+=1,∴x+=1或x+=-1, ∴x1=,x2=-. [設(shè)計意圖]　通過復(fù)習(xí)利用完全平方知識填空,學(xué)生歸納、猜想、驗證二次項系數(shù)為1時,常數(shù)項與一次項系數(shù)之間的關(guān)系,為用配方法解一元二次方程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ),同時培養(yǎng)學(xué)生歸納猜想能力.通過練習(xí),鞏固將方程左邊化為完全平方式后,直接開平方解一元二次方程的方法,為歸納配方法解方程做好鋪墊. 思路二 【思考】 1.觀察方程(1)和(2),你能否將方程左邊配成完全平方形式? 2.方程(1)(2)左邊化成完全平方式時,方程右邊怎樣變化才能使方程仍然成立? 3.方程(3)(4)怎樣轉(zhuǎn)化成方程(1)(2)的形式? 4.你能將方程(3)(4)的左邊化成完全平方形式嗎? 5.請你嘗試求出以上方程的解. 【師生活動】　學(xué)生獨立思考后,給學(xué)生足夠的時間進行小組合作交流,教師在巡視過程中幫助有困難的學(xué)生,小組代表板書解答過程,教師進行點評. 解決過程同思路一. [設(shè)計意圖]　通過教師提出的問題,學(xué)生有目的地進行合作交流,尋找解一元二次方程的新的方法,培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神及合作意識,課件展示解答過程,達到規(guī)范學(xué)生做題習(xí)慣的目的. 歸納總結(jié): 【課件展示】 通過配方,把一元二次方程變形為一邊為含未知數(shù)的一次式的平方,另一邊是常數(shù),當(dāng)常數(shù)為非負數(shù)時,利用開平方,將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程,從而求出原方程的根,這種解一元二次方程的方法叫做配方法. 24 / 24