八年級數(shù)學上冊15二次根式教學案冀教版.doc

教學資料參考范本 八年級數(shù)學上冊 15 二次根式教學案 （新版）冀教版 撰寫人：__________________ 時 間：__________________ 1.結(jié)合實際問題,了解二次根式、最簡二次根式的概念,會辨別一個根式是否為最簡二次根式. 2.掌握二次根式的性質(zhì),會根據(jù)它們熟練地進行二次根式的化簡. 3.了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運算法則,會用它們進行有關(guān)的簡單四則運算,會將分母中含有一個二次根式(根號下僅限于數(shù))的式子進行分母有理化. 1.借助二次根式的化簡與運算,提高運算能力. 2.能運用類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想討論、探究二次根式的有關(guān)性質(zhì)和運算法則. 3.能將二次根式的計算問題轉(zhuǎn)化為利用二次根式的性質(zhì)進行化簡的問題,理解“從特殊到一般”,再“從一般到特殊”的探究事物規(guī)律的方法. 1.通過探究活動,培養(yǎng)學生探求知識的欲望,讓學生體驗成功的樂趣. 2.引導學生適時地運用“逆向思維”和“類比思維”提出問題與解決問題,以提高學生的數(shù)學基本素養(yǎng). (1)在第十四章已經(jīng)學習了平方根、算術(shù)平方根的概念,還學習了借助于平方運算來求非負數(shù)的平方根、算術(shù)平方根.本章是在此基礎(chǔ)上,結(jié)合實際問題的需要,引入二次根式的概念,并以“同一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是唯一的”為依據(jù),得到二次根式的基本性質(zhì). (2)二次根式的基本性質(zhì)是二次根式化簡的基本依據(jù),用它可將任何一個二次根式化成與之等值的最簡二次根式,教材既突出了化簡的依據(jù),又突出了化簡的實施方法. (3)二次根式基本性質(zhì)的逆向應用,便可實施二次根式的乘除運算.教材以學生操作為主,輔以例示解析的過程,引導學生掌握二次根式的乘除運算(包括簡單的分母有理化);二次根式的加減運算,實際上是以二次根式的化簡為前提,而后合并“同類的最簡二次根式”.教材借助于和“整式加減的合并同類項”的類比,啟發(fā)學生自主地理解并掌握這類運算;在二次根式的混合運算中,使學生認識到:與數(shù)、整式和分式的混合運算一樣,二次根式的混合運算也是先算乘除,后算加減,有括號時,先算括號內(nèi)的. (4)通過對本章的學習,可以更概括、更統(tǒng)一地認識“式”的意義和發(fā)展層次,可以更概括、更統(tǒng)一地認識“式的化簡”與“式的運算”的依據(jù)和實施的共性,從而更好地提高運算能力. 【重點】 1.二次根式的加減運算. 2.二次根式的乘除運算. 【難點】　二次根式的化簡與計算. 1.注重概念的形成過程,讓學生在概念形成的過程中,逐步理解所學的概念. 概念是由具體到抽象、由特殊到一般,經(jīng)過分析,綜合去掉非本質(zhì)特征,保持本質(zhì)屬性而形成的.概念的形成過程也是思維過程,加強概念形成過程的教學對提高學生思維水平是十分有必要的.如二次根式的引入,要讓學生親身經(jīng)歷活動,感受引入的必要性,初步認識二次根式所表示的意義. 2.鼓勵學生探索與交流. 教學中應當讓學生進行充分的探索和交流,給學生充分的活動時間與空間,如最簡二次根式是一個怎樣的式子,教師應引導學生充分進行交流、討論與探索等數(shù)學活動,從中感受最簡二次根式應滿足的條件;再如二次根式的性質(zhì),在教學過程中應當讓學生經(jīng)歷從具體問題到一般規(guī)律的探索過程,并鼓勵學生用自己的語言清楚地表達. 3.注意運用類比的方法,使學生認識到新舊知識間的區(qū)別與聯(lián)系. 在二次根式的加、減、乘、除運算的教學中,應注意通過類比使學生認識到新舊知識的區(qū)別與聯(lián)系.二次根式與以前學過的數(shù)、整式和分式一樣,有關(guān)的化簡與運算,相應的運算律、運算法則、運算順序,乘法公式同樣適用. 15.1二次根式 2課時 15.2二次根式的乘除運算 1課時 15.3二次根式的加減運算 1課時 15.4二次根式的混合運算 1課時 回顧與思考 1課時 15.1　二次根式 1.了解二次根式、最簡二次根式的概念. 2.了解,()2,(其中a≥0)的意義. 3.理解二次根式的性質(zhì). 1.體驗研究數(shù)學問題的常用方法:由特殊到一般,由簡單到復雜. 2.經(jīng)歷二次根式概念的形成過程,體會用類比的思想研究二次根式及其性質(zhì). 1.為學生創(chuàng)造操作、思考和交流的機會,關(guān)注學生思考問題的過程. 2.鼓勵學生在探索規(guī)律的過程中從多個角度進行考慮,激發(fā)學生應用數(shù)學的熱情. 3.培養(yǎng)學生主動探索、敢于實踐、善于發(fā)現(xiàn)的科學精神以及合作精神,樹立創(chuàng)新意識. 【重點】　二次根式的概念與性質(zhì). 【難點】　二次根式基本性質(zhì)的靈活應用. 第課時 1.了解二次根式的概念和二次根式的非負性. 2.理解和掌握二次根式的簡單性質(zhì),并能利用它們進行化簡和計算. 1.經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)的過程,培養(yǎng)學生的歸納能力. 2.感受數(shù)學活動充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應用的意識和對數(shù)學的探究能力. 1.通過探究學習,培養(yǎng)學生應用數(shù)學的熱情. 2.培養(yǎng)學生主動探索、敢于實踐、善于發(fā)現(xiàn)的科學精神以及合作精神,樹立創(chuàng)新意識. 【重點】　二次根式的概念和簡單性質(zhì). 【難點】　二次根式的簡單性質(zhì). 【教師準備】　課件1~7. 【學生準備】　復習平方根與算術(shù)平方根的知識. 導入一: 1.回顧:什么叫平方根?什么叫算術(shù)平方根? 2.【課件1】　填空. (1)的平方根是　　　　; (2)一個圓的面積為S,這個圓的半徑是　　　　; (3)若正方形的面積為a-4,則邊長為　　　　. 學生思考并回答. 3.提問:你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特征嗎? 學生觀察,總結(jié)共同特征并表述意見. [設(shè)計意圖]　喚起學生對于平方根和算術(shù)平方根的記憶,使學生認識到學習根式的必要性.通過觀察、歸納,為后面學習二次根式的概念及其基本性質(zhì)做好鋪墊. 導入二: 1.已知一個正方形的面積為a,則正方形的邊長是　　　　. 2.提問:你認為所得的代數(shù)式有什么特點?(教師鼓勵學生用自己的語言總結(jié)出特征,鼓勵學生大膽表述意見,然后作適當點評,板書本課課題) [設(shè)計意圖]　讓學生在實際情境中寫出表示算術(shù)平方根的式子,一方面復習了舊知識,另一方面為接下來學習新課做準備.通過問題引入,調(diào)動了學生的積極性. 導入三: 在第十四章,我們學習了平方根及算術(shù)平方根,知道當a≥0時,表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根,表示非負數(shù)a的平方根;,都表示非負數(shù)a的開平方,中“”表示一種運算,因此,(a≥0)還有一個名字,你知道嗎? [設(shè)計意圖]　通過復習平方根和算術(shù)平方根的表示方法和意義,引出的另一個名稱,引起學生思考,激發(fā)學生的學習熱情. 活動一:二次根式的概念 　　[過渡語]　我們已經(jīng)學習了數(shù)的開平方,并用(a≥0)表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根.現(xiàn)在,我們首先來學習二次根式的定義. 思路一 【課件2】　(教材第90頁一起探究) 1.(1)2,18,,的算術(shù)平方根是怎樣表示的? (2)非負數(shù)m,p+q,t2-1的算術(shù)平方根又是怎樣表示的? 2.學校要修建一個占地面積為S m2的圓形噴水池,它的半徑應為多少米?如果在這個圓形噴水池的外圍增加一個占地面積為a m2的環(huán)形綠化帶,那么所成大圓的半徑應為多少米? 引導學生分析得出: 1.解:(1),,,.　(2),,. 2. 解:,. 引導學生概括二次根式的定義:在上面的問題中,我們得到了,,,,,,,,等式子,它們分別表示某個非負數(shù)的算術(shù)平方根.一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式. [知識拓展]　(1)二次根式的被開方數(shù)a可能為整式,也可能為分式,因此要分清a所代表的式子類型. (2)本身作分母時,要注意只能大于0,不能等于0. (3)要注意,等,這時無論a取何值都有意義. [設(shè)計意圖]　讓學生通過自己思考,得出表示這些數(shù)的一般形式,體會概念是由具體到抽象、由特殊到一般的過程形成的,進而給出二次根式的概念. 【課件3】　判斷下列各式是二次根式嗎? ;?、?;　;　(m≤0);　(x,y異號);　;　+1;　. 學生快速回答,共同分析. [設(shè)計意圖]　通過小練習及時檢驗學生對二次根式概念的理解和把握,二次根式根號內(nèi)被開方數(shù)的取值范圍一定要大于或等于0. 思路二 活動: (引導學生概括二次根式的定義:像,這樣表示一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的式子叫做二次根式) 概念深化: 提問:+1是不是二次根式?呢? 議一議:二次根式表示什么意義? 此算術(shù)平方根的被開方數(shù)是什么?被開方數(shù)必須滿足什么條件的二次根式才有意義? 其中字母a要滿足什么條件?為什么? 【展示點評】 經(jīng)學生討論后,讓學生回答,并讓其他的學生點評. 最后教師歸納:一個非負數(shù)的算術(shù)平方根才是二次根式,如果無法判斷被開方數(shù)是非負數(shù),那么這個式子就不能說是二次根式.+1中的a可能為正,也可能為負,所以不能說這個式子是二次根式,中的a+1也可能為正,也可能為負,所以也不能說這個式子是二次根式. 【反思小結(jié)】 教師總結(jié):從形式上看,二次根式必須具備以下兩個條件: (1)必須有二次根號; (2)被開方數(shù)不能小于0. [設(shè)計意圖]　通過探究促使學生獨立思考、合作探討,并最終獲得結(jié)論,有利于幫助學生從被動地接受知識到主動地探索新知,滿足學生的多樣化學習需求,通過學生自己歸納總結(jié),讓學生經(jīng)歷二次根式概念的形成過程,符合學生的認知規(guī)律,避免了概念教學的機械記憶,同時提高學生的概括總結(jié)能力,培養(yǎng)了學生思維的嚴謹性. 活動二:二次根式的簡單性質(zhì) 　　[過渡語]　了解了二次根式的概念,實際上(a≥0)表示的就是我們以前學過的非負數(shù)a的算術(shù)平方根,下面我們來研究一下它有哪些簡單性質(zhì). 思路一 【課件4】　(教材第90頁大家談談)小亮和小穎對二次根式“(a≥0)”分別有如下的觀點.你認同小亮和小穎的觀點嗎?請舉例說明. 小亮的觀點:因為表示的是非負數(shù)a的算術(shù)平方根,所以根據(jù)算術(shù)平方根的意義,有≥0. 小穎的觀點:因為表示的是非負數(shù)a的算術(shù)平方根,所以根據(jù)算術(shù)平方根和被開方數(shù)的意義,有()2=a. 學生討論舉例后得出小亮和小穎的觀點都正確. 教師總結(jié):(1)(a≥0)是一個非負數(shù),即具有雙重非負性,一是被開方數(shù)是非負數(shù),二是它的結(jié)果是非負數(shù);(2)()2=a(a≥0),即非負數(shù)a的算術(shù)平方根的平方等于a. 【課件5】　做一做:=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　. 教師點評:根據(jù)算術(shù)平方根的意義,我們可以得到:=2;=0.01;;;=0. 想一想:根據(jù)上面的計算,你能得到什么結(jié)論? 學生討論得出,一般地,=a(a≥0). 【課件6】　(教材第91頁做一做)化簡. (1)()2;　(2);　(3);　(4). 教師指名回答,公布答案. 解:(1)()2=3.　(2).　(3)=5.　(4). 思路二 我們知道非負數(shù)有算術(shù)平方根,所以根據(jù)算術(shù)平方根的意義,我們不難得到非負數(shù)的算術(shù)平方根還是非負數(shù),即≥0(a≥0). 1.性質(zhì)1:()2=a(a≥0). (1)觀察:22=4,即()2=4;32=9,即()2=9…… (2)提問:觀察上述等式的兩邊,你得到什么啟示? (3)板書:當a≥0時,=a. [設(shè)計意圖]　通過觀察、思考、解答,培養(yǎng)學生自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,使學生真正成為知識的主動建構(gòu)者. 2.性質(zhì)2:=a(a≥0). (1)提問:等于什么? (2)舉例:=2;=2;=3;=3…… (3)發(fā)現(xiàn):當a≥0時,=a;當a<0時,=-a. (4)歸納: 3.比較()2和的區(qū)別. 學生討論,回答. 說明:關(guān)鍵抓住被開方數(shù)的非負性和(a≥0)的非負性. [知識拓展]　理解()2和時應注意以下幾點: (1)從a的取值范圍理解:中的a為全體實數(shù),而()2中的a為非負數(shù). (2)從所得的結(jié)果理解:,而()2=a,也就是說當a≥0時,=()2. [設(shè)計意圖]　通過比較、討論、試做的教學方式,加深學生對兩個性質(zhì)的認識,同時,也關(guān)注了學生學習方式的個性化,做到既著眼于共同發(fā)展,又關(guān)注于個性差異. 活動三:例題講解 【課件7】 　化簡. (1);　(2). 〔解析〕　0.04=0.22,,可以利用=a(a≥0)化簡. 解:(1)=0.2.　(2)=12=1. [設(shè)計意圖]　盡管問題相對簡單,但規(guī)范的解答還是非常有必要的,要養(yǎng)成學生學習一個新概念時穩(wěn)扎穩(wěn)打的態(tài)度,這樣對于概念才會認識得更深更透. 1.二次根式的定義 一般地,把形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 判斷一個式子是不是二次根式,一定要緊扣定義,看所給的式子是否同時具備如下兩個特征: (1)帶有二次根號“”,即根指數(shù)是2; (2)被開方數(shù)不小于零. 只有同時滿足上述兩個特征,才是二次根式,如果不滿足其中任何一個特征,就不是二次根式. 2.二次根式的基本性質(zhì) (1)當a≥0時,()2=a;(2)當a≥0時,=a. 1.下列各式中,不是二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 解析:根據(jù)二次根式的定義,可知二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù),因為的被開方數(shù)小于零,故B錯誤.故選B. 2.如果是二次根式,那么a應滿足(　　) A.a≥0 B.a≠3 C.a=3 D.a≥3 解析:∵是二次根式,∴a-3≥0,解得a≥3.故選D. 3.若a為實數(shù),則化簡的結(jié)果是 (　　) A.-a B.a C.a2 D.|a| 解析:∵當a<0時,=|a|=-a.當a≥0時,=|a|=a.故選D. 4.下列四個等式:=4;②(-)2=16;③()2=4;=-4.其中正確的是 (　　) A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 解析:=4,正確;②(-)2=4≠16,不正確;③()2=4,符合二次根式的意義,正確;=4≠-4,不正確.①③正確.故選D. 5.如果=2-x,那么x的取值范圍是 (　　) A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2 解析:根據(jù)二次根式的結(jié)果是非負數(shù),可得不等式2-x≥0,解得x≤2.故選A. 6.計算-的結(jié)果是 (　　) A.-3 B.3 C.-9 D.9 解析:-=-=-3.故選A. 7.探究發(fā)現(xiàn). (1)完成下列填空:=　　　　,=　　　　,=　　　　,④ =　　　　. (2)利用(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算:①若x>2,則=　　　　;=　　　　. 解析:根據(jù)即可得解. 答案:(1)①3　②0.5?、?　　(2)①x-2?、讦?3.14 8.當x取何值時,下列各式為二次根式? (1);　(2). 解析:根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù),可得答案. 解:(1)由-3x≥0,得x≤0,所以當x≤0時,是二次根式. (2)根據(jù)題意得2-x<0,得x>2,所以當x>2時,是二次根式. 9.判斷下列各式,哪些是二次根式,哪些不是,為什么? ,-,,,(a≥0),. 解析:二次根式要滿足兩個條件:(1)帶有二次根號“”,即根指數(shù)是2;(2)被開方數(shù)不小于零. 解:,-,(a≥0),符合二次根式的形式,故是二次根式;的根指數(shù)是3,故不是二次根式;的被開方數(shù)小于0,無意義,故不是二次根式. 10.根據(jù)材料回答問題. x為何值時,有意義? 解:根據(jù)題意得x(x-1)≥0, 由乘法法則得或 解得x≥1或x≤0, 即當x≥1或x≤0時,有意義. 體會解題思想后,求當x為何值時,有意義. 解析:根據(jù)題目信息進行解答. 解:要使有意義,則≥0, 所以或 解得x≥2或x<-, 即當x≥2或x<-時,有意義. 11.已知y=-3,求(x+y)4的值. 解析:先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值,進而得出y的值,代入代數(shù)式進行計算即可. 解:∵與有意義, ∴解得x=2, ∴y=-3,∴(2-3)4=1. 第1課時 活動一:二次根式的概念 活動二:二次根式的簡單性質(zhì) 活動三:例題講解 例題 一、教材作業(yè) 【必做題】 1.教材第91頁練習. 2.教材第92頁習題A組第1,2題. 【選做題】 教材第92頁習題B組第1,2題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.化簡,正確的結(jié)果是 (　　) A.72 B.72 C.432 D.以上答案都不是 2.下列各式中不是二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 3.下列各式:;;;;.其中二次根式的個數(shù)有 (　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 4.已知是二次根式,則a的值可能是 (　　) A.-2 B.-1 C.2 D.-7 5.要使二次根式有意義,則x的取值范圍是 (　　) A.x≥ B.x≤ C.x≥ D.x≤ 6.要使代數(shù)式有意義,則x的 (　　) A.最大值是 B.最小值是 C.最大值是 D.最小值是 【能力提升】 7.實數(shù)a,b的對應點在數(shù)軸上的位置如圖所示,則+a的化簡結(jié)果為 (　　) A.2a+b B.-b C.b D.2a-b 8.下列各式哪些一定是二次根式? (1);　(2);　(3);　(4);　(5). 9.當x是怎樣的實數(shù)時,下列各式有意義? (1);　(2) ;　(3)+1;　(4) ;　(5);　(6). 【拓展探究】 10.化簡. 11.已知實數(shù)a,b的對應點在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡+2-. 【答案與解析】 1.B(解析:=72.故選B.) 2.B(解柏:二次根式成立的條件是被開方數(shù)是非負數(shù),而的被開方數(shù)是負數(shù),所以不是二次根式.故選B.) 3.B(解析:根據(jù)二次根式的定義,一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,可知和是二次根式.故選B.) 4.C(解析:根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù),可知C選項正確.故選C.) 5.B(解析:依題意得3-2x≥0,解得x≤.故選B.) 6.A(解析:∵代數(shù)式有意義,∴2-3x≥0,解得x≤.∴x的最大值為.故選A.) 7.B(解析:由數(shù)軸可知b<0<a,|b|>|a|,∴+a=|a+b|+a=-a-b+a=-b.故選B.) 8.解:(1)∵m2≥0,∴m2+1>0,∴是二次根式.　(2)∵a2≥0,∴是二次根式.　(3)∵n2≥0,∴-n2≤0,∴當n=0時,才是二次根式,故不一定是二次根式.　(4)當a-2≥0時是二次根式,當a-2<0時不是二次根式,即當a≥2時是二次根式,當a<2時不是二次根式,故不一定是二次根式.　(5)當x-y≥0時是二次根式,當x-y<0時不是二次根式,即當x≥y時是二次根式,當x<y時不是二次根式,故不一定是二次根式. 9.解:(1)5-3x≥0,解得x≤.　(2)->0,解得x<.　(3)x2≥0,x取全體實數(shù).　(4)-1≥0,解得x≥3.　(5)(x-2)2≥0,x取全體實數(shù).　(6)x+8≥0且x-4≠0,解得x≥-8且x≠4. 10.解:原式=|3-a|+|a-7|.①當a<3時,原式=3-a+7-a=10-2a;②當3≤a≤7時,原式=4;③當a>7時,原式=a-3+a-7=2a-10. 11.解:由數(shù)軸可知-2<a<-1,1<b<2,b>a,故a+1<0,b-1>0,a-b<0,原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)=b-3. 在授課過程中,首先教師讓學生回顧了算術(shù)平方根與平方根的概念,并且通過一些思考題,得出二次根式的定義.通過練習掌握如何判斷一個式子是否是二次根式的方法,通過“大家談談”讓學生得出二次根式的兩個性質(zhì),體會從特殊到一般的思維過程,進而掌握公式的一般推導方法.本節(jié)課大部分時間都是引導學生邊學邊做,讓學生經(jīng)歷了整個學習過程.同時在學習過程中,引導學生自己得出結(jié)論及二次根式的兩個性質(zhì),在學生舉例討論之后,讓學生自己初步得出了結(jié)論.整個教學過程,體現(xiàn)了“從特殊到一般”“由具體到抽象”的過程. 1.在實際教學中,仍然存在著對課堂時間把握 不精確的問題,出現(xiàn)了前松后緊的現(xiàn)象,以致有深度的練習沒時間完成,結(jié)束得也比較倉促. 2.在引導學生探索求知和互動學習方面還有欠缺. 3.新的教學理念要求教師在課堂教學中注意引導學生探究學習,在課堂教學中,對學生探索求知進行了引導,并且鼓勵大家自己得出結(jié)論,但在互動方面做得還不夠,大部分學生都是獨立思考,很少與同學合作交流. 1.在今后教學中,應注意時間的掌控,合理地安排好每個環(huán)節(jié)的時間,事先應做好預設(shè). 2.在教學中應多培養(yǎng)學生合作交流的意識,這樣有助于他們今后的生活和學習. 練習(教材第91頁) 解:(1)2.　(2)0.04.　(3)0.8.　(4). 習題(教材第92頁) A組 1.解:(1).　(2)11.　(3)15. 2.解:(1).　(2)169.　(3). B組 1.解:設(shè)鏡框的寬為2x cm,則長為3x cm.由題意得3x2x=300,x2=50.解得x=5或x=-5(舍),所以2x=10.答:鏡框的寬為10 cm. 2.解:設(shè)大正方形的邊長為x cm.由題意得x2=a2+b2,取正值解得x=.當a=3,b=4時,x=5.答:大正方形的邊長為5 cm. 對于二次根式的定義可以從以下幾個方面理解: (1)從形式上看,二次根式必須含“”. (2)二次根式的被開方數(shù)a既可以表示一個數(shù),也可以表示一個代數(shù)式,但必須保證有意義,即a若表示一個數(shù),則a必須是非負數(shù);若a表示一個代數(shù)式,則這個代數(shù)式的值必須是非負數(shù).也就是說當a≥0時,才是二次根式;當a<0時,無意義. 對于二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù),是指整個代數(shù)式是非負數(shù),而不是其中的字母表示的數(shù)為非負數(shù).為了求出使二次根式有意義的字母的取值范圍,只需解不等式(組)即可. 　先化簡a+,然后再分別求出a=-2和a=3時,原代數(shù)式的值. 解:a+=a+=a+|a+1|. 當a=-2時,原式=-2+|-2+1|=-2+1=-1; 當a=3時,原式=3+|3+1|=3+4=7. [解題歸納]　本題考查了二次根式的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是先化簡,再求值. 　已知a,b,c均為實數(shù),且+a=0,=1,=c,化簡--. 〔解析〕　首先根據(jù)已知條件確定a,b,c的符號,從而確定a+b,a-c,c-b的符號,然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)、絕對值的意義即可化簡求解. 解:∵+a=0,∴=-a,∴a≤0,∵=1,∴ab>0,則a,b同號,∴a<0,b<0. ∵=c,∴c≥0.∴a+b<0,a-c<0,c-b>0. ∴原式=-b+(a+b)+(c-a)-(c-b)=-b+a+b+c-a-c+b=b. [解題歸納]　本題考查了二次根式的定義以及絕對值的意義,正確確定a,b,c的符號是關(guān)鍵. 　實數(shù)x在什么范圍內(nèi)取值時,下列各式才有意義? (1);　(2);　(3). 〔解析〕　根據(jù)二次根式有意義的條件進行解答. 解:(1)若有意義,則3x+7≥0,解得x≥-. (2)若有意義,則2x-1>0,解得x>. (3)若有意義,則解得-1≤x≤2. [解題歸納]　本題主要考查了二次根式有意義的條件,解答本題的關(guān)鍵是要使二次根式有意義,被開方數(shù)不能小于0. 第課時 1.理解和掌握積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì). 2.會利用積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì)對根式進行化簡. 3.理解最簡二次根式的概念,并能把一個不是最簡二次根式的二次根式化為最簡二次根式. 1.運用類比的方法,學習積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì). 2.采用從具體到抽象的方法增強學生對兩公式的理解. 培養(yǎng)學生探索事物之間內(nèi)在聯(lián)系的學習習慣,使學生獲得成功的喜悅. 【重點】 1.積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì). 2.最簡二次根式的概念. 【難點】　能利用積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式. 【教師準備】　課件1~13. 【學生準備】　二次根式的簡單性質(zhì). 導入一: 【課件1】　一塊正方形木板面積為200 cm2,你能在不用計算器的情況下,以最快的速度求出正方形木板的邊長嗎? [設(shè)計意圖]　學生在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上直接開平方,發(fā)現(xiàn)200直接開平方不是整數(shù),從而無法確定具體數(shù)值,引出問題,為學習后面的內(nèi)容創(chuàng)設(shè)情境. 導入二: 教師提問: 【課件2】　(1)什么是二次根式?二次根式的被開方數(shù)需滿足什么條件? (2)我們學過二次根式的哪些簡單性質(zhì)? 學生回答. [設(shè)計意圖]　簡單回顧上節(jié)所學內(nèi)容,既起到了鞏固的作用,又為本節(jié)課性質(zhì)的學習做好鋪墊,進而讓學生體會到知識之間的聯(lián)系. 活動一:一起探究——二次根式的性質(zhì) 思路一 探究點1:積的算術(shù)平方根 問題1:【課件3】　計算下列各式,并觀察結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? (1)與;　(2)與. 學生計算,得出(1)(2)中兩式均相等. 問題2:【課件4】　猜想:與有什么關(guān)系? 組織學生計算,驗證猜想:(分組嘗試,討論交流) 方法一:事實上,根據(jù)積的乘方法則,有()2=()2()2=25,并且>0,所以是25的算術(shù)平方根,即. 方法二:因為()2=()2()2=25,()2=25,且>0,>0,所以. 問題3:【課件5】　當a≥0,b≥0時,對和的關(guān)系提出你的猜想,并說明理由. 指導學生仿照問題2的證明過程加以證明. 解:因為當a≥0,b≥0時,()2=ab,()2=()2()2=ab,所以. 引導學生進行歸納得出:積的算術(shù)平方根等于積中各因數(shù)的算術(shù)平方根的積,即(a≥0,b≥0). [知識拓展]　積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以推廣到多個非負因數(shù)的情況.如(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0). [設(shè)計意圖]　盡管學生能夠猜想出結(jié)果,但還是缺乏必要的說理,再次引出問題,讓學生交流討論,碰撞出火花,體會數(shù)學的嚴謹性與科學性. 探究點2:商的算術(shù)平方根 問題1:【課件6】　與是否相等?與呢? 學生經(jīng)過計算得出兩個式子均相等. 問題2:【課件7】　對照剛才得到的結(jié)論,當a≥0,b>0時,與有什么關(guān)系?并說明理由. 學生不難猜想得到(a≥0,b>0). 引導學生根據(jù)剛才的證明過程加以證明. 解:因為當a≥0,b>0時,,,所以　. 問題3:對照積的算術(shù)平方根的性質(zhì),你能總結(jié)出商的算術(shù)平方根的性質(zhì)嗎? 引導學生歸納:商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商,即 (或)(a≥0,b>0) [設(shè)計意圖]　培養(yǎng)學生用類比的思想和方法探究新知及從特殊到一般的歸納概括的能力. 思路二 問題1:【課件8】　計算下列各式,觀察計算結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? (1)=　　　　;=　　　　. (2)=　　　　;=　　　　. (3)=　　　　;=　　　　. (4)=　　　　;=　　　　. 師:出示問題,引導學生觀察計算結(jié)果,總結(jié)式子的規(guī)律. 生:學生計算、觀察、分組討論,發(fā)現(xiàn)上述每組中的兩個式子相等. 問題2:【課件9】　根據(jù)上面的探究,下列式子是否也存在類似關(guān)系,猜想你的結(jié)論并用計算器驗證. (1)=　　　　;=　　　　. (2)=　　　　;=　　　　. (3)=　　　　;=　　　　. (4)=　　　　;=　　　　. 學生經(jīng)過計算得出上述每組中的兩個式子也相等. 問題3:【課件10】　猜想:(1)當a≥0,b≥0時,和有什么關(guān)系?(2)當a≥0,b>0時,和有什么關(guān)系?請你說明理由. 引導學生小組討論,利用算術(shù)平方根的簡單性質(zhì)進行證明. [設(shè)計意圖]　引導學生體會知識的形成過程,通過觀察、猜想、證明、歸納,讓學生得到積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì). 活動二:觀察與思考——探究最簡二次根式的概念 　　[過渡語]　剛才我們得到了積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì),下面請同學們根據(jù)剛才學到的性質(zhì)完成下面的例題. 【課件11】 　化簡. (1);　(2);　(3);　(4). 〔解析〕　(1)(2)直接利用(a≥0,b≥0)進行化簡;(3)(4)利用(a≥0,b>0)進行化簡. 解:(1)=3. (2)=4. (3). (4). 【課件12】　觀察例題中每個小題化簡前后被開方數(shù)的變化,請思考: (1)化簡前,被開方數(shù)是怎樣的數(shù)? (2)化簡后,被開方數(shù)是怎樣的數(shù)?它們還含有能開得盡方的因數(shù)嗎? 歸納:①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式,我們把這樣的二次根式叫做最簡二次根式. 說明:二次根式的化簡過程就是將它化為最簡二次根式的過程. 提出問題:在,3,,,,3,中,哪些是最簡二次根式?為什么? 把“提出問題”中不是最簡二次根式的化成最簡二次根式. 指一名同學到黑板上板書,其他學生在練習本上完成. 出示“做一做”. 【課件13】　(教材第94頁做一做)化簡. (1);　(2);　(3);　(4). 解:(1)=3. (2)=4. (3). (4). [設(shè)計意圖]　鞏固積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì),通過對最簡二次根式的探究,培養(yǎng)學生探索數(shù)學規(guī)律的能力,強化訓練,提高能力. 積的算術(shù)平方根 積的算術(shù)平方根等于積中各因數(shù)的算術(shù)平方根的積 (a≥0,b≥0) 公式中的a,b既可以是數(shù),也可以是代數(shù)式,但必須注意都應是非負的,這是公式成立的條件.如:≠ 商的算術(shù)平方根 商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商 (或)(a≥0,b>0) (1)公式中的條件是限制等號右邊的,等號左邊只要≥0即可,而右邊每一個式子(數(shù))必須滿足二次根式的條件,即a≥0,b>0;(2)該性質(zhì)適用于二次根式的化簡和計算 最簡二次根式 一般地,如果一個二次根式滿足①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式,②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式,我們把這樣的二次根式叫做最簡二次根式 1.(20xx揚州中考)下列二次根式中是最簡二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 解析:A.符合最簡二次根式的定義,故本選項正確;B.原式=2;C.原式=2;D.被開方數(shù)含分母,不是最簡二次根式,故本選項錯誤.故選A. 2.能使等式成立的x的取值范圍是 (　　) A.x≠2 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2 解析:本題需注意的是,被開方數(shù)為非負數(shù),且分式的分母不能為0,列不等式組解得x>2.故選C. 3.下列計算正確的是 (　　) =6;=-6;=3;-=1. A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析:①和②根號下不能為負數(shù),故①②錯誤;③利用平方差公式進行因式分解,=3,故③正確;由③可知④錯誤.故正確的只有1個.故選A. 4.設(shè)=a,=b,用含a,b的式子表示,下列表示正確的是 (　　) A. B.3ab C. D. 解析:∵=a,=b,∴.故選A. 5.化簡-3的結(jié)果是 (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:原式=-3=-3=-3=-.故選C. 6.下列各式成立的是 (　　) A. B. C. D. 解析:A.被開方數(shù)是正數(shù),然后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)計算,故選項正確;B.原式=,故選項錯誤;C.原式=,故選項錯誤;D.原式=,故選項錯誤.故選A. 7.=2,這個計算過程正確嗎?如果不正確,請改正. 解析:首先根據(jù)除法法則約掉負號,然后再計算開方即可. 解:計算過程錯誤,=2. 8.在下列各式中,哪些是最簡二次根式?哪些不是?對不是最簡二次根式的進行化簡. (1);　(2);　(3);　(4);　(5). 解析:判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法,就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足,同時滿足的就是最簡二次根式,否則就不是. 解:(1)=3,含有能開得盡方的因數(shù),因此不是最簡二次根式.　 (2),被開方數(shù)中含有分母,因此不是最簡二次根式.　 (3)的被開方數(shù)為整數(shù),被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式,因此是最簡二次根式.　 13 / 13