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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一次月考試題 文(含解析)湘教版
【試卷綜評(píng)】本試卷試題主要注重基本知識(shí)、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察,覆蓋面廣,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用,試題有新意,符合課改和教改方向,能有效地測(cè)評(píng)學(xué)生,有利于學(xué)生自我評(píng)價(jià),有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí),既重視雙基能力培養(yǎng),側(cè)重學(xué)生自主探究能力,分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,突出應(yīng)用,同時(shí)對(duì)觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。
本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三部分,共6頁(yè)。時(shí)量120分鐘。滿(mǎn)分150分。
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
【題文】1.已知a是實(shí)數(shù),是純虛數(shù),則a=( )
A.1 B.-1 C. D.-
【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算. L4
【答案解析】A 解析:因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,即,故選A.
【思路點(diǎn)撥】先把原復(fù)數(shù)化簡(jiǎn),再令實(shí)部等于0即可解得a的值.
【題文】2.極坐標(biāo)方程所表示的曲線(xiàn)是( )
A.一條直線(xiàn) B.一個(gè)圓 C.一條拋物線(xiàn) D.一條雙曲線(xiàn)
【知識(shí)點(diǎn)】極坐標(biāo)方程.N3
【答案解析】C 解析:把兩邊同時(shí)乘以可得:,又因?yàn)?,代入可?表示一條拋物線(xiàn),故選C.
【思路點(diǎn)撥】把原式變形,再把代入即可化簡(jiǎn).
【題文】3.設(shè)集合A={x|x>-1},B={x|x≥1},則“x∈A且x?B”成立的充要條件是( )
A.-1
-1 D.-1-1},B={x|x≥1},所以x∈A且x?B可得-14},則對(duì)于函數(shù)f(x)=ax2+bx+c應(yīng)有( )
A.f(5)4},可知:,
,解得:,代入,即,
所以,表示開(kāi)口方向向下,對(duì)稱(chēng)軸為1的拋物線(xiàn),則函數(shù)在遞減,所以,而由對(duì)稱(chēng)性可得:,所以,故選B.
【思路點(diǎn)撥】先由不等式的解集判斷出a的符號(hào)以及與b,c的關(guān)系,再由單調(diào)性得到的關(guān)系為,而由對(duì)稱(chēng)性可得:即可得解.
【題文】7.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長(zhǎng)度,則得到的這個(gè)新三角形的形狀為( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.由增加的長(zhǎng)度決定
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理.C8
【答案解析】A 解析:設(shè)增加同樣的長(zhǎng)度為x,原三邊長(zhǎng)為a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形的三邊長(zhǎng)為a+x、b+x、c+x,知c+x為最大邊,其對(duì)應(yīng)角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正,則為銳角,那么它為銳角三角形.故選A.
【思路點(diǎn)撥】設(shè)增加同樣的長(zhǎng)度為x,原三邊長(zhǎng)為a、b、c,且c2=a2+b2,a+b>c.新的三角形的三邊長(zhǎng)為a+x、b+x、c+x,知c+x為最大邊,其對(duì)應(yīng)角最大.而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦為正即可判斷.
【題文】8.若<<0,則下列不等式中不正確的是( )
A.a(chǎn)bb2 D.+>2
【知識(shí)點(diǎn)】比較大小.E1
【答案解析】C 解析:令代入檢驗(yàn)可排除A,B,D;故選C.
【思路點(diǎn)撥】利用排除法與賦值法相結(jié)合可得結(jié)果.
【題文】9.已知an=logn+1(n+2)(n∈N*),觀察下列運(yùn)算:( )
a1a2=log23log34==2;
a1a2a3a4a5a6=log23log34……log78
=……=3;…….
若a1a2a3……ak(k∈N*)為整數(shù),則稱(chēng)k為“企盼數(shù)”,
試確定當(dāng)a1a2a3……ak=2 014時(shí),“企盼數(shù)”k為
A.22 014+2 B.22 014 C.22 014-2 D.22 014-4
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算.B7
【答案解析】C 解析: a1a2a3……ak==2 014?lg(k+2)=lg 22 014?k=22 014-2.
【思路點(diǎn)撥】由新定義計(jì)算a1a2a3……ak后再解方程即可.
【題文】10.過(guò)點(diǎn)(-2,0)的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y=相交于兩點(diǎn),且在這兩個(gè)交點(diǎn)處拋物線(xiàn)的切線(xiàn)互相垂直,則直線(xiàn)l的斜率k等于( )
A.- B.- C. D.
【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義;拋物線(xiàn)的性質(zhì).B11 H7
【答案解析】C 解析:對(duì)拋物線(xiàn)y=,y′=x,l的方程是y=k(x+2)代入y=得:x2-2kx-4k=0,設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)是A(x1,y1),B(x2,y2),則,而在這兩個(gè)交點(diǎn)處拋物線(xiàn)的切線(xiàn)互相垂直即x1x2=-1.∴k=且滿(mǎn)足Δ>0.
【思路點(diǎn)撥】設(shè)出直線(xiàn)方程再與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式求出,然后結(jié)合在這兩個(gè)交點(diǎn)處拋物線(xiàn)的切線(xiàn)互相垂直即可得到結(jié)果.
二、填空題:本大題共5個(gè)小題,每小題5分,共25分.請(qǐng)把答案填在答題卷對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線(xiàn)上.
11.在200個(gè)產(chǎn)品中,一等品40個(gè),二等品60個(gè),三等品100個(gè),用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為40的樣本,則從二等品中應(yīng)抽取___個(gè).
【知識(shí)點(diǎn)】分層抽樣.I1
【答案解析】12 解析:用分層抽樣的方法抽取的比例為,所以從二等品中應(yīng)抽取
,故答案為12.
【思路點(diǎn)撥】分層抽樣的特點(diǎn)是按比例進(jìn)行抽取,先計(jì)算出抽取的比例,在計(jì)算從二等品中應(yīng)抽取的個(gè)數(shù)即可.
【題文】12.閱讀右邊的框圖填空:若a=0.80.3,b=0.90.3,c=log50.9,則輸出的數(shù)是___.
【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖;指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).B6 B7 L1
【答案解析】b(或0.90.3)解析:因?yàn)橛芍笖?shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知:且,根據(jù)框圖的流程指向可得輸出的結(jié)果為b,故答案為b(或0.90.3).
【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出a,b,c的大小關(guān)系,再由框圖的流程指向可得輸出的結(jié)果.
【題文】13.若直線(xiàn)y=kx與圓x2+y2-4x+3=0相切,則k的值是____.
【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.H4
【答案解析】 解析:因?yàn)橹本€(xiàn)y=kx與圓x2+y2-4x+3=0相切,所以圓心到直線(xiàn)的距離,解得,故答案為.
【思路點(diǎn)撥】直線(xiàn)y=kx與圓x2+y2-4x+3=0相切轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑,列出方程解之即可.
【題文】14.設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+1)+x2,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)___.
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.B12
【答案解析】解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x(ex+1)+x2,所以其導(dǎo)函數(shù)為:,又因?yàn)榍笃鋯握{(diào)遞增區(qū)間,所以,即,解得:,故答案為.
【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo),再利用解不等式即可.
【題文】15.當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),定義函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù).如N(3)=3,N(10)=5,….記S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n).
則(1)S(3)=____;(2)S(n)=____.
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)值的求解.B1
【答案解析】22; 解析:由題設(shè)知,N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1.
又S(0)=N(1)=1.
(1)S(3)=[N(1)+N(3)+N(5)+N(7)]+[N(2)+N(4)+N(6)+N(8)]
=[1+3+5+7]+[N(1)+N(2)+N(3)+N(4)]
?。?2+S(2)=42+41+S(1)=42+41+40+S(0)=22.
(2)S(n)=[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(2)+N(4)+N(6)+…+N(2n)]
=[1+3+5+…+(2n-1)]+[N(1)+N(2)+N(3)+…+N(2n-1)],
∴S(n)=4n-1+S(n-1)(n≥1),
∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+40+1=.
【思路點(diǎn)撥】(1)由題意可得,S(3)=N(1)+N(2)+N(3)+…+N(8),分別尋求每一項(xiàng)的值,然后可求;
(2)先根據(jù)題意求出當(dāng)n=1時(shí),S(1)=N(1)+N(2),S(2)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4),S(3)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(8),S(4)=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(16),根據(jù)值出現(xiàn)的規(guī)律總結(jié)一般規(guī)律,然后可求.
三、解答題:本大題共6小題,共75分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
16.(本題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù)f(x)=sin ωxcos ωx+cos2ωx+1(ω>0)的最小正周期為π.
(1)求ω的值;
(2)求當(dāng)x∈(0,]時(shí)f(x)的值域.
【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式;三角函數(shù)的最值.C4 C6
【答案解析】(1) ω=2. (2)
解析:(1)f(x)=sin ωxcos ωx++1=sin 2ωx+cos 2ωx+
=sin+.
∵ω>0,∴T==π,∴ω=2. (6分)
(2)由(1)得:f(x)=sin+., ∵00,b>0),定點(diǎn)A(c是雙曲線(xiàn)的半焦距),雙曲線(xiàn)虛軸的下端點(diǎn)為B.過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F(c,0)作垂直于x軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)P,若點(diǎn)D滿(mǎn)足2=+(O為原點(diǎn)),且A、B、D三點(diǎn)共線(xiàn).
(1)求雙曲線(xiàn)的離心率;
(2)若a=2,過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)的左、右支于M、N兩點(diǎn),
且△OMN的面積S△OMN=2,求l的方程.
【知識(shí)點(diǎn)】直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系;雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì).H6 H8
【答案解析】(1) (2) y=x-1.
解析:(1)∵B(0,-b),A,易求得P.
∵2=+,即D為線(xiàn)段FP的中點(diǎn),∴D. (3分)
又A、B、D共線(xiàn).而=,=,
∴(-b)=,得a=2b, (5分)
∴e====. (6分)
(2)∵a=2,而e=,∴b2=1,
故雙曲線(xiàn)的方程為-y2=1.① (7分)
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-1),設(shè)l的方程為y=kx-1,②
②代入①得(1-4k2)x2+8kx-8=0,
由題意得:,得:k2<. (9分)
設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),
則x1+x2=.
而S△OMN=|OB|(|x1|+|x2|)=|x1-x2|=
===2, (11分)
整理得24k4-11k2+1=0,解得:k2=或k2=(舍去).
∴所求l的方程為y=x-1. (13分)
【思路點(diǎn)撥】(1) 欲求雙曲線(xiàn)的離心率,只需找到含a,c的齊次式,由已知,易求P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)2=+ (O為原點(diǎn)),可判斷D點(diǎn)為FP的中點(diǎn),再根據(jù)
已知可找到a,b的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為含a,c的等式,即可求出離心率e的值.
(2)當(dāng)a=2時(shí),根據(jù)(1)中所求離心率,可求出b的值,進(jìn)而求出雙曲線(xiàn)方程,根據(jù)直線(xiàn)MN過(guò)B點(diǎn),設(shè)出直線(xiàn)MN的方程,與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立,解出x1+x2,x1x2,△OMN被y軸分成兩個(gè)三角形,分別求出面積,再相加,即為△OMN的面積,讓其等于題目中所給的值,可得到關(guān)于直線(xiàn)l的斜率k的方程,解出k即可.
【題文】21.(本題滿(mǎn)分13分)
設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為an(橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)).
(1)n=2時(shí),先在平面直角坐標(biāo)系中作出區(qū)域D2,再求a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,試證明:對(duì)任意n∈N*
恒有++…+<成立.
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和;不等式的證明.D2 E7
【答案解析】(1)25 (2) 10n+5. (3)見(jiàn)解析
解析: (1)D2如圖中陰影部分所示,
∵在48的矩形區(qū)域內(nèi)有59個(gè)整點(diǎn),對(duì)角線(xiàn)上有5個(gè)整點(diǎn),
∴a2==25. (3分)
(另解:a2=1+3+5+7+9=25)
(2)直線(xiàn)y=nx與x=4交于點(diǎn)P(4,4n),
據(jù)題意有an==10n+5. (6分)
(另解:an=1+(n+1)+(2n+1)+(3n+1)+(4n+1)=10n+5)
(3)Sn=5n(n+2). (8分)
∵==<,
∴++…+<++…+ (11分)
=
=<. (13分)
【思路點(diǎn)撥】(1) 根據(jù)已知條件畫(huà)出圖形即可;(2) 借助于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可;(3)先利用裂項(xiàng)相消法,再結(jié)合放縮法即可.
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