2019-2020年高三數(shù)學專題復習 專題5 數(shù)列檢測題.doc
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2019-2020年高三數(shù)學專題復習 專題5 數(shù)列檢測題 一、重點知識梳理: 1.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法: (1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。 (2)通項公式法: ①若 =+(n-1)d=+(n-k)d ,則為等差數(shù)列; ②若 ,則為等比數(shù)列。 (3)中項公式法:驗證中項公式成立。 2. 在等差數(shù)列中,有關的最值問題——常用鄰項變號法求解: (1)當>0,d<0時,滿足的項數(shù)m使得取最大值. (2)當<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得取最小值。 在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉化思想的應用。 3.數(shù)列求和的常用方法:公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。 二:典型例題 例1.已知數(shù)列{an}是公差d≠0的等差數(shù)列,其前n項和為Sn. (2)過點Q1 (1,a1),Q2 (2,a2)作直線12,設l1與l2的夾角為θ, 例2.已知數(shù)列中,是其前項和,并且, ⑴設數(shù)列,求證:數(shù)列是等比數(shù)列; ⑵設數(shù)列,求證:數(shù)列是等差數(shù)列; ⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。 例3數(shù)列中,且滿足 ⑴求數(shù)列的通項公式; ⑵設,求; ⑶設=,是否存在最大的整數(shù),使得對任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。 . 三、鞏固練習 1.(xx大綱全國改編)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列的前100項和為________. 2.(原創(chuàng)題)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=13, S3=S11,當Sn最大時,n的值是________. 3.(xx連云港模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n2+3n,若an+1an+2=80,則n的值等于________. 4.已知an=n,bn=,則數(shù)列的前n項和Sn=______________. 5.(2011天津改編)已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項,Sn為{an}的前n項和,n∈N*,則S10的值為________. 6.(xx南通模擬)數(shù)列{an}中,a1=1,且a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是公比為的等比數(shù)列,那么an=________. 7.(xx鎮(zhèn)江模擬)在數(shù)列{an}中,a1=2,當n是奇數(shù)時,an+1=an+2;當n是偶數(shù)時,an+1=2an,則a9=________. 8.(xx青島模擬)各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,若S10=10,S30=70,則S40=________. 9.(xx湖南十二校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1=1,=2,=3 (k∈N*),則(1)a3+a4=________;(2)其前n項和Sn=____________________. 10.(xx四川)記[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù),例如,[2]=2,[1.5]=1,[-0.3]=-1.設a為正整數(shù),數(shù)列{xn}滿足x1=a,xn+1=(x∈N*),現(xiàn)有下列命題: ①當a=5時,數(shù)列{xn}的前3項依次為5,3,2; ②對數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k,當n≥k時總有xn=xk; ③當n≥1時,xn>-1; ④對某個正整數(shù)k,若xk+1≥xk,則xk=[]. 其中的真命題有________.(寫出所有真命題的編號) 二、解答題 11. 已知等差數(shù)列{an}的首項為a,公差為b,且不等式ax2-3x+2>0的解集為(-∞,1)∪(b,+∞). (1)求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn; (2)若數(shù)列{bn}滿足bn=an2n,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 12. (xx長沙模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)在拋物線y=x2上,數(shù)列{bn}滿足b1=a1,點(bn,bn+1)在直線y=3x上. (1)分別求{an},{bn}的通項公式; (2)求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn. 13.已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過坐標原點,其導函數(shù)為f′(x)=6x-2,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn) (n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設bn=,Tn是數(shù)列{bn}的前n項和,求使得Tn<對所有n (n∈N*)都成立的最小正整數(shù)m. 參考答案 例1.已知數(shù)列{a}是公差d≠0的等差數(shù)列,其前n項和為S. (2)過點Q(1,a),Q(2,a)作直線12,設l與l的夾角為θ, 證明:(1)因為等差數(shù)列{a}的公差d≠0,所以 Kpp是常數(shù)(k=2,3,…,n). (2)直線l的方程為y-a=d(x-1),直線l的斜率為d. 例2.已知數(shù)列中,是其前項和,并且, ⑴設數(shù)列,求證:數(shù)列是等比數(shù)列; ⑵設數(shù)列,求證:數(shù)列是等差數(shù)列; ⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。 分析:由于和{c}中的項都和{a}中的項有關,{a}中又有S=4a+2,可由S-S作切入點探索解題的途徑. 解:(1)由S=4a,S=4a+2,兩式相減,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a.(根據(jù)b的構造,如何把該式表示成b與b的關系是證明的關鍵,注意加強恒等變形能力的訓練) a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b ① 已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3 ② 由①和②得,數(shù)列是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,故b=32. 當n≥2時,S=4a+2=2(3n-4)+2;當n=1時,S=a=1也適合上式. 綜上可知,所求的求和公式為S=2(3n-4)+2. 說明:1.本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差,等比數(shù)列,求數(shù)列通項與前項和。解決本題的關鍵在于由條件得出遞推公式。 2.解綜合題要總攬全局,尤其要注意上一問的結論可作為下面論證的已知條件,在后面求解的過程中適時應用. 例3.數(shù)列中,且滿足 ⑴求數(shù)列的通項公式; ⑵設,求; ⑶設=,是否存在最大的整數(shù),使得對任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由。 解:(1)由題意,,為等差數(shù)列,設公差為, 由題意得,. (2)若, 時, 故 (3) 若對任意成立,即對任意成立, 的最小值是,的最大整數(shù)值是7。 即存在最大整數(shù)使對任意,均有 說明:本例復習數(shù)列通項,數(shù)列求和以及有關數(shù)列與不等式的綜合問題。. 鞏固練習 1. ; 2.7 ; 3.5 ; 4.; 5.110; 6.; 7.92 ; 8.150 ; 9.(1)18; (2) (k∈N*) 10.①③④ 11.解 (1)因為ax2-3x+2>0的解集為 (-∞,1)∪(b,+∞), 所以方程ax2-3x+2=0的兩根為x1=1,x2=b, 可得故a=1,b=2. 所以an=2n-1,Sn=n2. (2)由(1)得bn=(2n-1)2n, 所以Tn=b1+b2+…+bn =12+322+…+(2n-1)2n, ① 2Tn=122+323+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1, ② ②-①得 Tn=-2(2+22+…+2n)+(2n-1)2n+1+2 =(2n-3)2n+1+6. 12.解 (1)由題意對于數(shù)列{an}有Sn=n2, 當n=1時,有a1=S1=1. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,n=1也符合上式, 故對任意的n∈N*都有an=2n-1. 對于數(shù)列{bn}有bn+1=3bn, 故{bn}是以b1=a1=1為首項,以3為公比的等比數(shù)列, 所以對任意的n∈N*都有bn=3n-1. (2)由(1)知anbn=(2n-1)3n-1, 從而Tn=a1b1+a2b2+…+anbn =130+331+532+…+(2n-1)3n-1, 于是3Tn=131+332+…+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n, 錯位相減并整理得Tn=(n-1)3n+1. 13.解 (1)設函數(shù)f(x)=ax2+bx (a≠0), 則f′(x)=2ax+b,由f′(x)=6x-2, 得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x. 又因為點(n,Sn) (n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上,所以Sn=3n2-2n. 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5. 當n=1時,a1=S1=312-2=61-5, 所以,an=6n-5 (n∈N*). (2)由(1),知bn= = =, 故Tn=b1+b2+…+bn =[++…+] =. 因此,要使< (n∈N*)成立, 則m需滿足≤即可,則m≥10,所以滿足要求的最小正整數(shù)m為10.- 配套講稿:
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