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2019-2020年高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)檢測題
一、重點(diǎn)知識(shí)梳理:
1.函數(shù)的性質(zhì)以及圖象
2.函數(shù)、方程與不等式之間的關(guān)系
3.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義
(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性
(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與最值
二:典型例題
例1.函數(shù)f(x)=x2+ax+3-a,對(duì)于任意的x∈[-2,2]總有f(x)≥0成立,求a的取值范圍.
例2.已知函數(shù)f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然數(shù)的底數(shù),a∈R.
(1)當(dāng)a<0時(shí),解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)在[-1,1]上是單調(diào)增函數(shù),求a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=0時(shí),求整數(shù)k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.
例3.已知函數(shù)f(x)=x(x-a)2,g(x)=-x2+(a-1)x+a(其中a為常數(shù)).
(1)如果函數(shù)y=f(x)和y=g(x)有相同的極值點(diǎn),求a的值;
(2)設(shè)a>0,問是否存在x0∈,使得f(x0)>g(x0),若存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)記函數(shù)H(x)=[f(x)-1][g(x)-1],若函數(shù)y=H(x)有5個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
三、鞏固練習(xí)
1.已知函數(shù)f(x)=-x3+x2,g(x)=aln x,a∈R.
(1)若對(duì)任意x∈[1,e],都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范圍;
(2)設(shè)F(x)=若P是曲線y=F(x)上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn),在曲線y=F(x)上總存在另一點(diǎn)Q,使得∠POQ為鈍角,且PQ的中點(diǎn)在y軸上,求a的取值范圍.
2.已知函數(shù)f(x)=x2-aln x,g(x)=bx-+2,其中a,b∈R且ab=2.函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),函數(shù)g(x)在上是增函數(shù).
(1)求函數(shù)f(x),g(x)的表達(dá)式;
(2)若不等式f(x)≥mg(x)對(duì)x∈恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)-x的最小值,并證明當(dāng)n∈N*,n≥2時(shí)f(n)+g(n)>3.
3.已知f(x)為R上的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ln(x+2).
(1)當(dāng)x<0時(shí),求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)m∈R時(shí),試比較f(m-1)與f(3-m)的大?。?
(3)求最小的整數(shù)m(m≥-2),使得存在實(shí)數(shù)t,對(duì)任意的x∈[m,10],都有f(x+t)≤2ln|x+3|.
課后作業(yè)
1.對(duì)正整數(shù)n,設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式是________________________.
2.不等式ax≤在x∈[0,3]內(nèi)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍________.
3.若f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是減函數(shù),則a的取值范圍是________.
4.將函數(shù)y=-(x∈[0,2])的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(θ為銳角),若所得曲線仍是一個(gè)函數(shù)的圖象,則θ的最大值為________.
5.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(2)=3,且f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)滿足f′(x)-1<0,則不等式f(x2)
1)有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則a的取值范圍為________.
9.已知函數(shù)f(x)=x2+2ax+1(a∈R),f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(1)若x∈[-2,-1],不等式f(x)≤f′(x)恒成立,求a的取值范圍;
(2)解關(guān)于x的方程f(x)=|f′(x)|;
(3)設(shè)函數(shù)g(x)=求g(x)在x∈[2,4]時(shí)的最小值.
10.已知函數(shù)f(x)=x4+ax3+bx2+c,在y軸上的截距為-5,在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,在[1,2]上單調(diào)遞減,又當(dāng)x=0,x=2時(shí)取得極小值.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)能否找到函數(shù)f(x)垂直于x軸的對(duì)稱軸,并證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)使關(guān)于x的方程f(x)=λ2x2-5恰有三個(gè)不同實(shí)根的實(shí)數(shù)λ的取值范圍為集合A,且兩個(gè)非零實(shí)根為x1,x2.試問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|對(duì)任意
t∈[-3,3], λ∈A恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
答案
二:典型例題
1.[解] 法一:設(shè)f(x)的最小值為g(a),則只需要g(a)≥0.
(1)當(dāng)-<-2,即a>4時(shí),g(a)=f(-2)=7-3a≥0,得a≤,又a>4,故不存在;
(2)當(dāng)-∈[-2,2],即-4≤a≤4時(shí),g(a)=f=3-a-≥0,得-6≤a≤2,又-4≤a≤4,故-4≤a≤2;
(3)當(dāng)->2,即a<-4,g(a)=f(2)=7+a≥0,
得a≥-7,又a<-4,故-7≤a<-4.
綜上所述a的取值范圍為[-7,2].
法二:原題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為x2+3≥(1-x)a對(duì)于任意的x∈[-2,2]恒成立.
(1)若1-x=0即x=1時(shí),顯然成立,此時(shí)a∈R.
(2)若1-x>0即-2≤x<1,不等式a≤恒成立,設(shè)g(x)=,利用求導(dǎo)的方法得到g(x)min=2,得到a≤2,
(3)若1-x<0即10,所以不等式f(x)>0,
即ax2+x>0.
又因?yàn)閍<0,所以不等式可化為x<0.
所以不等式f(x)>0的解集為.
(2)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex
=[ax2+(2a+1)x+1]ex,
①當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào),故a=0符合要求;
②當(dāng)a≠0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,
因?yàn)棣ぃ?2a+1)2-4a=4a2+1>0,
所以g(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,
不妨設(shè)x1>x2,
因此f(x)有極大值又有極小值.
若a>0,因?yàn)間(-1)g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)內(nèi)有極值點(diǎn),故f(x)在[-1,1]上不單調(diào).
若a<0,可知x1>0>x2.
因?yàn)間(0)=1>0,且g(x)的圖象開口向下,要使f(x)在[-1,1]上單調(diào),
則必須滿足即所以-≤a<0.綜上可知,a的取值范圍是.
(3)當(dāng)a=0時(shí), 方程為xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解.
所以原方程等價(jià)于ex--1=0,令h(x)=ex--1,
因?yàn)閔′(x)=ex+>0對(duì)于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,
所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù),
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3-<0,h(-2)=e-2>0,
所以方程f(x)=x+2有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且分別在區(qū)間[1,2]和[-3,-2]上.
所以整數(shù)k的所有值為-3,1.
3.[解] (1)f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,
則f′(x)=3x2-4ax+a2=(3x-a)(x-a),
令f′(x)=0,得x=a或x=,而g(x)在x=處有極大值,
所以=a?a=-1,或=?a=3.
綜上a=3或a=-1.
(2)假設(shè)存在x∈,使得
f(x)-g(x)=x(x-a)2-[-x2+(a-1)x+a]
=x(x-a)2+(x-a)(x+1)
=(x-a)[x2+(1-a)x+1]>0,
當(dāng)x∈時(shí),又a>0,故x-a<0,則存在x∈,使得x2+(1-a)x+1<0,
1當(dāng)>,即a>3時(shí),2+(1-a)+1<0,得a>3或a<-,故a>3;
2當(dāng)-1≤≤,即03,故a無解;
綜上a的取值范圍為(3,+∞).
(3)據(jù)題意有f(x)-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根,g(x)-1=0有2個(gè)不同的實(shí)根,且這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等.
①g(x)-1=0有2個(gè)不同的實(shí)根,只需滿足g>1?a>1或a<-3;
②f(x)-1=0有3個(gè)不同的實(shí)根,
1當(dāng)>a即a<0時(shí),f(x)在x=a處取得極大值,而f(a)=0,不符合題意,舍去;
2當(dāng)=a即a=0時(shí),不符合題意,舍去;
3當(dāng)0時(shí),f(x)在x=處取得極大值,
f>1?a>,所以a>.
因?yàn)棰佗谝瑫r(shí)滿足,故a>.
下證:這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等,
即證:不存在x0使得f(x0)-1=0和g(x0)-1=0同時(shí)成立.
假設(shè)存在x0使得f(x0)=g(x0)=1,
由f(x0)=g(x0),
即x0(x0-a)2=-x+(a-1)x0+a,
得(x0-a)(x-ax0+x0+1)=0.
當(dāng)x0=a時(shí),f(x0)=g(x0)=0,不符合題意,舍去;
所以x0≠a,即x-ax0+x0+1=0.①
又g(x0)=1,即-x+(a-1)x0+a=1.②聯(lián)立①②式,可得a=0,而當(dāng)a=0時(shí),不滿足a>,故舍去,所以這5個(gè)實(shí)根兩兩不相等.
綜上,當(dāng)a>時(shí),函數(shù)y=H(x)有5個(gè)不同的零點(diǎn).
4、 鞏固練習(xí)
1. 解:(1)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-ln x)a≤x2-2x.
由于x∈[1,e],ln x≤1≤x,且等號(hào)不能同時(shí)取得,
所以ln x0.
從而a≤恒成立,a≤min.
設(shè)t(x)=,x∈[1,e].
求導(dǎo),得t′(x)=.
x∈[1,e],x-1≥0,ln x≤1,x+2-2ln x>0,
從而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上為增函數(shù).
所以t(x)min=t(1)=-1,所以a≤-1.
(2)F(x)=
設(shè)P(t,F(xiàn)(t))為曲線y=F(x)上的任意一點(diǎn).
假設(shè)曲線y=F(x)上存在一點(diǎn)Q(-t,F(xiàn)(-t)),使∠POQ為鈍角,則<0.
①若t≤-1,P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t)),
=-t2+aln(-t)(-t3+t2).
由于<0恒成立,a(1-t)ln(-t)<1.
當(dāng)t=-1時(shí),a(1-t)ln(-t)<1恒成立.
當(dāng)t<-1時(shí),a<恒成立.
由于>0,所以a≤0.
②若-10對(duì)-10,g=>0,且函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),函數(shù)g(x)在上是增函數(shù).所以x∈時(shí),f(x)>0,g(x)>0,∴m≤.
由條件得min===,∴m≤.
(3)h′(x)=2+
=(-1),
當(dāng)x>0時(shí),+>0,
則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h′(x)>0.
故h(x)在x∈(0,1)遞減,在x∈(1,+∞)遞增.
所以h(x)min=h(1)=,即h(x)的最小值為.
當(dāng)n≥2時(shí),h(n)≥h(2)=7-2ln 2-=3+(2-ln 4)+(2-)>3,即h(n)>3.
所以n∈N*,n≥2時(shí)f(n)+g(n)=h(n)+>3+>3成立.
3.解:(1)當(dāng)x<0時(shí),f(x)=f(-x)=ln(-x+2).
(2)當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=ln(x+2)單調(diào)遞增,而f(x)是偶函數(shù),所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.
所以f(m-1)>f(3-m)?|m-1|>|3-m|
?(m-1)2>(3-m)2?m>2.
所以當(dāng)m>2時(shí),f(m-1)>f(3-m) ;
當(dāng)m=2時(shí),f(m-1)=f(3-m);
當(dāng)m<2時(shí),f(m-1)1時(shí),|x+a|=1+a,
所以x=1或x=-(1+2a).
(3)因?yàn)閒(x)-f′(x)=(x-1)[x-(1-2a)],
g(x)=
①若a≥-,則x∈[2,4]時(shí),f(x)≥f′(x),
所以g(x)=f′(x)=2x+2a.
從而g(x)的最小值為g(2)=2a+4;
②若a<-,則x∈[2,4]時(shí),f(x)0,且x1x2=4-λ2≠0.
∴λ≠0,-2,2.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|對(duì)任意t∈[-3,3], λ∈A恒成立.
∵|x1-x2|==2|λ|>0,
要使m2+tm+2≤|x1-x2|對(duì)任意t∈[-3,3], λ∈A恒成立,只要m2+tm+2≤0對(duì)任意t∈[-3,3] 恒成立,令g(t)=tm +m2+2 , 則g(t)是關(guān)于t的線性函數(shù).
∴只要解得
∴不存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|對(duì)任意t∈[-3,3], λ∈A恒成立.
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