八年級數(shù)學(xué)上冊14實數(shù)教學(xué)案冀教版.doc

教學(xué)資料參考范本 八年級數(shù)學(xué)上冊 14 實數(shù)教學(xué)案 （新版）冀教版 撰寫人：__________________ 時 間：__________________ 1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念,會用根號表示平方根、算術(shù)平方根、立方根. 2.會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根,會用立方運算求某些數(shù)的立方根,會用計算器求數(shù)的平方根與立方根. 3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念,了解實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系. 4.了解在實數(shù)范圍,相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值的意義. 5.會進行實數(shù)大小的比較和實數(shù)的近似計算. 6.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍. 1.類比有理數(shù)的有關(guān)概念和運算律來學(xué)習(xí)實數(shù),體現(xiàn)了知識的前后聯(lián)系以及數(shù)系發(fā)展的規(guī)律. 2.讓學(xué)生感受現(xiàn)實生活中存在無理數(shù),從而認識到學(xué)習(xí)無理數(shù)的必要性. 1.通過探究活動,培養(yǎng)學(xué)生探求知識的欲望,讓學(xué)生體驗成功的樂趣. 2.鼓勵學(xué)生積極大膽地發(fā)表自己的意見,增加學(xué)生的自我意識和集體責(zé)任感. 本章的主要內(nèi)容是平方根、立方根的概念及其求法,實數(shù)的概念及其性質(zhì),近似數(shù)的概念及其應(yīng)用. 本章通過數(shù)的開方引入無理數(shù)的概念,進而將數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù),并說明實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng).教材從實際問題出發(fā),用圖形拼接的問題引入實數(shù),讓學(xué)生認識到數(shù)系的發(fā)展和擴充是現(xiàn)實生活的需要,同時也是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然規(guī)律. 學(xué)習(xí)本章之后,數(shù)的范圍擴充到了實數(shù),今后若無特別說明,所研究的數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容(一元一次不等式、二次根式、函數(shù)等)一般都在實數(shù)范圍內(nèi)進行.因此,本章內(nèi)容是學(xué)習(xí)后繼內(nèi)容的前提和基礎(chǔ),對于發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、用數(shù)學(xué)思想理解和解釋現(xiàn)實問題、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著重要的意義. 另外,本章是中考的重要內(nèi)容,?？嫉目键c有求一個非負數(shù)的算術(shù)平方根、平方根的概念和性質(zhì)、立方根的意義及運算、比較兩個實數(shù)的大小、無理數(shù)的識別等.題型以填空題、選擇題為主,也有與其他知識相綜合的解答題,一般難度不大. 【重點】 1.平方根、算術(shù)平方根的意義,立方根的意義. 2.無理數(shù)的意義以及實數(shù)的概念. 【難點】 1.平方根、算術(shù)平方根的概念,二者之間的區(qū)別和聯(lián)系. 2.實數(shù)的概念. 1.概念的形成過程也是一個思考的過程,所以要關(guān)注學(xué)生對概念的理解和認識,引導(dǎo)學(xué)生積極參與探究活動,經(jīng)歷歸納概括、發(fā)現(xiàn)新知的過程,逐步提高學(xué)生的思維水平. 2.關(guān)注學(xué)生的探究和發(fā)現(xiàn)過程,在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上,鼓勵學(xué)生在小組間通過合作與交流的方式解決問題. 3.注意知識間的相互聯(lián)系和區(qū)別,實數(shù)的概念、運算法則、運算律等,都可以通過類比有理數(shù)來獲得,這樣能較好地體現(xiàn)新舊知識的聯(lián)系.如實數(shù)的絕對值、相反數(shù)和倒數(shù)等概念都是類比有理數(shù)直接得出的.同時,也要注意到它們之間的區(qū)別,如無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),而有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù),有理數(shù)和數(shù)軸上的點不是一一對應(yīng)的,而實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的等. 4.教師在學(xué)生活動的過程中,要鼓勵學(xué)生積極大膽地發(fā)表自己的意見,特別是學(xué)生與眾不同的意見,要有意識地培養(yǎng)學(xué)生求異思維的能力和不斷創(chuàng)新的欲望. 5.在解決實際問題的過程中,如果遇到復(fù)雜的計算問題,應(yīng)允許學(xué)生用計算器進行計算. 6.在進行實數(shù)的大小比較以及用有理數(shù)估計無理數(shù)的范圍等問題中,要控制好問題的難度,不要超出教材的要求. 14.1平方根 2課時 14.2立方根 1課時 14.3實　數(shù) 3課時 14.4近似數(shù) 1課時 14.5用計算器求平方根與立方根 1課時 回顧與反思 1課時 14.1　平方根 1.了解一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根及開平方的意義. 2.會用根號表示一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根. 1.通過探究,了解開平方與平方是互逆運算. 2.會利用這個互逆運算關(guān)系求某些非負數(shù)的平方根和算術(shù)平方根. 通過學(xué)習(xí),體驗數(shù)學(xué)知識來源于實踐,是由于生活或生產(chǎn)的需要而產(chǎn)生、發(fā)展的. 【重點】　平方根、算術(shù)平方根的概念及求法. 【難點】　有關(guān)平方根、算術(shù)平方根的運算以及它們的區(qū)別與聯(lián)系. 第課時 1.能說出平方根的概念,會用根號表示一個數(shù)的平方根. 2.知道開平方與平方是互逆運算,會利用這個互逆運算關(guān)系求某些非負數(shù)的平方根. 3.知道表示的是非負數(shù)a的平方根. 在學(xué)習(xí)開平方運算求一個數(shù)的平方根的過程中,體會開平方運算與平方運算之間的互逆關(guān)系. 1.通過探究學(xué)習(xí),使學(xué)生進一步感受到所學(xué)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、歸納結(jié)論、應(yīng)用新知的意識,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、愛數(shù)學(xué)的良好情感. 【重點】　平方根、算術(shù)平方根的概念及求法. 【難點】　有關(guān)平方根、算術(shù)平方根的運算以及它們的區(qū)別與聯(lián)系. 【教師準備】　課件1~7. 【學(xué)生準備】　平方的相關(guān)計算. 導(dǎo)入一: 我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加、減、乘、除和乘方的運算,但在現(xiàn)實生活中,有些問題僅運用這五種運算是無法解決的.例如:小明家有一塊面積為100 m2的正方形花圃.花圃周圍要用護欄圍起來,需要護欄多少米?解決這個問題就要運用一種新的運算,這種運算叫做開平方.這節(jié)課我們就要學(xué)習(xí)開平方運算和平方根. [設(shè)計意圖]　新課程數(shù)學(xué)課堂強調(diào),從學(xué)生已有的經(jīng)驗出發(fā),讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并解釋與應(yīng)用的過程,進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時,在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展. 導(dǎo)入二: 小明家的新房剛剛裝修好,星期天小明的爸爸帶著小明去挑選餐桌.他們看中了一款非常漂亮的餐桌,可是不知道邊長是多少,正當(dāng)小明的爸爸犯愁 的時候,小明看了看桌子上的標簽,得意地說:“我知道了”. 幾秒之后提問:同學(xué)們,你們知道嗎? [設(shè)計意圖]　設(shè)疑之后,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這個問題的本質(zhì),即求平方等于100的數(shù)是多少.隨后,再說幾個數(shù)讓學(xué)生們找哪些數(shù)的平方等于它們.有了以上的鋪墊,解決這一問題對于學(xué)生來說就輕而易舉了,即可輕松地引入課題. 導(dǎo)入三: 玲玲家最近喜事不斷,家里新購了一套房子,全家歡歡喜喜地搬進新居,爸爸媽媽又增加了工資.條件改善了,為了給玲玲一個好的學(xué)習(xí)環(huán)境,爸爸打算給玲玲買一張桌子供她在家做作業(yè).爸爸問玲玲:“你喜歡長方形桌子還是正方形桌子?”玲玲認為正方形桌子更大,可以多放點書,又可以有足夠的位置寫字,所以她更喜歡正方形桌子.于是爸爸根據(jù)她的要求為她購置了一張正方形桌子,玲玲量了量課桌的邊長為100 cm,你能算出這張桌子的周長和面積嗎?如果玲玲更直接地告訴爸爸:“我想要一張面積約為125 dm2的正方形桌子”.爸爸能為她購置到滿意的桌子嗎?計算正方形的面積必須要知道正方形的邊長,根據(jù)邊長求面積是乘方運算,而根據(jù)面積求邊長又是什么運算呢?這節(jié)課我們就來探討這個問題. [設(shè)計意圖]　好的故事情境,充滿了生活氣息,讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系,從中體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性,使學(xué)生更能積極地投入到本節(jié)的學(xué)習(xí)之中. 活動一:做一做——感知平方根 　　[過渡語]　通過導(dǎo)入一我們知道當(dāng)護欄的邊長是10 m時,正方形花圃的面積是100 m2,也就是102=100.下面我們再來看幾個問題. 思路一 【課件1】 1.和-的平方等于多少?10和-10的平方等于多少? 2.平方等于的數(shù)有哪些?平方等于100的數(shù)呢? 3.滿足x2=25的x的值是多少? 解:1.,100.　2.,-,10,-10.　3.5,-5. 教師說明:因為52=25,所以x=5;又因為(-5)2=25,所以5或-5的平方都等于25. 因為5和-5的平方都等于25,我們把5和-5叫做25的平方根. 歸納:一般地,如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根. 例如:100的平方根是10與-10.因為(10)2=100,所以10與-10都是100的平方根. 你能說出49,144的平方根嗎? (49的平方根是7和-7;144的平方根是12和-12.) [設(shè)計意圖]　使學(xué)生初步體會到:(1)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的平方相等;(2)初步感受平方與開平方這種互逆關(guān)系. 【課件2】　填寫下表: x … -3 - -1 0 1 3 … x2 … … 　　學(xué)生填完表格后,引導(dǎo)學(xué)生觀察: (1)當(dāng)一個正數(shù)和一個負數(shù)互為相反數(shù)時,它們的平方有什么關(guān)系? (2)正數(shù)有平方根嗎?如果有,有幾個?它們有什么關(guān)系? (3)0有平方根嗎?如果有,它是什么數(shù)? (4)負數(shù)有平方根嗎? 學(xué)生獨自思考,通過具體實例弄懂上述問題,然后總結(jié)出: (1)它們的平方相等. (2)一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù). (3)0有一個平方根,是0本身. (4)負數(shù)沒有平方根. 說明:通過具體數(shù)的平方根的探究,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出正數(shù)、0、負數(shù)的平方根的情況. 教師指出:一個正數(shù)a的正的平方根,用符號“”表示,a叫做被開方數(shù).正數(shù)a的負的平方根,用符號“-”表示,這兩個平方根合起來可以記作“”.根指數(shù)是2時,通常這個2省略不寫,如記作,讀作“根號a”;記作,讀作“正、負根號a”. 【課件3】　觀察框圖,說一說求一個數(shù)的平方運算和求一個數(shù)的平方根運算具有怎樣的關(guān)系. 教師指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)框圖,明確求一個數(shù)的平方運算和求一個數(shù)的平方根運算互為逆運算,并舉例加以說明,我們把求一個數(shù)的平方根的運算,叫做開平方. [設(shè)計意圖]　理解和掌握平方根的性質(zhì),認識平方與開平方互為逆運算. 思路二 說明:導(dǎo)入一中的問題,實際就是要求一個數(shù),這個數(shù)的平方等于100,結(jié)合以前乘方的知識,我們不難得出102=100.所以護欄的邊長是10 m. 教師說明:一般地,如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根. 因為52=25,所以5是25的一個平方根. 說明:除52=25外,可以由學(xué)生多舉幾個例子,以加深對概念的認識,從具體到抽象,便于學(xué)生理解和接受平方根的概念. 問1:25的平方根只有一個嗎?有沒有其他的數(shù),它的平方也是25? 學(xué)生思考,快速得到:因為(-5)2=25,所以-5也是25的一個平方根. 問2:從上述解決問題的過程中,你能總結(jié)一下求一個數(shù)的平方根的方法嗎? (根據(jù)平方根的意義,可以利用平方來尋找或檢驗一個數(shù)的平方根) 【課件4】　求100的平方根. 問1:你能按照上述問題解決的方法求出100的平方根嗎? 問2:你能正確書寫解題過程嗎? 解:∵(10)2=100,(-10)2=100,∴100的平方根為10或-10(也可以寫成10). 說明:理解概念的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生思考,由學(xué)生口述,教師適時糾正易出現(xiàn)的錯誤,板書規(guī)范解題格式. 【課件5】　試一試. (1)144的平方根是什么? (2)0.0001的平方根是什么? (3)0的平方根是什么? 討論:通過剛才的“試一試”你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律? 總結(jié):1.正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù). 2.0的平方根是0. 由以上討論發(fā)現(xiàn),有時候我們已知一個數(shù)要求這個數(shù)的二次冪時,只有一個,也有些時候,我們已知某數(shù)的二次冪,要求出這個數(shù),發(fā)現(xiàn)此時通常可找到兩個數(shù),且這兩個數(shù)互為相反數(shù). [設(shè)計意圖]　進一步鞏固有關(guān)平方根的概念,在練習(xí)中總結(jié)平方根的有關(guān)性質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的總結(jié)歸納能力.教師引導(dǎo),學(xué)生自己總結(jié)出平方根的性質(zhì),充分反映了“教師主導(dǎo),學(xué)生主體”的理念. 問1:-4有沒有平方根?為什么? 學(xué)生思考得出:一個負數(shù)沒有平方根,因為任何數(shù)的平方都是非負數(shù). 結(jié)論: 1.正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù). 2.0的平方根只有一個,為0. 3.負數(shù)沒有平方根.(補充:非負數(shù)才有平方根.) 問2:a有沒有平方根?為什么? 結(jié)合問1:當(dāng)a≥0時,a有平方根;當(dāng)a<0時,a沒有平方根. [設(shè)計意圖]　引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用簡練的數(shù)學(xué)語言來表達,促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展及數(shù)學(xué)語言的運用. 注:學(xué)生剛開始接觸平方根時,有兩點可能不太習(xí)慣:一是正數(shù)有兩個平方根,即正數(shù)進行開平方運算時有兩個結(jié)果,這與學(xué)生過去遇到的運算結(jié)果唯一的情況有所不同;另一個是負數(shù)沒有平方根,即負數(shù)不能進行開平方運算.教學(xué)時,可以通過較多實例說明這兩點,并在本節(jié)以后的教學(xué)中繼續(xù)強化這兩點. 說明:正數(shù)a的兩個平方根記為,其中a叫做被開方數(shù).如4的平方根為,被開方數(shù)是4;0.01的平方根為,被開方數(shù)是0.01. 活動二:例題講解 　　[過渡語]　我們把求一個數(shù)平方根的運算,叫做開平方.我們可以借助平方運算來求一個正數(shù)的平方根. 【課件6】 　求下列各數(shù)的平方根. (1)81;　(2);　(3)0.04. 指導(dǎo)學(xué)生利用平方與開平方的互逆關(guān)系求各數(shù)的平方根. 解:(1)因為(9)2=81,所以81的平方根為9,即=9. (2)因為,所以的平方根為,即=. (3)因為(0.2)2=0.04,所以0.04的平方根為0.2,即=0.2. 教師規(guī)范書寫格式. 思考:表示什么意思,這里的a可取什么樣的數(shù)呢? -又該怎樣理解呢?這里的x又可取什么樣的數(shù)呢? 學(xué)生討論回答. 【課件7】 (補充)下列各數(shù)有平方根嗎?如果有,求出它的平方根,如果沒有,說明理由. -64,0,(-4)2. 學(xué)生分組討論,選派一名代表回答. 解:-64沒有平方根;0的平方根是0;(-4)2的平方根是4. [知識拓展]　(1)平方根是一個數(shù),是開平方的結(jié)果;而開平方和加、減、乘、除、乘方一樣,指的是一種運算,是求平方根的過程. (2)平方和開平方互為逆運算,我們可以用平方運算來檢驗開平方的結(jié)果是否正確. (3)平方和開平方之間的關(guān)系我們可以這樣來理解:①已知底數(shù)m和指數(shù)2,求冪,是平方運算,即m2=(?);②已知冪a和指數(shù)2,求底數(shù),是開平方運算,即(?)2=a. [設(shè)計意圖]　通過例題,讓學(xué)生掌握平方根的計算方法,強化對平方根性質(zhì)的理解,進一步掌握正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);負數(shù)沒有平方根;0的平方根是0. 平方根的定義 一般地,如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根,也叫做a的二次方根. 表示方法 當(dāng)a為正數(shù)時,a的平方根為. 平方根的性質(zhì) (1)一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù). (2)0只有一個平方根,是0本身. (3)負數(shù)沒有平方根. 1.(20xx黃岡中考)9的平方根是 (　　) A.3 B. C.3 D.-3 解析:9的平方根是=3.故選A. 2.(20xx威海模擬)(-2)2的平方根是 (　　) A.-2 B.2 C.2 D.4 解析:(-2)2=4,4的平方根為2.故選C. 3.下列說法正確的是 (　　) A.-81的平方根是9 B.任何數(shù)的平方是非負數(shù),因而任何數(shù)的平方根也是非負數(shù) C.任何一個非負數(shù)的平方根都不大于這個數(shù) D.2是4的平方根 解析:A.由于負數(shù)沒有平方根,故A選項錯誤;B.任何數(shù)的平方為非負數(shù),正確,但只有非負數(shù)才有平方根,且平方根有正負之分(0的平方根為0),故選項B錯誤;C.任何一個非負數(shù)的平方根都不大于這個數(shù),不一定正確,如:當(dāng)0<a<1時,>a,故選項C錯誤;D.2的平方是4,所以2是4的平方根,故選項D正確.故選D. 4.下列各數(shù)中沒有平方根的是 (　　) A.0 B.-82 C. D.-(-3) 解析:A.0的平方根是0,故錯誤;B.-82=-64<0,沒有平方根,故正確;C.,有平方根,故錯誤;D.-(-3)=3,有平方根,故錯誤.故選B. 5.“4的平方根是2”翻譯成數(shù)學(xué)語言是 (　　) A.=2 B.-=-2 C.-=2 D.=2 解析:4的平方根是2,可以寫成=2.故選D. 6.下列說法正確的是 (　　) A.0.25是0.5的一個平方根 B.72的平方根是7 C.正數(shù)有兩個平方根,且這兩個平方根之和等于0 D.負數(shù)有一個平方根 解析:A.=0.25,故A錯誤;B.=7,故B錯誤;C.一個正數(shù)的平方根互為相反數(shù),互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為0,故C正確;D.負數(shù)沒有平方根,故D錯誤.故選C. 7.求下列各數(shù)的平方根. (1)0;　(2);　(3). 解析:直接進行開平方運算即可.注意0的平方根為0,一個正數(shù)的平方根有兩個,且互為相反數(shù). 解:(1)0的平方根為0. (2)的平方根為=. (3)的平方根為=. 8.一個正數(shù)x的平方根是3a-4與8-a,則a和這個正數(shù)是多少? 解析:根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù)得出3a-4+8-a=0,求出a的值,即可求出答案. 解:根據(jù)一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù)得3a-4+8-a=0,解得a=-2,即3a-4=-10,則這個正數(shù)為(-10)2=100. 第1課時 活動一:做一做——感知平方根 活動二:例題講解 一、教材作業(yè) 【必做題】 1.教材第62頁練習(xí)第1,2,3題. 2.教材第62頁習(xí)題A組第1,2,3,4題. 【選做題】 教材第63頁習(xí)題B組第1,2題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.3的平方根是 (　　) A.9 B. C.- D. 2.以下敘述中錯誤的是 (　　) A.=0.5 B.=0.5 C.0的平方根是0 D.1是1的平方根 3.的平方根是 (　　) A. B. C. D. 4.若x滿足x2=,則x的值為 (　　) A. B.- C. D. 5.下列說法正確的是 (　　) A.-4是-16的平方根 B.4是(-4)2的平方根 C.(-6)2的平方根是-6 D.的平方根是4 【能力提升】 6.求下列各數(shù)的平方根. (1)36;　(2);　(3)1;　(4)1;　(5)0.09. 7.已知(a-2)2+|b-8|=0,求的平方根. 8.求下列各式中的x的值. (1)4(x-1)2=25;　(2)9(x2+1)=10. 【拓展探究】 9.已知x2+20xx的一個平方根是,求x2的平方根. 10.已知2m+2的平方根是4,3m+n+1的平方根是5,求m+3n的平方根. 【答案與解析】 1.D(解析:∵()2=3,∴3的平方根為.故選D.) 2.B(解析:表示0.25的平方根,為0.5,故B錯誤.故選B.) 3.A(解析:∵,∴的平方根是,∴ 的平方根是.故選A.) 4.C(解析:∵x2=,∴x=.故選C.) 5.B(解析:A.因為-16<0,所以-16沒有平方根,故A選項錯誤;B.因為(-4)2=16,42=16,所以4是(-4)2的平方根,故B選項正確;C.因為(-6)2=36,所以(-6)2的平方根是6,故C選項錯誤;D.因為=4,所以的平方根是2,故D選項錯誤.故選B.) 6.解:(1)∵(6)2=36,∴36的平方根是6,即=6.　(2)∵,∴的平方根是,即=.　(3)∵(1)2=1,∴1的平方根是1,即=1.　(4)∵2==1,∴1的平方根是,即=.　(5)∵(0.3)2=0.09,∴0.09的平方根是0.3,即=0.3. 7.解:∵(a-2)2+|b-8|=0,∴a=2,b=8,∴,∴=. 8.解:(1)4(x-1)2=25,開平方得2(x-1)=5,解得x=3.5或-1.5.　(2)9(x2+1)=10,9x2=1,x2=,x=. 9.解:根據(jù)題意得x2+20xx=20xx,即x2=1,則1的平方根為1. 10.解:∵2m+2的平方根是4,∴2m+2=16,解得m=7.∵3m+n+1的平方根是5,∴3m+n+1=25,即21+n+1=25,解得n=3,∴m+3n=7+33=16,∴m+3n的平方根為4. 本堂課一開始直接從現(xiàn)實生活中提出問題,由問題引入新知識,從而激發(fā)學(xué)生研究問題、解決問題的欲望. 然后在一系列練習(xí)中提出問題,直觀地得出一個非負數(shù)的平方根的特點,加深對概念的理解,其間不斷組織學(xué)生自主思考、互相交流,培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力和團隊協(xié)作的精神. 1.對于平方根性質(zhì)的得出,教師沒有進行適當(dāng)?shù)臍w類,在知識的總結(jié)上學(xué)生感覺到吃力. 2.教學(xué)的過程中,在求平方根的時候,部分學(xué)生書寫還不夠規(guī)范,教師示范不夠到位. 3.教材中涉及的求平方根的計算題,都是直接能夠得到有理數(shù)的,沒有體現(xiàn)知識的拓展和遷移,知識呈現(xiàn)過于局限. 1.對于平方根性質(zhì)的得出,教師要在設(shè)計題型上進行歸納,多舉些例子,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律. 2.在規(guī)范書寫格式上,教師要通過多媒體展示、個別指導(dǎo)等方式,通過練習(xí),使學(xué)生的書寫格式做到規(guī)范. 3.對于平方根的計算,可出幾個開平方開不盡的數(shù),如求2的平方根等,使學(xué)生認識到2的平方根就是,不能再進行化簡. 練習(xí)(教材第62頁) 1.6　7　11　0.4　0.08　104 2.解:(1)=5.　(2)=12.　(3)=0.7.　(4)=0.9.　(5) =.　(6) =. 3.解:(1)12是144的平方根.　(2)169的負的平方根是-13.　(3)0.3不是0.9的平方根.因為(0.3)2=0.09≠0.9,所以0.3不是0.9的平方根. 習(xí)題(教材第62頁) A組 1.解:第一行依次填0.3,7,14.第二行依次填25,64,. 2.解:(1)正確.因為12=1,所以1是1的平方根.　(2)不正確.因為(1)2=1,所以1的平方根是1.　(3)不正確.因為(-2)2=4,(-2)2的平方根即為4的平方根,所以(-2)2的平方根為2. (4)不正確.因為-1沒有平方根. 3.解:(1)=15.　(2)=40.　(3)=.　(4)=0.6.　(5)=0.12. 4.解:設(shè)較大的魚池的邊長為x m,根據(jù)題意得x2-602=4500,即x2=8100,因為(90)2=8100,所以x=90,又因為x>0,所以x=90.答:這個較大的魚池的邊長為90 m. B組 1.解:(1) =.　(2)=140.　(3)=1.7.　(4)=10-3. 2.解:設(shè)每塊地板磚的邊長是x m.根據(jù)題意得50x2=18,解得x2=0.36,因為(0.6)2=0.36,所以x=0.6,又因為x>0,所以x=0.6.答:每塊地板磚的邊長為0.6 m. 教學(xué)時通過情境使學(xué)生認識到平方根產(chǎn)生于實際需要,對于開平方這一運算要多與平方運算相聯(lián)系,從根本上理解開平方運算.讓學(xué)生體會用平方運算求一個非負數(shù)的平方根,用平方運算求平方根是一個逆向思維的過程.對于平方根的性質(zhì),要讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律并用自己的語言加以表述,從而加深對平方根概念的認識.盡量讓學(xué)生多舉一些求平方根的例子,自己總結(jié)出“一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);0的平方根是0;一個負數(shù)沒有平方根”. 　求下列各式中的x的值. (1)x2+5=7;　(2)2(x-1)2-8=0. 〔解析〕　(1)根據(jù)移項法則把原式化為x2=2的形式,根據(jù)平方根的概念解答即可;(2)根據(jù)移項法則把原式化為(x-1)2=4的形式,根據(jù)平方根的概念解答即可. 解:(1)x2+5=7, x2=7-5, x2=2, x1=,x2=-. (2)2(x-1)2-8=0, 2(x-1)2=8, (x-1)2=4, x-1=2, x1=3,x2=-1. 　(1)正數(shù)x的平方根為a+2和2a-8,求x的值; (2)如果a+3與2a-15是m的平方根,求m的值. 〔解析〕　(1)根據(jù)一個正數(shù)的平方根互為相反數(shù)列式求出a的值,再求(a+2)2即可;(2)這兩個平方根互為相反數(shù)或相等,分別列式進行求解即可. 解:(1)根據(jù)題意得a+2+2a-8=0,解得a=2,所以x=(a+2)2=(2+2)2=16. (2)①當(dāng)a+3與2a-15是同一個平方根時,a+3=2a-15,解得a=18,此時m=(18+3)2=441;②當(dāng)a+3與2a-15是兩個平方根時,a+3+2a-15=0,解得a=4,此時m=(4+3)2=49. 　如果x<0,y>0,x2=4,y2=9,求x+y的值. 〔解析〕　根據(jù)x<0,y>0,x2=4,y2=9,就可確定x,y的值,進而求解. 解:∵x2=4,y2=9,∴x=2,y=3,又∵x<0,y>0,∴x=-2,y=3,∴x+y=-2+3=1. 第課時 1.了解數(shù)的算術(shù)平方根的概念,會用根號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根. 2.理解算術(shù)平方根與平方根的聯(lián)系與區(qū)別. 1.通過教學(xué)過程中學(xué)生的參與,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,提高數(shù)學(xué)表達和運算能力. 2.通過舉例使學(xué)生明確平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系. 1.學(xué)生通過積極參與教學(xué)活動獲取新知,通過小組活動發(fā)展獨立思考和競爭意識. 2.通過主動參與使學(xué)生勇于面對困難并能夠解決困難,發(fā)展合作交流意識. 【重點】　算術(shù)平方根的概念和性質(zhì). 【難點】　對算術(shù)平方根意義的理解. 【教師準備】　課件1~6. 【學(xué)生準備】　復(fù)習(xí)平方根的意義以及平方根的性質(zhì). 導(dǎo)入一: 【課件1】　學(xué)校要舉行美術(shù)作品比賽,小歐很高興,他想裁出一塊面積為25 dm2的正方形畫布,畫上他自己的得意之作參加比賽,這塊正方形畫布的邊長應(yīng)取多少? 師:怎樣算出畫布的邊長為5 dm的呢?(思考1分鐘) 【課件2】　填表: 正方形面積 1 9 16 36 正方形邊長 　　教師在學(xué)生完成的基礎(chǔ)上與學(xué)生共同總結(jié):已知正方形的面積求邊長,本質(zhì)上就是已知一個正數(shù)的平方,求這個正數(shù)的問題.那么這個正數(shù)與這個正數(shù)的平方是什么關(guān)系呢?下面我們來共同探討這個問題. [設(shè)計意圖]　從正方形的面積,引出求一個正數(shù)的正的平方根,讓學(xué)生初步認識算術(shù)平方根,為下面的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 導(dǎo)入二: 同學(xué)們,20xx年10月15日是我們每個中國人值得驕傲的日子.因為這一天,“神舟”五號飛船載人航天飛行取得圓滿成功,實現(xiàn)了中華民族千年的飛天夢想(多媒體同時出示“神舟”五號飛船升空時的畫面).那么你們知道宇宙飛船離開地球進入軌道正常運行的速度是在什么范圍嗎?這時它的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒).v1,v2的大小滿足=gR,v2=2gR,怎樣求v1,v2呢?這就要用到算術(shù)平方根的概念,也就是本節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容. [設(shè)計意圖]　“神舟”五號成功發(fā)射和安全著陸,標志著我國在攀登世界科技高峰的征程上又邁出具有重大歷史意義的一步,是我們偉大祖國的榮耀.此內(nèi)容有感染力,使學(xué)生對本章知識的應(yīng)用價值有一個感性認識,同時激發(fā)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)的興趣.這里的計算實際上是已知冪和指數(shù)求底數(shù)的問題,是乘方的逆運算,學(xué)生以前沒有見過,由此引出了本章所要研究的主要內(nèi)容,以及研究這些內(nèi)容的大體思路. 導(dǎo)入三: 【課件3】 1.(1)625的平方根是多少?這兩個平方根的和是多少? (2)-7和7是哪個數(shù)的平方根? (3)正數(shù)m的平方根怎樣表示? (4)求下列各數(shù)的平方根. ①64;　②0;?、?-0.4)2;　;?、?6;?、?-4)3. 2.已知正方形的面積等于a,那么它的邊長等于多少? 解:設(shè)正方形的邊長為x,則x2=a,根據(jù)平方根的定義,得x=.因為正方形的邊長是正數(shù),所以正方形的邊長是. [設(shè)計意圖]　復(fù)習(xí)鞏固平方根的知識,進一步掌握平方根的計算方法,為學(xué)習(xí)算術(shù)平方根做準備. 活動一:感知——算術(shù)平方根的定義 思路一 　　[過渡語]　上面的問題,可以歸納為“已知一個正數(shù)的平方,求這個正數(shù)”的問題.實際上是乘方運算中,已知一個數(shù)的指數(shù)和它的冪求這個數(shù). 一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù),我們把一個正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根. 一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.a的算術(shù)平方根記為,讀作“根號a”,a叫做被開方數(shù).規(guī)定:0的算術(shù)平方根是0.也就是,在等式x2=a(x≥0)中,規(guī)定x=. 思考:這里的數(shù)a應(yīng)該是怎樣的數(shù)呢? 試一試:你能根據(jù)等式112=121說出121的算術(shù)平方根嗎?并用等式表示出來. 解:121的算術(shù)平方根是11,用等式表示為=11. [知識拓展]　平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系. 區(qū)別:(1)概念不同:如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)就叫做a的平方根;非負數(shù)a的非負平方根叫做a的算術(shù)平方根. (2)表示方法不同:正數(shù)a的平方根表示為;正數(shù)a的算術(shù)平方根表示為. (3)個數(shù)及取值不同:一個正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個,是正數(shù);一個正數(shù)的平方根有兩個,一正一負且互為相反數(shù). 聯(lián)系:(1)具有包含關(guān)系:平方根包含算術(shù)平方根,一個數(shù)的算術(shù)平方根是一個數(shù)的平方根中的一個. (2)存在條件相同:平方根和算術(shù)平方根都只有非負數(shù)才有. (3)0的平方根、算術(shù)平方根都是0. (4)求算術(shù)平方根、平方根都可看成是平方的逆運算. 思路二 說明:正數(shù)a有兩個平方根(表示為),我們把其中正的平方根,叫做a的算術(shù)平方根,表示為. 0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根,因此0的算術(shù)平方根是0,即=0. 幾何圖形可以直觀地表示算術(shù)平方根的意義,面積為a(a>0)、邊長為的正方形,邊長就表示a的算術(shù)平方根. “”是算術(shù)平方根的符號,就表示a的算術(shù)平方根. 思考:的被開方數(shù)是什么樣的數(shù)?它的結(jié)果又是怎樣的數(shù)? 的意義有兩點: (1)被開方數(shù)a表示非負數(shù),即a≥0; (2)也表示非負數(shù),即≥0. 也就是說,非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù),負數(shù)不存在算術(shù)平方根,即a<0時,無意義. 如:=3,8是64的算術(shù)平方根,無意義. 強調(diào):這里需要說明的是,算術(shù)平方根的符號“”不僅是一個運算符號,如a≥0時,表示非負數(shù)a進行開平方運算,也是一個性質(zhì)符號,即表示非負數(shù)a的非負平方根. 例如,表示對9進行開平方運算,也表示9的正的平方根. [設(shè)計意圖]　讓學(xué)生在小組間進行必要的合作與交流,以加深學(xué)生對平方根及算術(shù)平方根意義的理解. 活動二:強化——算術(shù)平方根的計算 　　[過渡語]　理解了算術(shù)平方根的意義以及表示方法,我們就可以求出一個非負數(shù)的算術(shù)平方根. 【課件4】　(教材第63頁做一做)求下列各數(shù)的算術(shù)平方根. (1)144;　(2)0.01;　(3);　(4)132;　(5)(-16)2. 1.引導(dǎo)學(xué)生正確應(yīng)用算術(shù)平方根的表示方法計算. 2.學(xué)生口述過程. 解:(1)12.　(2)0.1.　(3).　(4)13.　(5)16. 觀察“做一做”中(4)和(5)的結(jié)果,你有什么發(fā)現(xiàn)? 小組討論得出: 語言表述:一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值. 說明:首先讓學(xué)生體驗一個數(shù)的算術(shù)平方根應(yīng)滿足怎樣的等式,應(yīng)該用怎樣的符號來表示,在此基礎(chǔ)上再求出結(jié)果.在開始階段,宜讓學(xué)生適當(dāng)模仿,熟練后直接寫出結(jié)果. 【課件5】 　計算下列各式. (1);　(2)-;　(3); (4)-. 說明:要讓學(xué)生明白各式所表示的意義;根據(jù)平方關(guān)系和算術(shù)平方根的概念進行求解,注意解題格式. 解:(1)=1.3.　(2)-=-=-15.　(3)==.　(4)-=-=-17. 【課件6】 　某小區(qū)有一塊長方形草坪,為了加強保護,小區(qū)管理人員準備用籬笆沿草坪邊緣將其圍起來.已知該長方形草坪的長是寬的4倍,草坪的面積是900 m2,求所需籬笆的總長度. 〔解析〕　(1)如果設(shè)所需籬笆的寬為x m,它的長是多少?怎樣列方程?(2)怎樣求出x的值? 解:設(shè)這塊長方形草坪的寬為x m,則長為4x m. 因為長方形草坪的面積是900 m2,所以4xx=900,即x2=225. 所以x===15. x=-15不合題意,舍去. 所以x=15,2(15+415)=150(m). 答:所需籬笆的總長度是150 m. [設(shè)計意圖]　體會平方根和算術(shù)平方根的實際意義,理解實際情境中值的取舍;規(guī)范步驟,讓學(xué)生養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣. 算術(shù)平方根的定義 一個正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根. 算術(shù)平方根的表示方法 (a≥0)(即非負數(shù)有算術(shù)平方根) 的意義 表示一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根,它等于這個數(shù)的絕對值.即: 注意的問題 (1)只有非負數(shù)有算術(shù)平方根;(2)算術(shù)平方根具有雙重非負性,一個是被開方數(shù)是非負數(shù),二是結(jié)果是非負數(shù);(3)(a≥0)的最小值是0. 1.(20xx日照中考)的算術(shù)平方根是 (　　) A.2 B.2 C. D. 解析:∵=2,2的算術(shù)平方根是,∴的算術(shù)平方根是.故選C. 2.(20xx大慶中考)a2的算術(shù)平方根一定是 (　　) A.a B.|a| C. D.-a 解析:一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根是這個數(shù)的絕對值.故選B. 3.下列各等式中,正確的是 (　　) A.-=-3 B.=3 C.()2=-3 D.=3 解析:A.-=-3,故A正確;B.=3,故B錯誤;C.被開方數(shù)是非負數(shù),故C錯誤;D.=3,故D錯誤.故選A. 4.若,則a為 (　　) A.正數(shù) B.非負數(shù) C.1或0 D.0 解析:∵,∴a≥0,a=,即a的算術(shù)平方根等于它本身,∴a=1或0.故選C. 5.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根. (1)49;　(2)0.36;　(3). 解析:根據(jù)開平方運算,可得一個數(shù)的算術(shù)平方根. 解:(1)=7.　(2)=0.6.　(3). 6.計算. (1);　(2)-. 解析:(1)先算被開方數(shù)中的減法,再根據(jù)算術(shù)平方根的定義計算即可;(2)先求出每一部分的值,再算減法即可. 解:(1).　(2)-=2-=1. 7.已知2a-7的平方根是5,2a+b-1的算術(shù)平方根是4,求a+b的算術(shù)平方根. 解析:根據(jù)平方根的定義先求出a的值,再根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出b的值,然后再求出a+b的算術(shù)平方根. 解:∵2a-7的平方根是5,∴2a-7=25,∴a=16,∵2a+b-1的算術(shù)平方根是4,∴2a+b-1=16,∴b=-15,∴a+b=16-15=1,∴a+b的算術(shù)平方根是1. 第2課時 活動一:感知——算術(shù)平方根的定義 活動二:強化——算術(shù)平方根的計算 例1 例2 一、教材作業(yè) 【必做題】 1.教材第64~65頁練習(xí)第1,2,3題. 2.教材第65頁習(xí)題A組第1,2,3,4題. 【選做題】 教材第65頁習(xí)題B組第1,2題. 二、課后作業(yè) 【基礎(chǔ)鞏固】 1.下列說法中正確的是 (　　) A.-9的平方根是-3 B.9的平方根是3 C.9的算術(shù)平方根是3 D.9的算術(shù)平方根是3 2.下列說法錯誤的是 (　　) A.42的算術(shù)平方根為4 B.的算術(shù)平方根為 C.的算術(shù)平方根是 D.的算術(shù)平方根是9 3.的值等于 (　　) A.2 B.-2 C.- D. 4.當(dāng)x=-3時,的值是 (　　) A.3 B.3 C.-3 D.9 14 / 14