八年級數(shù)學(xué)上冊15二次根式教學(xué)案冀教版.doc

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教學(xué)資料參考范本 八年級數(shù)學(xué)上冊 15 二次根式教學(xué)案 （新版）冀教版 撰寫人：__________________ 時 間：__________________ 1.結(jié)合實際問題,了解二次根式、最簡二次根式的概念,會辨別一個根式是否為最簡二次根式. 2.掌握二次根式的性質(zhì),會根據(jù)它們熟練地進(jìn)行二次根式的化簡. 3.了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、乘、除運算法則,會用它們進(jìn)行有關(guān)的簡單四則運算,會將分母中含有一個二次根式(根號下僅限于數(shù))的式子進(jìn)行分母有理化. 1.借助二次根式的化簡與運算,提高運算能力. 2.能運用類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想討論、探究二次根式的有關(guān)性質(zhì)和運算法則. 3.能將二次根式的計算問題轉(zhuǎn)化為利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡的問題,理解“從特殊到一般”,再“從一般到特殊”的探究事物規(guī)律的方法. 1.通過探究活動,培養(yǎng)學(xué)生探求知識的欲望,讓學(xué)生體驗成功的樂趣. 2.引導(dǎo)學(xué)生適時地運用“逆向思維”和“類比思維”提出問題與解決問題,以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng). (1)在第十四章已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方根、算術(shù)平方根的概念,還學(xué)習(xí)了借助于平方運算來求非負(fù)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根.本章是在此基礎(chǔ)上,結(jié)合實際問題的需要,引入二次根式的概念,并以“同一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是唯一的”為依據(jù),得到二次根式的基本性質(zhì). (2)二次根式的基本性質(zhì)是二次根式化簡的基本依據(jù),用它可將任何一個二次根式化成與之等值的最簡二次根式,教材既突出了化簡的依據(jù),又突出了化簡的實施方法. (3)二次根式基本性質(zhì)的逆向應(yīng)用,便可實施二次根式的乘除運算.教材以學(xué)生操作為主,輔以例示解析的過程,引導(dǎo)學(xué)生掌握二次根式的乘除運算(包括簡單的分母有理化);二次根式的加減運算,實際上是以二次根式的化簡為前提,而后合并“同類的最簡二次根式”.教材借助于和“整式加減的合并同類項”的類比,啟發(fā)學(xué)生自主地理解并掌握這類運算;在二次根式的混合運算中,使學(xué)生認(rèn)識到:與數(shù)、整式和分式的混合運算一樣,二次根式的混合運算也是先算乘除,后算加減,有括號時,先算括號內(nèi)的. (4)通過對本章的學(xué)習(xí),可以更概括、更統(tǒng)一地認(rèn)識“式”的意義和發(fā)展層次,可以更概括、更統(tǒng)一地認(rèn)識“式的化簡”與“式的運算”的依據(jù)和實施的共性,從而更好地提高運算能力. 【重點】 1.二次根式的加減運算. 2.二次根式的乘除運算. 【難點】　二次根式的化簡與計算. 1.注重概念的形成過程,讓學(xué)生在概念形成的過程中,逐步理解所學(xué)的概念. 概念是由具體到抽象、由特殊到一般,經(jīng)過分析,綜合去掉非本質(zhì)特征,保持本質(zhì)屬性而形成的.概念的形成過程也是思維過程,加強概念形成過程的教學(xué)對提高學(xué)生思維水平是十分有必要的.如二次根式的引入,要讓學(xué)生親身經(jīng)歷活動,感受引入的必要性,初步認(rèn)識二次根式所表示的意義. 2.鼓勵學(xué)生探索與交流. 教學(xué)中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生進(jìn)行充分的探索和交流,給學(xué)生充分的活動時間與空間,如最簡二次根式是一個怎樣的式子,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流、討論與探索等數(shù)學(xué)活動,從中感受最簡二次根式應(yīng)滿足的條件;再如二次根式的性質(zhì),在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生經(jīng)歷從具體問題到一般規(guī)律的探索過程,并鼓勵學(xué)生用自己的語言清楚地表達(dá). 3.注意運用類比的方法,使學(xué)生認(rèn)識到新舊知識間的區(qū)別與聯(lián)系. 在二次根式的加、減、乘、除運算的教學(xué)中,應(yīng)注意通過類比使學(xué)生認(rèn)識到新舊知識的區(qū)別與聯(lián)系.二次根式與以前學(xué)過的數(shù)、整式和分式一樣,有關(guān)的化簡與運算,相應(yīng)的運算律、運算法則、運算順序,乘法公式同樣適用. 15.1二次根式 2課時 15.2二次根式的乘除運算 1課時 15.3二次根式的加減運算 1課時 15.4二次根式的混合運算 1課時 回顧與思考 1課時 15.1　二次根式 1.了解二次根式、最簡二次根式的概念. 2.了解,()2,(其中a≥0)的意義. 3.理解二次根式的性質(zhì). 1.體驗研究數(shù)學(xué)問題的常用方法:由特殊到一般,由簡單到復(fù)雜. 2.經(jīng)歷二次根式概念的形成過程,體會用類比的思想研究二次根式及其性質(zhì). 1.為學(xué)生創(chuàng)造操作、思考和交流的機會,關(guān)注學(xué)生思考問題的過程. 2.鼓勵學(xué)生在探索規(guī)律的過程中從多個角度進(jìn)行考慮,激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的熱情. 3.培養(yǎng)學(xué)生主動探索、敢于實踐、善于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神以及合作精神,樹立創(chuàng)新意識. 【重點】　二次根式的概念與性質(zhì). 【難點】　二次根式基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用. 第課時 1.了解二次根式的概念和二次根式的非負(fù)性. 2.理解和掌握二次根式的簡單性質(zhì),并能利用它們進(jìn)行化簡和計算. 1.經(jīng)歷觀察、比較、總結(jié)的過程,培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力. 2.感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性和創(chuàng)造性,體驗發(fā)現(xiàn)的快樂,并提高應(yīng)用的意識和對數(shù)學(xué)的探究能力. 1.通過探究學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的熱情. 2.培養(yǎng)學(xué)生主動探索、敢于實踐、善于發(fā)現(xiàn)的科學(xué)精神以及合作精神,樹立創(chuàng)新意識. 【重點】　二次根式的概念和簡單性質(zhì). 【難點】　二次根式的簡單性質(zhì). 【教師準(zhǔn)備】　課件1~7. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　復(fù)習(xí)平方根與算術(shù)平方根的知識. 導(dǎo)入一: 1.回顧:什么叫平方根?什么叫算術(shù)平方根? 2.【課件1】　填空. (1)的平方根是　　　　; (2)一個圓的面積為S,這個圓的半徑是　　　　; (3)若正方形的面積為a-4,則邊長為　　　　. 學(xué)生思考并回答. 3.提問:你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特征嗎? 學(xué)生觀察,總結(jié)共同特征并表述意見. [設(shè)計意圖]　喚起學(xué)生對于平方根和算術(shù)平方根的記憶,使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)根式的必要性.通過觀察、歸納,為后面學(xué)習(xí)二次根式的概念及其基本性質(zhì)做好鋪墊. 導(dǎo)入二: 1.已知一個正方形的面積為a,則正方形的邊長是　　　　. 2.提問:你認(rèn)為所得的代數(shù)式有什么特點?(教師鼓勵學(xué)生用自己的語言總結(jié)出特征,鼓勵學(xué)生大膽表述意見,然后作適當(dāng)點評,板書本課課題) [設(shè)計意圖]　讓學(xué)生在實際情境中寫出表示算術(shù)平方根的式子,一方面復(fù)習(xí)了舊知識,另一方面為接下來學(xué)習(xí)新課做準(zhǔn)備.通過問題引入,調(diào)動了學(xué)生的積極性. 導(dǎo)入三: 在第十四章,我們學(xué)習(xí)了平方根及算術(shù)平方根,知道當(dāng)a≥0時,表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根,表示非負(fù)數(shù)a的平方根;,都表示非負(fù)數(shù)a的開平方,中“”表示一種運算,因此,(a≥0)還有一個名字,你知道嗎? [設(shè)計意圖]　通過復(fù)習(xí)平方根和算術(shù)平方根的表示方法和意義,引出的另一個名稱,引起學(xué)生思考,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 活動一:二次根式的概念 　　[過渡語]　我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方,并用(a≥0)表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根.現(xiàn)在,我們首先來學(xué)習(xí)二次根式的定義. 思路一 【課件2】　(教材第90頁一起探究) 1.(1)2,18,,的算術(shù)平方根是怎樣表示的? (2)非負(fù)數(shù)m,p+q,t2-1的算術(shù)平方根又是怎樣表示的? 2.學(xué)校要修建一個占地面積為S m2的圓形噴水池,它的半徑應(yīng)為多少米?如果在這個圓形噴水池的外圍增加一個占地面積為a m2的環(huán)形綠化帶,那么所成大圓的半徑應(yīng)為多少米? 引導(dǎo)學(xué)生分析得出: 1.解:(1),,,.　(2),,. 2. 解:,. 引導(dǎo)學(xué)生概括二次根式的定義:在上面的問題中,我們得到了,,,,,,,,等式子,它們分別表示某個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根.一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式. [知識拓展]　(1)二次根式的被開方數(shù)a可能為整式,也可能為分式,因此要分清a所代表的式子類型. (2)本身作分母時,要注意只能大于0,不能等于0. (3)要注意,等,這時無論a取何值都有意義. [設(shè)計意圖]　讓學(xué)生通過自己思考,得出表示這些數(shù)的一般形式,體會概念是由具體到抽象、由特殊到一般的過程形成的,進(jìn)而給出二次根式的概念. 【課件3】　判斷下列各式是二次根式嗎? ;　②6;　;　(m≤0);　(x,y異號);　;　+1;　. 學(xué)生快速回答,共同分析. [設(shè)計意圖]　通過小練習(xí)及時檢驗學(xué)生對二次根式概念的理解和把握,二次根式根號內(nèi)被開方數(shù)的取值范圍一定要大于或等于0. 思路二 活動: (引導(dǎo)學(xué)生概括二次根式的定義:像,這樣表示一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的式子叫做二次根式) 概念深化: 提問:+1是不是二次根式?呢? 議一議:二次根式表示什么意義? 此算術(shù)平方根的被開方數(shù)是什么?被開方數(shù)必須滿足什么條件的二次根式才有意義? 其中字母a要滿足什么條件?為什么? 【展示點評】 經(jīng)學(xué)生討論后,讓學(xué)生回答,并讓其他的學(xué)生點評. 最后教師歸納:一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根才是二次根式,如果無法判斷被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),那么這個式子就不能說是二次根式.+1中的a可能為正,也可能為負(fù),所以不能說這個式子是二次根式,中的a+1也可能為正,也可能為負(fù),所以也不能說這個式子是二次根式. 【反思小結(jié)】 教師總結(jié):從形式上看,二次根式必須具備以下兩個條件: (1)必須有二次根號; (2)被開方數(shù)不能小于0. [設(shè)計意圖]　通過探究促使學(xué)生獨立思考、合作探討,并最終獲得結(jié)論,有利于幫助學(xué)生從被動地接受知識到主動地探索新知,滿足學(xué)生的多樣化學(xué)習(xí)需求,通過學(xué)生自己歸納總結(jié),讓學(xué)生經(jīng)歷二次根式概念的形成過程,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,避免了概念教學(xué)的機械記憶,同時提高學(xué)生的概括總結(jié)能力,培養(yǎng)了學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性. 活動二:二次根式的簡單性質(zhì) 　　[過渡語]　了解了二次根式的概念,實際上(a≥0)表示的就是我們以前學(xué)過的非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根,下面我們來研究一下它有哪些簡單性質(zhì). 思路一 【課件4】　(教材第90頁大家談?wù)?小亮和小穎對二次根式“(a≥0)”分別有如下的觀點.你認(rèn)同小亮和小穎的觀點嗎?請舉例說明. 小亮的觀點:因為表示的是非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根,所以根據(jù)算術(shù)平方根的意義,有≥0. 小穎的觀點:因為表示的是非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根,所以根據(jù)算術(shù)平方根和被開方數(shù)的意義,有()2=a. 學(xué)生討論舉例后得出小亮和小穎的觀點都正確. 教師總結(jié):(1)(a≥0)是一個非負(fù)數(shù),即具有雙重非負(fù)性,一是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),二是它的結(jié)果是非負(fù)數(shù);(2)()2=a(a≥0),即非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根的平方等于a. 【課件5】　做一做:=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　;=　　　　. 教師點評:根據(jù)算術(shù)平方根的意義,我們可以得到:=2;=0.01;;;=0. 想一想:根據(jù)上面的計算,你能得到什么結(jié)論? 學(xué)生討論得出,一般地,=a(a≥0). 【課件6】　(教材第91頁做一做)化簡. (1)()2;　(2);　(3);　(4). 教師指名回答,公布答案. 解:(1)()2=3.　(2).　(3)=5.　(4). 思路二 我們知道非負(fù)數(shù)有算術(shù)平方根,所以根據(jù)算術(shù)平方根的意義,我們不難得到非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根還是非負(fù)數(shù),即≥0(a≥0). 1.性質(zhì)1:()2=a(a≥0). (1)觀察:22=4,即()2=4;32=9,即()2=9…… (2)提問:觀察上述等式的兩邊,你得到什么啟示? (3)板書:當(dāng)a≥0時,=a. [設(shè)計意圖]　通過觀察、思考、解答,培養(yǎng)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,使學(xué)生真正成為知識的主動建構(gòu)者. 2.性質(zhì)2:=a(a≥0). (1)提問:等于什么? (2)舉例:=2;=2;=3;=3…… (3)發(fā)現(xiàn):當(dāng)a≥0時,=a;當(dāng)a<0時,=-a. (4)歸納: 3.比較()2和的區(qū)別. 學(xué)生討論,回答. 說明:關(guān)鍵抓住被開方數(shù)的非負(fù)性和(a≥0)的非負(fù)性. [知識拓展]　理解()2和時應(yīng)注意以下幾點: (1)從a的取值范圍理解:中的a為全體實數(shù),而()2中的a為非負(fù)數(shù). (2)從所得的結(jié)果理解:,而()2=a,也就是說當(dāng)a≥0時,=()2. [設(shè)計意圖]　通過比較、討論、試做的教學(xué)方式,加深學(xué)生對兩個性質(zhì)的認(rèn)識,同時,也關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的個性化,做到既著眼于共同發(fā)展,又關(guān)注于個性差異. 活動三:例題講解 【課件7】 　化簡. (1);　(2). 〔解析〕　0.04=0.22,,可以利用=a(a≥0)化簡. 解:(1)=0.2.　(2)=12=1. [設(shè)計意圖]　盡管問題相對簡單,但規(guī)范的解答還是非常有必要的,要養(yǎng)成學(xué)生學(xué)習(xí)一個新概念時穩(wěn)扎穩(wěn)打的態(tài)度,這樣對于概念才會認(rèn)識得更深更透. 1.二次根式的定義 一般地,把形如(a≥0)的式子叫做二次根式. 判斷一個式子是不是二次根式,一定要緊扣定義,看所給的式子是否同時具備如下兩個特征: (1)帶有二次根號“”,即根指數(shù)是2; (2)被開方數(shù)不小于零. 只有同時滿足上述兩個特征,才是二次根式,如果不滿足其中任何一個特征,就不是二次根式. 2.二次根式的基本性質(zhì) (1)當(dāng)a≥0時,()2=a;(2)當(dāng)a≥0時,=a. 1.下列各式中,不是二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 解析:根據(jù)二次根式的定義,可知二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),因為的被開方數(shù)小于零,故B錯誤.故選B. 2.如果是二次根式,那么a應(yīng)滿足(　　) A.a≥0 B.a≠3 C.a=3 D.a≥3 解析:∵是二次根式,∴a-3≥0,解得a≥3.故選D. 3.若a為實數(shù),則化簡的結(jié)果是 (　　) A.-a B.a C.a2 D.|a| 解析:∵當(dāng)a<0時,=|a|=-a.當(dāng)a≥0時,=|a|=a.故選D. 4.下列四個等式:=4;②(-)2=16;③()2=4;=-4.其中正確的是 (　　) A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 解析:=4,正確;②(-)2=4≠16,不正確;③()2=4,符合二次根式的意義,正確;=4≠-4,不正確.①③正確.故選D. 5.如果=2-x,那么x的取值范圍是 (　　) A.x≤2 B.x<2 C.x≥2 D.x>2 解析:根據(jù)二次根式的結(jié)果是非負(fù)數(shù),可得不等式2-x≥0,解得x≤2.故選A. 6.計算-的結(jié)果是 (　　) A.-3 B.3 C.-9 D.9 解析:-=-=-3.故選A. 7.探究發(fā)現(xiàn). (1)完成下列填空:=　　　　,=　　　　,=　　　　,④ =　　　　. (2)利用(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算:①若x>2,則=　　　　;=　　　　. 解析:根據(jù)即可得解. 答案:(1)①3?、?.5?、?　　(2)①x-2　②π-3.14 8.當(dāng)x取何值時,下列各式為二次根式? (1);　(2). 解析:根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),可得答案. 解:(1)由-3x≥0,得x≤0,所以當(dāng)x≤0時,是二次根式. (2)根據(jù)題意得2-x<0,得x>2,所以當(dāng)x>2時,是二次根式. 9.判斷下列各式,哪些是二次根式,哪些不是,為什么? ,-,,,(a≥0),. 解析:二次根式要滿足兩個條件:(1)帶有二次根號“”,即根指數(shù)是2;(2)被開方數(shù)不小于零. 解:,-,(a≥0),符合二次根式的形式,故是二次根式;的根指數(shù)是3,故不是二次根式;的被開方數(shù)小于0,無意義,故不是二次根式. 10.根據(jù)材料回答問題. x為何值時,有意義? 解:根據(jù)題意得x(x-1)≥0, 由乘法法則得或 解得x≥1或x≤0, 即當(dāng)x≥1或x≤0時,有意義. 體會解題思想后,求當(dāng)x為何值時,有意義. 解析:根據(jù)題目信息進(jìn)行解答. 解:要使有意義,則≥0, 所以或 解得x≥2或x<-, 即當(dāng)x≥2或x<-時,有意義. 11.已知y=-3,求(x+y)4的值. 解析:先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值,進(jìn)而得出y的值,代入代數(shù)式進(jìn)行計算即可. 解:∵與有意義, ∴解得x=2, ∴y=-3,∴(2-3)4=1. 第1課時 活動一:二次根式的概念 活動二:二次根式的簡單性質(zhì) 活動三:例題講解 例題 一、教材作業(yè) 【必做題】 1.教材第91頁練習(xí). 2.教材第92頁習(xí)題A組第1,2題. 【選做題】 教材第92頁習(xí)題B組第1,2題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.化簡,正確的結(jié)果是 (　　) A.72 B.72 C.432 D.以上答案都不是 2.下列各式中不是二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 3.下列各式:;;;;.其中二次根式的個數(shù)有 (　　) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 4.已知是二次根式,則a的值可能是 (　　) A.-2 B.-1 C.2 D.-7 5.要使二次根式有意義,則x的取值范圍是 (　　) A.x≥ B.x≤ C.x≥ D.x≤ 6.要使代數(shù)式有意義,則x的 (　　) A.最大值是 B.最小值是 C.最大值是 D.最小值是 【能力提升】 7.實數(shù)a,b的對應(yīng)點在數(shù)軸上的位置如圖所示,則+a的化簡結(jié)果為 (　　) A.2a+b B.-b C.b D.2a-b 8.下列各式哪些一定是二次根式? (1);　(2);　(3);　(4);　(5). 9.當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時,下列各式有意義? (1);　(2) ;　(3)+1;　(4) ;　(5);　(6). 【拓展探究】 10.化簡. 11.已知實數(shù)a,b的對應(yīng)點在數(shù)軸上的位置如圖所示,化簡+2-. 【答案與解析】 1.B(解析:=72.故選B.) 2.B(解柏:二次根式成立的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),而的被開方數(shù)是負(fù)數(shù),所以不是二次根式.故選B.) 3.B(解析:根據(jù)二次根式的定義,一般地,形如(a≥0)的式子叫做二次根式,可知和是二次根式.故選B.) 4.C(解析:根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),可知C選項正確.故選C.) 5.B(解析:依題意得3-2x≥0,解得x≤.故選B.) 6.A(解析:∵代數(shù)式有意義,∴2-3x≥0,解得x≤.∴x的最大值為.故選A.) 7.B(解析:由數(shù)軸可知b<0|a|,∴+a=|a+b|+a=-a-b+a=-b.故選B.) 8.解:(1)∵m2≥0,∴m2+1>0,∴是二次根式.　(2)∵a2≥0,∴是二次根式.　(3)∵n2≥0,∴-n2≤0,∴當(dāng)n=0時,才是二次根式,故不一定是二次根式.　(4)當(dāng)a-2≥0時是二次根式,當(dāng)a-2<0時不是二次根式,即當(dāng)a≥2時是二次根式,當(dāng)a<2時不是二次根式,故不一定是二次根式.　(5)當(dāng)x-y≥0時是二次根式,當(dāng)x-y<0時不是二次根式,即當(dāng)x≥y時是二次根式,當(dāng)x0,解得x<.　(3)x2≥0,x取全體實數(shù).　(4)-1≥0,解得x≥3.　(5)(x-2)2≥0,x取全體實數(shù).　(6)x+8≥0且x-4≠0,解得x≥-8且x≠4. 10.解:原式=|3-a|+|a-7|.①當(dāng)a<3時,原式=3-a+7-a=10-2a;②當(dāng)3≤a≤7時,原式=4;③當(dāng)a>7時,原式=a-3+a-7=2a-10. 11.解:由數(shù)軸可知-2a,故a+1<0,b-1>0,a-b<0,原式=|a+1|+2|b-1|-|a-b|=-(a+1)+2(b-1)+(a-b)=b-3. 在授課過程中,首先教師讓學(xué)生回顧了算術(shù)平方根與平方根的概念,并且通過一些思考題,得出二次根式的定義.通過練習(xí)掌握如何判斷一個式子是否是二次根式的方法,通過“大家談?wù)劇弊寣W(xué)生得出二次根式的兩個性質(zhì),體會從特殊到一般的思維過程,進(jìn)而掌握公式的一般推導(dǎo)方法.本節(jié)課大部分時間都是引導(dǎo)學(xué)生邊學(xué)邊做,讓學(xué)生經(jīng)歷了整個學(xué)習(xí)過程.同時在學(xué)習(xí)過程中,引導(dǎo)學(xué)生自己得出結(jié)論及二次根式的兩個性質(zhì),在學(xué)生舉例討論之后,讓學(xué)生自己初步得出了結(jié)論.整個教學(xué)過程,體現(xiàn)了“從特殊到一般”“由具體到抽象”的過程. 1.在實際教學(xué)中,仍然存在著對課堂時間把握 不精確的問題,出現(xiàn)了前松后緊的現(xiàn)象,以致有深度的練習(xí)沒時間完成,結(jié)束得也比較倉促. 2.在引導(dǎo)學(xué)生探索求知和互動學(xué)習(xí)方面還有欠缺. 3.新的教學(xué)理念要求教師在課堂教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí),在課堂教學(xué)中,對學(xué)生探索求知進(jìn)行了引導(dǎo),并且鼓勵大家自己得出結(jié)論,但在互動方面做得還不夠,大部分學(xué)生都是獨立思考,很少與同學(xué)合作交流. 1.在今后教學(xué)中,應(yīng)注意時間的掌控,合理地安排好每個環(huán)節(jié)的時間,事先應(yīng)做好預(yù)設(shè). 2.在教學(xué)中應(yīng)多培養(yǎng)學(xué)生合作交流的意識,這樣有助于他們今后的生活和學(xué)習(xí). 練習(xí)(教材第91頁) 解:(1)2.　(2)0.04.　(3)0.8.　(4). 習(xí)題(教材第92頁) A組 1.解:(1).　(2)11.　(3)15. 2.解:(1).　(2)169.　(3). B組 1.解:設(shè)鏡框的寬為2x cm,則長為3x cm.由題意得3x2x=300,x2=50.解得x=5或x=-5(舍),所以2x=10.答:鏡框的寬為10 cm. 2.解:設(shè)大正方形的邊長為x cm.由題意得x2=a2+b2,取正值解得x=.當(dāng)a=3,b=4時,x=5.答:大正方形的邊長為5 cm. 對于二次根式的定義可以從以下幾個方面理解: (1)從形式上看,二次根式必須含“”. (2)二次根式的被開方數(shù)a既可以表示一個數(shù),也可以表示一個代數(shù)式,但必須保證有意義,即a若表示一個數(shù),則a必須是非負(fù)數(shù);若a表示一個代數(shù)式,則這個代數(shù)式的值必須是非負(fù)數(shù).也就是說當(dāng)a≥0時,才是二次根式;當(dāng)a<0時,無意義. 對于二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),是指整個代數(shù)式是非負(fù)數(shù),而不是其中的字母表示的數(shù)為非負(fù)數(shù).為了求出使二次根式有意義的字母的取值范圍,只需解不等式(組)即可. 　先化簡a+,然后再分別求出a=-2和a=3時,原代數(shù)式的值. 解:a+=a+=a+|a+1|. 當(dāng)a=-2時,原式=-2+|-2+1|=-2+1=-1; 當(dāng)a=3時,原式=3+|3+1|=3+4=7. [解題歸納]　本題考查了二次根式的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是先化簡,再求值. 　已知a,b,c均為實數(shù),且+a=0,=1,=c,化簡--. 〔解析〕　首先根據(jù)已知條件確定a,b,c的符號,從而確定a+b,a-c,c-b的符號,然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)、絕對值的意義即可化簡求解. 解:∵+a=0,∴=-a,∴a≤0,∵=1,∴ab>0,則a,b同號,∴a<0,b<0. ∵=c,∴c≥0.∴a+b<0,a-c<0,c-b>0. ∴原式=-b+(a+b)+(c-a)-(c-b)=-b+a+b+c-a-c+b=b. [解題歸納]　本題考查了二次根式的定義以及絕對值的意義,正確確定a,b,c的符號是關(guān)鍵. 　實數(shù)x在什么范圍內(nèi)取值時,下列各式才有意義? (1);　(2);　(3). 〔解析〕　根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行解答. 解:(1)若有意義,則3x+7≥0,解得x≥-. (2)若有意義,則2x-1>0,解得x>. (3)若有意義,則解得-1≤x≤2. [解題歸納]　本題主要考查了二次根式有意義的條件,解答本題的關(guān)鍵是要使二次根式有意義,被開方數(shù)不能小于0. 第課時 1.理解和掌握積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì). 2.會利用積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì)對根式進(jìn)行化簡. 3.理解最簡二次根式的概念,并能把一個不是最簡二次根式的二次根式化為最簡二次根式. 1.運用類比的方法,學(xué)習(xí)積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì). 2.采用從具體到抽象的方法增強學(xué)生對兩公式的理解. 培養(yǎng)學(xué)生探索事物之間內(nèi)在聯(lián)系的學(xué)習(xí)習(xí)慣,使學(xué)生獲得成功的喜悅. 【重點】 1.積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì). 2.最簡二次根式的概念. 【難點】　能利用積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡二次根式. 【教師準(zhǔn)備】　課件1~13. 【學(xué)生準(zhǔn)備】　二次根式的簡單性質(zhì). 導(dǎo)入一: 【課件1】　一塊正方形木板面積為200 cm2,你能在不用計算器的情況下,以最快的速度求出正方形木板的邊長嗎? [設(shè)計意圖]　學(xué)生在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上直接開平方,發(fā)現(xiàn)200直接開平方不是整數(shù),從而無法確定具體數(shù)值,引出問題,為學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容創(chuàng)設(shè)情境. 導(dǎo)入二: 教師提問: 【課件2】　(1)什么是二次根式?二次根式的被開方數(shù)需滿足什么條件? (2)我們學(xué)過二次根式的哪些簡單性質(zhì)? 學(xué)生回答. [設(shè)計意圖]　簡單回顧上節(jié)所學(xué)內(nèi)容,既起到了鞏固的作用,又為本節(jié)課性質(zhì)的學(xué)習(xí)做好鋪墊,進(jìn)而讓學(xué)生體會到知識之間的聯(lián)系. 活動一:一起探究——二次根式的性質(zhì) 思路一 探究點1:積的算術(shù)平方根 問題1:【課件3】　計算下列各式,并觀察結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? (1)與;　(2)與. 學(xué)生計算,得出(1)(2)中兩式均相等. 問題2:【課件4】　猜想:與有什么關(guān)系? 組織學(xué)生計算,驗證猜想:(分組嘗試,討論交流) 方法一:事實上,根據(jù)積的乘方法則,有()2=()2()2=25,并且>0,所以是25的算術(shù)平方根,即. 方法二:因為()2=()2()2=25,()2=25,且>0,>0,所以. 問題3:【課件5】　當(dāng)a≥0,b≥0時,對和的關(guān)系提出你的猜想,并說明理由. 指導(dǎo)學(xué)生仿照問題2的證明過程加以證明. 解:因為當(dāng)a≥0,b≥0時,()2=ab,()2=()2()2=ab,所以. 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納得出:積的算術(shù)平方根等于積中各因數(shù)的算術(shù)平方根的積,即(a≥0,b≥0). [知識拓展]　積的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以推廣到多個非負(fù)因數(shù)的情況.如(a≥0,b≥0,c≥0,d≥0). [設(shè)計意圖]　盡管學(xué)生能夠猜想出結(jié)果,但還是缺乏必要的說理,再次引出問題,讓學(xué)生交流討論,碰撞出火花,體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性. 探究點2:商的算術(shù)平方根 問題1:【課件6】　與是否相等?與呢? 學(xué)生經(jīng)過計算得出兩個式子均相等. 問題2:【課件7】　對照剛才得到的結(jié)論,當(dāng)a≥0,b>0時,與有什么關(guān)系?并說明理由. 學(xué)生不難猜想得到(a≥0,b>0). 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)剛才的證明過程加以證明. 解:因為當(dāng)a≥0,b>0時,,,所以　. 問題3:對照積的算術(shù)平方根的性質(zhì),你能總結(jié)出商的算術(shù)平方根的性質(zhì)嗎? 引導(dǎo)學(xué)生歸納:商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商,即 (或)(a≥0,b>0) [設(shè)計意圖]　培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想和方法探究新知及從特殊到一般的歸納概括的能力. 思路二 問題1:【課件8】　計算下列各式,觀察計算結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? (1)=　　　　;=　　　　. (2)=　　　　;=　　　　. (3)=　　　　;=　　　　. (4)=　　　　;=　　　　. 師:出示問題,引導(dǎo)學(xué)生觀察計算結(jié)果,總結(jié)式子的規(guī)律. 生:學(xué)生計算、觀察、分組討論,發(fā)現(xiàn)上述每組中的兩個式子相等. 問題2:【課件9】　根據(jù)上面的探究,下列式子是否也存在類似關(guān)系,猜想你的結(jié)論并用計算器驗證. (1)=　　　　;=　　　　. (2)=　　　　;=　　　　. (3)=　　　　;=　　　　. (4)=　　　　;=　　　　. 學(xué)生經(jīng)過計算得出上述每組中的兩個式子也相等. 問題3:【課件10】　猜想:(1)當(dāng)a≥0,b≥0時,和有什么關(guān)系?(2)當(dāng)a≥0,b>0時,和有什么關(guān)系?請你說明理由. 引導(dǎo)學(xué)生小組討論,利用算術(shù)平方根的簡單性質(zhì)進(jìn)行證明. [設(shè)計意圖]　引導(dǎo)學(xué)生體會知識的形成過程,通過觀察、猜想、證明、歸納,讓學(xué)生得到積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì). 活動二:觀察與思考——探究最簡二次根式的概念 　　[過渡語]　剛才我們得到了積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì),下面請同學(xué)們根據(jù)剛才學(xué)到的性質(zhì)完成下面的例題. 【課件11】 　化簡. (1);　(2);　(3);　(4). 〔解析〕　(1)(2)直接利用(a≥0,b≥0)進(jìn)行化簡;(3)(4)利用(a≥0,b>0)進(jìn)行化簡. 解:(1)=3. (2)=4. (3). (4). 【課件12】　觀察例題中每個小題化簡前后被開方數(shù)的變化,請思考: (1)化簡前,被開方數(shù)是怎樣的數(shù)? (2)化簡后,被開方數(shù)是怎樣的數(shù)?它們還含有能開得盡方的因數(shù)嗎? 歸納:①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式,我們把這樣的二次根式叫做最簡二次根式. 說明:二次根式的化簡過程就是將它化為最簡二次根式的過程. 提出問題:在,3,,,,3,中,哪些是最簡二次根式?為什么? 把“提出問題”中不是最簡二次根式的化成最簡二次根式. 指一名同學(xué)到黑板上板書,其他學(xué)生在練習(xí)本上完成. 出示“做一做”. 【課件13】　(教材第94頁做一做)化簡. (1);　(2);　(3);　(4). 解:(1)=3. (2)=4. (3). (4). [設(shè)計意圖]　鞏固積(商)的算術(shù)平方根的性質(zhì),通過對最簡二次根式的探究,培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的能力,強化訓(xùn)練,提高能力. 積的算術(shù)平方根 積的算術(shù)平方根等于積中各因數(shù)的算術(shù)平方根的積 (a≥0,b≥0) 公式中的a,b既可以是數(shù),也可以是代數(shù)式,但必須注意都應(yīng)是非負(fù)的,這是公式成立的條件.如:≠ 商的算術(shù)平方根 商的算術(shù)平方根等于被除數(shù)的算術(shù)平方根與除數(shù)的算術(shù)平方根的商 (或)(a≥0,b>0) (1)公式中的條件是限制等號右邊的,等號左邊只要≥0即可,而右邊每一個式子(數(shù))必須滿足二次根式的條件,即a≥0,b>0;(2)該性質(zhì)適用于二次根式的化簡和計算 最簡二次根式 一般地,如果一個二次根式滿足①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式,②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式,我們把這樣的二次根式叫做最簡二次根式 1.(20xx揚州中考)下列二次根式中是最簡二次根式的是 (　　) A. B. C. D. 解析:A.符合最簡二次根式的定義,故本選項正確;B.原式=2;C.原式=2;D.被開方數(shù)含分母,不是最簡二次根式,故本選項錯誤.故選A. 2.能使等式成立的x的取值范圍是 (　　) A.x≠2 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2 解析:本題需注意的是,被開方數(shù)為非負(fù)數(shù),且分式的分母不能為0,列不等式組解得x>2.故選C. 3.下列計算正確的是 (　　) =6;=-6;=3;-=1. A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析:①和②根號下不能為負(fù)數(shù),故①②錯誤;③利用平方差公式進(jìn)行因式分解,=3,故③正確;由③可知④錯誤.故正確的只有1個.故選A. 4.設(shè)=a,=b,用含a,b的式子表示,下列表示正確的是 (　　) A. B.3ab C. D. 解析:∵=a,=b,∴.故選A. 5.化簡-3的結(jié)果是 (　　) A.- B.- C.- D.- 解析:原式=-3=-3=-3=-.故選C. 6.下列各式成立的是 (　　) A. B. C. D. 解析:A.被開方數(shù)是正數(shù),然后利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)計算,故選項正確;B.原式=,故選項錯誤;C.原式=,故選項錯誤;D.原式=,故選項錯誤.故選A. 7.=2,這個計算過程正確嗎?如果不正確,請改正. 解析:首先根據(jù)除法法則約掉負(fù)號,然后再計算開方即可. 解:計算過程錯誤,=2. 8.在下列各式中,哪些是最簡二次根式?哪些不是?對不是最簡二次根式的進(jìn)行化簡. (1);　(2);　(3);　(4);　(5). 解析:判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法,就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足,同時滿足的就是最簡二次根式,否則就不是. 解:(1)=3,含有能開得盡方的因數(shù),因此不是最簡二次根式.　 (2),被開方數(shù)中含有分母,因此不是最簡二次根式.　 (3)的被開方數(shù)為整數(shù),被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式,因此是最簡二次根式.　 13 / 13