九年級數(shù)學上冊26解直角三角形教學案冀教版.doc
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教學資料參考范本 九年級數(shù)學上冊 26 解直角三角形教學案 （新版）冀教版 撰寫人：__________________ 時 間：__________________ 1.理解銳角三角函數(shù)的概念,并能通過實例進行說明. 2.能推導并熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,并能解決含有30,45,60角的三角函數(shù)值的計算. 3.能夠正確地使用計算器,由已知銳角求出它的三角函數(shù)值,或由已知三角函數(shù)值求出相應的銳角. 4.會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余以及銳角三角函數(shù)解直角三角形. 5.會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實際問題,并能對相關(guān)知識進行綜合應用. 1.通過探究銳角正弦、余弦、正切概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納推理能力. 2.通過銳角三角函數(shù)的學習,進一步認識函數(shù),培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力. 3.通過在直角三角形中探究三角函數(shù)與邊長、角之間的數(shù)量關(guān)系,培養(yǎng)學生從已有的知識、特殊圖形中去感知、遷移. 4.綜合運用所學知識解決和直角三角形有關(guān)的計算,逐步提高學生分析問題、解決問題的能力,培養(yǎng)學生思維能力的靈活性. 5.經(jīng)歷從實際問題中建立數(shù)學模型的過程,發(fā)展學生的抽象概括能力,提高應用數(shù)學知識解決實際問題的能力,進一步感受數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學中的應用. 1.通過引導學生參與體驗數(shù)學活動,讓學生學會用數(shù)學思維方式思考、發(fā)現(xiàn)問題,提高數(shù)學思維能力.同時體驗數(shù)學活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神. 2.通過主動探究,合作交流,培養(yǎng)學生的團隊精神,增強合作意識,同時讓學生體驗成功的快樂. 3.讓學生經(jīng)歷觀察、操作等數(shù)學活動,探索三角函數(shù)有關(guān)知識,鍛煉克服困難的意志,建立自信心. 4.在探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程中,滲透數(shù)形結(jié)合思想,培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力和良好的學習習慣. 5.通過將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,培養(yǎng)建模思想,調(diào)動學生學習數(shù)學的積極性和主動性,培養(yǎng)學生認真思考等學習習慣,形成事實求是的科學態(tài)度. 本章《銳角三角函數(shù)》是《數(shù)學課程標準》中“空間與圖形”領(lǐng)域的重要內(nèi)容,是初中階段研究三角形部分的最后階段,主要研究銳角三角函數(shù)的概念、求銳角三角函數(shù)的值,以及銳角三角函數(shù)的簡單應用.它是在學習了函數(shù)、相似三角形的基礎上,對直角三角形中邊角之間的關(guān)系的進一步研究,屬于三角學中的最基礎的內(nèi)容,而高中階段的三角內(nèi)容是三角學的主體部分,所以本章的學習是為高中數(shù)學中三角函數(shù)等知識的學習做好準備. 本章內(nèi)容是在前面研究了直角三角形中勾股定理、兩個銳角之間的關(guān)系的基礎上,進一步研究邊角之間的關(guān)系,本章中只有正確了解銳角三角函數(shù)的概念,才能真正理解直角三角形中邊角之間的關(guān)系,從而利用這些關(guān)系來解直角三角形,這樣才能把直角三角形的判定、性質(zhì)、作圖與直角三角形中邊角之間的數(shù)量關(guān)系統(tǒng)一起來.銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在實際生活中有著廣泛的應用,這也為銳角三角函數(shù)提供了與實際聯(lián)系的機會,研究銳角三角函數(shù)的直接基礎是相似三角形的一些結(jié)論,解直角三角形主要依據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理等內(nèi)容,因此相似三角形和勾股定理等是學習本章的基礎.通過本章的學習,使學生全面掌握直角三角形的組成元素之間的關(guān)系,并綜合運用已學知識解決與直角三角形有關(guān)的度量問題,進一步培養(yǎng)學生的推理能力、運算能力和數(shù)學建模思想. 本章重點是銳角三角函數(shù)的概念、解直角三角形及三角函數(shù)的簡單應用.通過研究直角三角形中各元素之間的關(guān)系,并把這種關(guān)系用數(shù)量關(guān)系的形式表示出來,使學生經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程,通過本章的學習,使學生進一步感受數(shù)形結(jié)合的思想,體會數(shù)形結(jié)合的方法.直角三角形中邊角之間的關(guān)系在解決實際問題中有著重要的作用,現(xiàn)實生活中距離、高度、角度等計算問題,常常應用到解直角三角形的知識,使學生進一步感受數(shù)學建模思想在實際生活中的應用. 【重點】 正弦,余弦,正切概念、特殊角的三角函數(shù)值、會解直角三角形、能利用三角函數(shù)有關(guān)知識解決實際問題. 【難點】 把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題,并通過銳角三角函數(shù)解決問題. 1.組織學生積極參與課堂教學活動,根據(jù)問題情境,讓學生在獨立思考的基礎上,鼓勵學生在小組間通過合作與交流的方式解決問題. 2.關(guān)于銳角三角函數(shù)概念的教學,應注重創(chuàng)設符合學生實際的問題情境,從實際問題出發(fā),讓學生經(jīng)歷建立概念的過程,使學生感受數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系. 3.引導學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)直角三角形中邊角之間的關(guān)系,鼓勵學生有條理地進行思考和表達.在觀察、操作和推理的過程中,使學生有意識地反思其中的數(shù)學思想方法. 4.教師在學生活動的過程中,要鼓勵學生積極大膽地發(fā)表自己的意見,特別是學生與眾不同的意見,要有意識地培養(yǎng)學生求異思維的能力和不斷創(chuàng)新的欲望. 5.關(guān)于銳角三角函數(shù)求值的教學,應以實際操作為主,通過求函數(shù)值,使學生加深對銳角三角函數(shù)概念的理解,讓學生初步感受到銳角三角函數(shù)值隨角度的變化而變化. 6.對于銳角三角函數(shù)的應用,首先要引導學生弄清實際問題的意義,然后把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.同時,應注重數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透,引導學生逐步從對具體問題的研究中提煉出思想方法. 26.1銳角三角函數(shù) 2課時 26.2銳角三角函數(shù)的計算 1課時 26.3解直角三角形 1課時 26.4解直角三角形的應用 1課時 回顧與反思 1課時 26.1 銳角三角函數(shù) 1.經(jīng)歷正切、正弦、余弦概念建立的過程,理解三角函數(shù)的意義. 2.經(jīng)歷探索30,45,60角的三角函數(shù)值的過程,能夠進行有關(guān)推理,并能根據(jù)這些值說出對應的銳角度數(shù). 3.能熟練地計算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式的值. 4.能夠根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系,進行簡單的計算. 1.經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)學模型的過程,探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程,體會現(xiàn)實生活與數(shù)學的聯(lián)系. 2.通過探究銳角正弦、余弦、正切概念的形成,養(yǎng)成善于觀察、勤于思考的良好習慣,培養(yǎng)學生的歸納推理能力. 3.通過銳角三角函數(shù)的學習,進一步認識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應的思想,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力. 4.通過推導特殊角的三角函數(shù)值,學會綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力. 1.學生通過問題情境經(jīng)歷三角函數(shù)概念的形成過程,培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神. 2.通過思考、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗證等數(shù)學活動,提高學生數(shù)學思維能力. 3.通過主動探究,合作交流,增強學生的合作意識,培養(yǎng)學生團隊意識,同時讓學生體驗成功的快樂. 4.在探索與三角函數(shù)有關(guān)的知識過程中,學生通過觀察、操作獲取知識,鍛煉克服困難的意志,建立自信心. 【重點】 理解各三角函數(shù)的意義,會求銳角的各三角函數(shù)值;熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,能熟練地計算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式的值. 【難點】 探索各三角函數(shù)值的概念;30,45,60角的三角函數(shù)值的推導過程. 第課時 1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角固定時,它的對邊與鄰邊的比值是固定值,引出正切的概念. 2.理解銳角正切的概念并能根據(jù)正切的概念進行計算. 3.會計算特殊角的正切值. 1.經(jīng)歷從實際問題中抽象出數(shù)學模型的過程,探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程,體會現(xiàn)實生活與數(shù)學的聯(lián)系. 2.經(jīng)歷正切概念的形成過程,培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力,養(yǎng)成善于觀察、勤于思考的良好習慣,同時培養(yǎng)學生的歸納推理能力. 1.通過積極參與數(shù)學學習活動,體驗數(shù)學活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神. 2.通過主動探究,合作交流,培養(yǎng)學生的合作意識,同時體驗成功的快樂. 【重點】 理解正切函數(shù)的意義,并會求銳角的正切值. 【難點】 理解直角三角形中的銳角,它的對邊與鄰邊的比值是固定值. 【教師準備】 多媒體課件. 【學生準備】 預習教材P104~106. 導入一: 【課件展示】 如圖所示,小明在距旗桿4.5 m的點D處,仰視旗桿頂端A,仰角(∠AOC)為50;俯視旗桿底部B,俯角(∠BOC)為18.旗桿的高約為多少米? 【師生活動】 教師展示章前頁問題情境并簡單說明,學生觀察圖示,教師引出本章課題. [導入語] 通過測量仰角、俯角及小明與旗桿的距離,應用以前學過的數(shù)學知識,我們還不能求出旗桿的高度.通過本章的學習,你將能夠解決這個問題. 導入二: 復習提問: 1.直角三角形有哪些特殊性質(zhì)? 2.有一個銳角是30的直角三角形有什么特殊性質(zhì)? 3.有一個銳角是45的直角三角形有什么特殊性質(zhì)? 【師生活動】 學生思考回答,教師點評. 導入三: 【課件展示】 如圖所示,輪船在A處時,燈塔B位于它的北偏東35的方向上.輪船向東航行5 km到達C處時,輪船位于燈塔的正南方,此時輪船距燈塔多少千米?(結(jié)果保留兩位小數(shù)) 教師提問: 該實際問題中的已知和所求為圖中的哪些角和線段? (事實上,求輪船距燈塔的距離,就是在RtΔABC中,已知∠C=90,∠BAC=55,AC=5 km,求BC長度的問題) 【師生活動】 教師提示學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,學生思考回答,教師點評. [過渡語] 解決此問題,需要用到將要學習的直角三角形邊角之間的關(guān)系,即銳角三角函數(shù),今天我們學習第一種銳角三角函數(shù)——銳角的正切. [設計意圖] 通過章前頁問題情境提出如何求得旗桿高度,讓學生認識到本章將要學習的主要內(nèi)容,激發(fā)學生學習和探求新知識的欲望.通過復習和本節(jié)課有關(guān)的直角三角形的知識導入新課,為本節(jié)課的學習做好鋪墊.通過導入三中把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,讓學生初步感知直角三角形中邊角之間存在著某種關(guān)系,體會生活與數(shù)學之間的密切聯(lián)系. 共同探究 直角三角形中銳角的對邊與鄰邊的比是定值 【課件展示】 如圖所示,在RtΔABC中和RtΔABC中,∠C=∠C=90.當∠A=∠A時,與具有怎樣的關(guān)系? 思路一 教師引導思考: (1)如何證明線段成比例? (三角形相似) (2)根據(jù)已知,你能證明這兩個直角三角形相似嗎? (∵∠A=∠A,∠C=∠C=90,∴RtΔABC∽RtΔABC) (3)由三角形相似的性質(zhì)可以得到與之間的關(guān)系嗎? ∵RtΔABC∽RtΔABC,∴,即 (4)你能用語言敘述這個結(jié)論嗎? (當銳角A確定時,∠A的對邊與鄰邊的比值是確定的,與所在三角形的大小無關(guān)) 【師生活動】 學生獨立思考后,小組合作交流,小組代表展示后,教師作出點評. 思路二 教師展示課件后,小組合作交流,共同探究,寫出結(jié)論,說明理由.教師對有困難的學生進行分析指導,對學生的展示進行點評. 解:. 理由:∵∠A=∠A,∠C=∠C=90, ∴RtΔABC∽RtΔABC. ∴,即. 追問:你能用語言敘述這個結(jié)論嗎? 【師生活動】 學生嘗試敘述結(jié)論,教師歸納完整. 結(jié)論:當銳角A確定時,∠A的對邊與鄰邊的比值是確定的,與所在三角形的大小無關(guān). [過渡語] 在上圖中的兩個直角三角形中,相等的角所對的直角邊與鄰邊的比值是相等的,在下圖中,上述結(jié)論是否還正確呢? 【課件展示】 如圖所示,已知∠EAF<90,BC⊥AF,BC⊥AF,垂足分別為C,C.與具有怎樣的關(guān)系? 【師生活動】 學生類比上邊的思考方法,獨立思考后,小組內(nèi)交流答案,教師及時發(fā)現(xiàn)問題,及時幫助解決問題. 追問:根據(jù)以上兩個圖形中角的對邊與鄰邊的比的探究,你能得到什么結(jié)論? 【師生活動】 學生獨立思考后回答,教師點評,規(guī)范歸納的結(jié)論. 【課件展示】 在兩個直角三角形中,當一對銳角相等時,這兩個直角三角形相似,從而兩條對應直角邊的比相等,即當∠A(小于90)確定時,以∠A為銳角的RtΔABC的兩條直角邊的比是確定的. [設計意圖] 通過教師引導或獨立思考后小組合作交流,讓學生感知并證明銳角一定時,它的對邊和鄰邊的比是定值,為引出正切的概念做好鋪墊,同時培養(yǎng)學生觀察、思考及合作交流的能力. 形成概念 [過渡語] 在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時,它所對的直角邊與鄰邊的比是固定值,那么這個固定值被定義為什么呢? 【課件展示】 如圖所示,在RtΔABC中,∠C=90,我們把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tan A,即tan A=. 大家談談: (1)∠A的正切tan A表示的是tan 與A的乘積還是一個整體? (tan A表示的是一個整體) (2)當∠A的大小變化時,tan A是否變化? (tan A隨著∠A的大小變化而變化) (3)tan A有單位嗎? (tan A是一個比值,沒有單位) (4)∠B的正切怎么表示?tan A與tan B之間有怎樣的關(guān)系? (5)要求一個銳角的正切值,我們需要知道直角三角形中的哪些邊? (需要知道這個銳角的對邊和鄰邊) (6)若知道直角三角形的斜邊和一直角邊,你能求一個銳角的正切值嗎? (根據(jù)勾股定理求出另一直角邊,再根據(jù)正切定義求解) 【師生活動】 學生獨立思考,小組合作交流,小組代表回答問題,教師點評. [設計意圖] 在解決一系列的問題中,經(jīng)歷建立數(shù)學概念的過程,讓學生全面理解正切的概念、寫法和意義,教師強調(diào)概念中注意的事項,使學生加深對正切概念的理解和掌握. 例題講解 (教材105頁例1)在RtΔABC中,∠C=90. (1)如圖(1)所示,∠A=30,求tan A,tan B的值. (2)如圖(2)所示,∠A=45,求tan A的值. 【師生活動】 學生獨立思考完成,小組內(nèi)交流答案,小組代表板書過程,教師巡視、觀察學生的解答情況,對發(fā)現(xiàn)的問題及時解決,并對學生的展示進行點評和規(guī)范做題步驟. 解:(1)在RtΔABC中, ∵∠A=30, ∴∠B=60,且a=c. ∴b== c. ∴tan A=tan 30=cc=, tan B=tan 60=cc=. (2)在RtΔABC中, ∵∠A=45, ∴a=b. ∴tan A=tan 45==1. 這樣,就得到tan 30=,tan 45=1,tan 60=. [設計意圖] 學生獨立完成該問題的理解和解答,鞏固了對正切的概念的理解和應用,為下節(jié)課學習特殊角的三角函數(shù)值做好鋪墊,同時教師規(guī)范學生的解題過程,讓學生體會數(shù)學的嚴謹性,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力. [知識拓展] 1.正切是一個比值,沒有單位. 2.正切值只與角的大小有關(guān),與三角形的大小無關(guān). 3.tan A是一個整體符號,不能寫成tan A. 4.當用三個字母表示角時,角的符號“∠”不能省略,如tan∠ABC. 5.tan2A表示(tan A)2,而不能寫成tan A2. 1.在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,∠A的對邊與鄰邊的比值是一個固定值. 2.正切的定義:在RtΔABC中,∠C=90,我們把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tan A,即tan A=. 1.如圖所示,在RtΔABC中,∠C=90,三邊分別為a,b,c,則tan A等于 ( ) A. B. C. D. 解析:根據(jù)銳角正切的定義可得tan A=.故選B. 2.把ΔABC三邊的長度都擴大為原來的3倍,則銳角A的正切值 ( ) A.不變 B.縮小為原來的 C.擴大為原來的3倍 D.不能確定 解析:因為ΔABC三邊的長度都擴大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似,所以銳角A的大小沒改變,所以銳角A的正切值也不變.故選A. 3.已知RtΔABC中,∠C=90,tan A=,BC=12,則AC等于 . 解析:根據(jù)正切定義可得tan A=,所以AC=9.故填9. 4.如圖所示,在RtΔABC中,∠C=90. (1)若tan A=,BC=9,求AB的長; (2)若tan B=,AC=16,求AB的長. 解:(1)∵tan A=,BC=9, ∴AC=12, 由勾股定理可得AB==15. ∴AB的長為15. (2)∵tan B=,AC=16,∴BC=12. 由勾股定理可得AB==20. ∴AB的長為20. 第1課時 共同探究 直角三角形中銳角的對邊與鄰邊的比是定值 形成概念 例題講解 一、教材作業(yè) 【必做題】 教材第106頁習題A組第1,2題. 【選做題】 教材第106頁習題B組第1,2題. 二、課后作業(yè) 【基礎鞏固】 1.已知RtΔABC中,∠C=90,BC=1,AC=2,則tan A的值是 ( ) A.2 B. C. D. 2.已知RtΔABC中,∠C=90,tan A=,BC=8,則AC等于 ( ) A.6 B. C.10 D.12 3.在RtΔABC中,∠C=90,若AC=2BC,則tan B的值是 ( ) A. B.2 C. D. 4.如圖所示,A,B,C三點在正方形網(wǎng)格線的交點處,若將ΔACB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到ΔACB,則tan B的值為 . 5.已知等腰三角形的腰長為6 cm,底邊長為10 cm,則底角的正切值為 . 6.如圖所示,點A(t,4)在第一象限,OA與x軸所夾的角為α,tan α=,則t的值是 . 7.如圖所示,在RtΔABC中,∠ACB=90,CD⊥AB于點D,若BC=2,AB=3,求tan∠BCD的值. 【能力提升】 8.如圖所示,ΔABC中,AB=AC,∠A=45,AC的垂直平分線分別交AB,AC于D,E,連接CD.如果AD=1,那么tan∠BCD= . 9.如圖所示,在ΔABC中,∠C=90,D是BC上一點,AC=2,CD=1,記∠CAD=α. (1)求α的正切值; (2)若∠B=α,求BD的長. 【拓展探究】 10.如圖所示,將矩形ABCD沿CE折疊,點B恰好落在邊AD的F處,如果,求tan∠DCF的值. 【答案與解析】 1.B(解析:在RtΔABC中,∵∠C=90,AC=2,BC=1,∴tan A=.故選B.) 2.A(解析:∵tan A=,BC=8,∴AC=BC=6.故選A.) 3.B(解析:∵AC=2BC,∴tan B==2.故選B.) 4.(解析:由旋轉(zhuǎn)可得∠B=∠B,所以tan B=tan B=.故填.) 5.(解析:根據(jù)等腰三角形的三線合一,可得底邊的一半為5 cm,由勾股定理可得底邊上的高為 cm,所以底角的正切值為.故填.) 6.3(解析:如圖所示,過A點分別向x軸,y軸作垂線,垂足分別為B,C,∵點A(t,4)在第一象限,∴AB=4,OB=AC=t,又∵tan α=,∴t=3.故填3.) 7.解:∵CD⊥AB,∴∠ADC=90,∴∠A+∠ACD=90,又∠BCD+∠ACD=90,∴∠BCD=∠A,在RtΔABC中,AC=,∴tan A=,∴tan∠BCD=tan A=. 8.-1(解析:∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴∠A=∠ACD=45,∴∠ADC=∠BDC=90.∵AD=CD=1,∴AB=AC=,BD=-1.在直角三角形BCD中,tan∠BCD=-1.故填-1.) 9.解:(1)在RtΔACD中,tan α=. (2)在RtΔABC中,tan B=,由(1)知tan α=,又∠B=α,∴tan B=,又AC=2,∴BC=4,∴BD=BC-CD=4-1=3. 10.解:∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD,∠D=90,∵將矩形ABCD沿CE折疊,點B恰好落在邊AD的F處,∴CF=BC,∵,∴,設CD=2x,CF=3x,則DF=x,∴tan∠DCF=. 本節(jié)課通過復習特殊角直角三角形的性質(zhì),為探究銳角的正切概念做好鋪墊,同時以具體情境引入新課,讓學生體會數(shù)學與生活息息相關(guān),激發(fā)學生學習興趣,并初步感受直角三角形中邊角之間的關(guān)系.然后通過學生自主探究、合作交流等數(shù)學活動,歸納出結(jié)論:直角三角形中銳角一定時,它的對邊與鄰邊的比相等.從而自然引出正切的概念,順理成章完成知識的遷移,培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、探究思考與合作交流的能力.在課堂上,學生參與意識較強,課堂氣氛活躍,讓不同的學生得到不同的發(fā)展,突出了學生在課堂上的主體作用. 本節(jié)課通過探究直角三角形中銳角的對邊和鄰邊的比是固定值,由此歸納總結(jié)正切定義.在教學設計中,注重知識間的聯(lián)系,由前邊所學知識自然推導結(jié)論,由結(jié)論自然導出正切概念,但在授課過程中忽略了學生的認知能力,部分學生對正切的理解有困難.在以后的教學中,給出正切定義后,應給出幾個簡單的練習題,加深學生對概念的理解和掌握. 本節(jié)課根據(jù)問題情境中提出的問題,引導學生畫出圖形,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,激發(fā)學生探究本節(jié)課的學習興趣,然后根據(jù)已有的相似三角形的知識,讓學生獨立思考后,小組合作交流,探究出直角三角形中的銳角確定時,它的對邊和鄰邊的比是確定的,很自然地引出正切的定義,然后通過例題講解讓學生進一步理解和掌握正切的概念.學生在經(jīng)歷概念的形成過程中,加深對正切概念的理解和掌握,同時提高了數(shù)學思維及歸納總結(jié)能力. 練習(教材第106頁) 1.提示:(1)1. (2)2+. (3)0. (4). 2.解:在RtΔABC中,AC==2,tan B=. 3.解:根據(jù)勾股定理可以求得另一條直角邊為,所以tan α=. 習題(教材第106頁) A組 1.提示:-2-. 2.提示:AC=,AB=. B組 1.解:ΔABC的周長為AB+BC+AC=+10+,ΔABC的面積為ACBC=10=. 2.解:BC==6,∴tan B=. 加強探究能力,發(fā)展學生的思維能力 本節(jié)課的重點是探究直角三角形中銳角的正切概念,在教學設計中,通過“觀察與思考”“大家談談”等教學環(huán)節(jié),為學生提供探究交流的空間,發(fā)展學生的思維能力.首先通過復習特殊直角三角形的性質(zhì),為學生探究活動做好鋪墊,然后讓學生通過獨立思考、小組合作交流、共同歸納等數(shù)學活動,探索出結(jié)論“在直角三角形中,當一個銳角確定時,這個角的對邊與鄰邊的比是確定的”,從而很自然地把直角三角形中這個確定的值定義為這個銳角的正切.在課堂上以問題引導的形式讓學生積極參與課堂,親身經(jīng)歷概念的形成過程,為學生提供了更加廣闊的探索空間,培養(yǎng)學生觀察、思考、與他人合作及歸納總結(jié)的能力.然后設計“大家談談”環(huán)節(jié),讓學生獨立完成后,小組交流得出結(jié)論,鞏固對正切概念的理解.在例題講解環(huán)節(jié),設計了求30,45這些特殊角的正切值,學生在教師的引導下,再次經(jīng)過獨立思考后, 小組合作交流,得出正確結(jié)果,提高學生探究能力和分析問題、解決問題的能力,使學生的數(shù)學思維能力得到進一步的提升. (20xx內(nèi)江中考)在平面直角坐標系xOy中,過點P(0,2)作直線l:y=x+b(b為常數(shù)且b<2)的垂線,垂足為點Q,則tan∠OPQ= . 〔解析〕 如圖所示,設直線l與坐標軸的交點分別為A,B,∵∠AOB=∠PQB=90,∠ABO=∠PBQ,∴∠OAB=∠OPQ,由題意可得OB=b,OA=2b,在RtΔOAB中,tan∠OAB=,∴tan∠OPQ=.故填. 第課時 1.經(jīng)歷正弦、余弦概念的形成過程,理解三角函數(shù)的定義,并能根據(jù)正弦、余弦的概念進行計算. 2.經(jīng)歷探索30,45,60角的正弦、余弦值的過程,能夠進行有關(guān)推理,并能進行含有30,45,60角的三角函數(shù)值的計算. 1.結(jié)合正切概念探索銳角正弦、余弦概念的形成,培養(yǎng)學生類比推理的能力及歸納總結(jié)的能力. 2.通過銳角三角函數(shù)的學習,進一步認識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應的思想,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力. 3.通過推導特殊角的三角函數(shù)值,了解知識間的聯(lián)系,學會綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力. 1.通過積極參與數(shù)學學習活動,體驗數(shù)學活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神. 2.引導學生參與體驗數(shù)學活動,學會用數(shù)學思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、驗證問題,提高數(shù)學思維能力. 3.通過主動探究,合作交流,培養(yǎng)學生的團隊精神,增強合作意識,同時讓學生體驗成功的快樂. 【重點】 1.理解正弦、余弦的概念,并會求銳角的正弦值、余弦值. 2.熟記30,45,60角的三角函數(shù)值,能熟練計算含有30,45,60角的三角函數(shù)的代數(shù)式的值. 【難點】 類比正切概念,探索正弦、余弦的概念及30,45,60角的正弦、余弦值的推導過程. 【教師準備】 多媒體課件. 【學生準備】 預習教材P106~108. 導入一: 復習提問: 1.在直角三角形中,如果一個銳角確定時,它的對邊與鄰邊的比值有什么規(guī)律? 2.什么是正切?如何求一個角的正切? 3.含30,45的直角三角形有哪些性質(zhì)? 4.你還記得我們探究正切概念時所得的30,45角的正切嗎? 導入二: 觀察兩個不同大小的三角板,當角是30,45,60時,它們的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值有什么規(guī)律?談談你的看法. [過渡語] 類比探究正切的方法,在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比也是確定的嗎?這就是我們這節(jié)課要學習的內(nèi)容. [設計意圖] 通過復習提問,回憶上節(jié)課的探究方法,用類比的方法探究本節(jié)課的內(nèi)容,為本節(jié)課做好鋪墊.計算直角三角板中特殊角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值,觀察、歸納規(guī)律,很自然地引出本節(jié)課的概念,同時培養(yǎng)學生計算、觀察、猜想的能力. 共同探究一 直角三角形中,銳角的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比是定值 思路一 【課件展示】 如圖所示,在RtΔAB1C1和RtΔAB2C2中,∠C1=∠C2=90. 【思考】 (1)RtΔAB1C1與RtΔAB2C2之間有什么關(guān)系? (RtΔAB1C1∽RtΔAB2C2) (2)與,與之間各有什么關(guān)系? (3)過射線AB1上任取一點B3,過B3作B3C3⊥AC1,垂足為C3,則與,與之間有什么關(guān)系? (4)根據(jù)以上思考,你得到什么結(jié)論? (直角三角形中∠A的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值是固定不變的) (5)如果改變∠A的大小,上邊的比值是否變化?歸納你的結(jié)論. 【師生活動】 教師提出問題,學生思考后小組合作交流,共同歸納結(jié)論,教師在巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的回答作出點評. 【課件展示】 1.在直角三角形中,當銳角確定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與斜邊的比是確定的. 2.在直角三角形中,當銳角確定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的鄰邊與斜邊的比也是確定的. 思路二 【課件展示】 如圖所示,∠BAC為任意給定的一個銳角,B1,B2為射線AB上的任意兩點,過點B1,B2分別作AC的垂線B1C1,B2C2,垂足分別為C1,C2. 【探究】 類比上節(jié)課探究“在直角三角形中,當銳角確定時,這個角的對邊與鄰邊的比是確定的”的方法,請你探究“在直角三角形中,當銳角確定時,這個角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比也是確定的”. 【師生活動】 學生獨立思考后,小組合作交流,教師幫助學習有困難的學生,并對學生的展示進行點評. 【課件展示】 1.在直角三角形中,當銳角確定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與斜邊的比是確定的. 2.在直角三角形中,當銳角確定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的鄰邊與斜邊的比也是確定的. [設計意圖] 在教師提出的問題的引導下,學生通過小組合作交流,類比上節(jié)課探究問題的方法,經(jīng)過觀察、討論、驗證等數(shù)學活動,歸納出結(jié)論,為歸納理解三角函數(shù)定義做好鋪墊,同時培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)能力. 形成概念 [過渡語] 在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時,角的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比值是確定的,我們把確定值定義為什么呢? 【課件展示】 在RtΔABC中,∠C=90.銳角A的對邊和斜邊的比、鄰邊與斜邊的比都是一個定值.∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sin A,即sin A=. ∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cos A,即cos A=. 【思考】 (1)當銳角α的大小變化時,sin α,cos α,tan α是否變化? (2)對于銳角α的每一個確定的值,sin α,cos α和tan α是否有唯一的值和它對應? (3)sin α,cos α和tan α是不是α的函數(shù)? 【師生活動】 學生思考回答,教師引導點評. 歸納: 我們把銳角α正弦、余弦和正切統(tǒng)稱為α的三角函數(shù). 為方便起見,今后將(sin α)2,(cos α)2,(tan α)2分別記作sin2α,cos2α,tan2α. 大家談談: 如圖所示,在RtΔABC中,∠C=90. (1)∠B的正弦與余弦分別是哪兩邊的比值? ∠B的正弦是,∠B的余弦是 (2)由a下載提示(請認真閱讀)
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- 九年級 數(shù)學 上冊 26 直角三角形 教學 案冀教版
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