區(qū)域海洋模式中的開邊界問題

18、時(shí)間序列給于了關(guān)注.其結(jié)果表明相速度c（y, 〃接近于白噪聲?因此?從這個(gè)意義上來說（5）式的計(jì) 算方法值得深究。 Blayo等⑹認(rèn)為出現(xiàn)這種情形的基本原因在 于.Sommerfeld條件只有當(dāng)用干常相速度的波動(dòng)方 程時(shí)才是怡當(dāng)?shù)?而對(duì)于海洋和大氣模式采用的 5方程?盡管本質(zhì)上是雙曲型的，但是當(dāng)忽略擴(kuò)散頊 的影響之后?計(jì)算結(jié)果與原始方程已有較大的誤差, 從而在海洋或大氣模式中采用此類條件結(jié)果并不理 想。 上述提到的輻射邊界條件只考慮了正交于邊界 方向的情形.Raymond等加在1984年提出了二維 的情形?同時(shí)考慮邊界切線和法線方向的運(yùn)動(dòng)?方程 為： Q 0 / 心 dt (3

19、/ 3x)2 + / dy)2 … 令777話令7顧分別為平行于和垂 直于邊界方向的相速度。Raymond等認(rèn)為這樣計(jì)算 相速度會(huì)更為準(zhǔn)確?但是.Barnier等認(rèn)為考慮平行 于邊界方向的相速度有可能導(dǎo)致計(jì)算的不穩(wěn)定。 總體說來?輻射邊界條件得到了很廣泛的應(yīng)用， 但是?單獨(dú)地使用輻射邊界條件并不足以得到滿意 的模擬結(jié)果?這是因?yàn)閮H僅能處理外傳的波并不足 以成為好的邊界條件⑷.因?yàn)樵谡鎸?shí)的邊界處還需 要考慮入流的情形:而在模式的實(shí)際應(yīng)用中?輻射邊 界條件往往和松弛邊界條件一起使用方能得到較為 滿意的結(jié)果。 3松弛方案 在擁有觀測(cè)資料的情況下?松弛方案是比較簡 單也比較有效的開邊界方法

20、。簡單來說松弛方案也 就是把一個(gè)牛頓阻尼項(xiàng)加到邊界附近的控制方程 中?在距邊界一定的范圍內(nèi)?阻尼方程的解向給定的 氣候值恢復(fù)?構(gòu)成一個(gè)“海綿”層。在設(shè)定邊界條件 時(shí)?需給定適當(dāng)?shù)淖枘釙r(shí)間尺度和海綿層的寬度戶）。 一般而言?即使能夠獲得觀測(cè)資料也往往不直 接使用狄利克雷邊界條件?即直接將觀測(cè)值賦給積 分變量?因?yàn)檫吔缟系挠^測(cè)值可能與模式內(nèi)部的解 不連續(xù)?從而導(dǎo)致計(jì)算的不穩(wěn)定?進(jìn)而影響模擬結(jié) 果。根據(jù)松弛系數(shù)的不同形式?松弛方案一般分為 線性松弛方案和指數(shù)松弛方案⑴旳0 如同前文已經(jīng)提到過的?在真實(shí)的邊界處發(fā)生 著出流和入流?單獨(dú)地使用松弛方案或者輻射方案 都不能準(zhǔn)確地表示邊界上的特征。Bla

21、yo等1回認(rèn) 為?一個(gè)有效的開邊界條件需要遵循兩個(gè)原則：（1）反 映出流特征；（2）與觀測(cè)資料的一致性。因此?將輻 6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述 EV/EWS 114 海洋科學(xué)/ 2009年/第33卷/第6期 6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述 EV/EWS

22、 6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述 EV/EWS 6 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述 EV/EWS Marine Sciences/ Vol. 33 .No. 6/ 2009 115 * 1994-2010 China Academic J

23、ournal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述 EV/EWS (I 射邊界條件和松弛方案結(jié)合起來使用是個(gè)不錯(cuò)的選 擇?即當(dāng)邊界上為出流時(shí)采用輻射邊界條件，入流時(shí) 采用松弛方案；Treguicr等在文獻(xiàn)［15 ］中稱此為混 合開邊界方法(mixed open boundary algorithm) ?而 Marchesiello等則在文獻(xiàn)［33 ］中稱此種方法為自適 應(yīng)方法(adaptive algorithm) 0 4 Stevens開邊界方法 Stevens1251在1991年提出了一個(gè)新

24、的開邊界方 法?這里同樣考慮出流和入流的不同情形。當(dāng)邊界 上為入流時(shí)，可將邊界值取為氣候值，同前面一樣, 為了消除邊界處和模式區(qū)域內(nèi)部的不連續(xù)而采用松 弛的方法?以使得邊界上的值隨著積分的進(jìn)行向著 觀測(cè)資料趨近?其方程為： 其中?山如前文的定義為邊界處給定的氣候值資 料」/a為恢復(fù)系數(shù)。 當(dāng)邊界上為出流時(shí)?邊界上不使用強(qiáng)迫，區(qū)域內(nèi) 產(chǎn)生的波動(dòng)可以傳向區(qū)域外?并且在邊界處無反射? 從而不影響區(qū)域內(nèi)的解.采用的方程為: K 氓+AW 上式中衛(wèi)為地球赤道半徑.為緯度；應(yīng)和/U為垂 向和水平擴(kuò)散系數(shù)?右端二、三頂分別為垂直擴(kuò)散和 水平擴(kuò)散H為相速度?利用上一時(shí)刻的計(jì)算值由 下面的公式反

25、算出來： 并規(guī)定c的取值與輻射邊界條件中的計(jì)算相同。 可以看出.Stevens的方法一方面區(qū)分了出流和 入流的情形?而另一方面是對(duì)原始方程很好的近似， 不僅考慮了內(nèi)波向外的輻射，還考慮了正交于邊界 方向的平流輸送以及各方向的湍流擴(kuò)散?因此?從方 程本身來說比輻射方案更為準(zhǔn)確。 Stevens37^ 1990年首次提出此開邊界方法并 將其用到GFDL的海洋模式中?隨后又用于一個(gè)高 分辨率南極模式(FRAM , Fine Resolution Antarctic Model)中3 ,Stevens等陽則將其用于模擬伊比利 亞陸架海流的模式中?發(fā)現(xiàn)采用該開邊界條件可以 得到較好的結(jié)果;趙亮等心

26、⑼將此方法用于北太平 洋模式的研究?將一個(gè)閉邊界海盆尺度環(huán)流模式改 造成開邊界模式.對(duì)20S以北太平洋大尺度環(huán)流進(jìn) 行了系統(tǒng)模擬?成功模擬了北太平洋環(huán)流以及被動(dòng) 示蹤物CFCso  5 Gill開邊界方法 如前文的敘述，就目前的研究來看?混合邊界條 件?即區(qū)別對(duì)待出流和入流的情形?是最符合海洋模 式中開邊界的真實(shí)情形的開邊界方法，但是混合邊 界的使用依賴于觀測(cè)資料的準(zhǔn)確性：只是?對(duì)于廣袤 的海洋和具體研究的問題?在涉及到的特定開邊界 上?常常未必能夠得到可使用的資料。這時(shí)候.邊界 的處理是一個(gè)問題.特別是在需要長時(shí)間積分的問 題中?邊界造成的影響因?yàn)殚L時(shí)間的累積而更加不 可忽視旳0

27、不同于Stevens125所采用的近似方法.最初應(yīng)用 于熱帶區(qū)域海洋的G11方案在對(duì)示蹤物的處理時(shí) 基于以下兩個(gè)假設(shè):一是示蹤物能夠自由穿過邊界， 特別是熱量需要能夠從邊界傳出?以防止熱帶海洋 模式中溫度的過快増長:二是模式區(qū)域內(nèi)部計(jì)算得 到的示蹤物濃度到外部區(qū)域的氣候值資料能有光滑 的過度.以防止不連續(xù)給模式計(jì)算的穩(wěn)定性帶來影 響。 這里具體介紹一下該方法。其基本思路在于將 邊界附近的區(qū)域近似看成是邊界層?從而控制方程 可以筒化為垂正交干邊界方向上的平流項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng) 的平衡： 顯然?這里可以采用常微分方程的解法即可以得到 方程的解為： (y) = n + (II) 其中c為任意常數(shù)

28、?從而這里求解的關(guān)鍵在于兩 個(gè)常數(shù)的取值如何盡量與實(shí)際相符合。對(duì)于出流和 入流的情形，作者分別考慮方程(10)式的不同形式 的解： 出流時(shí),v<0.考慮的解為： (y) = ( o - oo) e + 8 (12) 其中，。為邊界上的溫度，?丫為模式區(qū)域內(nèi)距離邊 界y處的溫度，8為遠(yuǎn)離邊界處的溫度(和選取的邊 界層的寬度有關(guān))，=晉為邊界層的寬度；o.... 00均為模擬值。 為了使得邊界上模擬值向氣候值的光滑過渡, 采用如下的方法： 其中 為松弛系數(shù)。因此?同前文中的方法一樣，邊 界上的數(shù)值不是直接等于氣候值資料，而是向其逼 近?逼近速度的快慢由參數(shù) 控制?這也反映數(shù)據(jù)強(qiáng) M

29、arine Sciences/ Vol. 33 .No. 6/ 2009 116 * 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, D研究綜述 EV/EWS 迫的強(qiáng)度：由（12）及（13）兩式即可得到： ext ? （ 1/ ） oo 八八 0= 1-（1/ ） （⑷ 若》??那么邊界上的。向給定的數(shù)據(jù)趨近。 入流時(shí)八＞0 .考慮方程（10）的平凡解? = 0, 亦即X。這是作者最初采用的方法。 這與前文與到的處理方法不盡相同?將開邊界 附近近似

30、看成是一個(gè)邊界層?這里假設(shè)^-=0.并且 僅考慮正交于邊界的方向上的平流和擴(kuò)散的平衡, 對(duì)于近似方程的求解則可以用常微分方程的方法? 從而即使不依賴于觀測(cè)的資料.也可以得到邊界上 的值;這或許給開邊界問題的處理提供了一個(gè)新的 途徑:但是.該方法只考慮邊界法線方向上的平流和 擴(kuò)散是否過于筒單?可不可以同時(shí)考慮平行于邊界 方向的平流和擴(kuò)散?這些都還是需要思考的問題0 該方法除了文默［40］的介紹之外?還沒有看到更多 的應(yīng)用以及與其他方法的比較，因此，其效果的好壞 還不確切地知道?或許有賴干更多的研究。 6小結(jié) 開邊界問題是個(gè)相對(duì)古老的問題?因此長久以 來有著很多的研究?各種開邊界處理方法也不斷

31、被 提出和應(yīng)用，但是對(duì)于開邊界條件的好壞往往并無 明確的結(jié)論,最好的、普適的開邊界條件更是無處可 尋?因?yàn)檫@往往依賴于具體的模式和問題。一般說 來?數(shù)學(xué)模型只能是物理模型的近似描述?因此只有 當(dāng)數(shù)學(xué)模型接近真實(shí)的物理現(xiàn)象時(shí)?實(shí)驗(yàn)才能反映 物理現(xiàn)象本身。從而?在海洋模式中對(duì)邊界條件的 處理是否符合實(shí)際開邊界的特征是開邊界提法正確 與否的關(guān)鍵。 如文獻(xiàn)［2.3］所說.處理N?S方程的開邊界問題 需要考慮其適定性?但是.正因如此?設(shè)計(jì)合理的開 邊界處理方法才顯得更為重要。從前文所述可知. 邊界條件有兩重涵義：（1）用來說明所研究海域的邊 界所具有的特定狀態(tài).與初始條件一起構(gòu)成模式的 定解條件?從而

32、使模式的求解能夠得到結(jié)合實(shí)際的 解；（2）描述所關(guān)注的海域與其周SI環(huán)墳之間的相互 作用關(guān)系?即物質(zhì)和能量的交換。 海洋科學(xué)/ 2009年/第33卷/第6期 從這個(gè)意義上來說?開邊界的設(shè)計(jì)不能脫離 S方程而獨(dú)立提出?也正是因?yàn)檫@一點(diǎn).輻射邊界條 件盡管在波動(dòng)問題中表現(xiàn)良好而在海洋模式中卻不 如人意?尤其是相速度在表現(xiàn)上是噪聲?未能反映出 開邊界的真實(shí)特征。從而Blayo等（⑹指出?邊界條 件應(yīng)滿足兩點(diǎn)：內(nèi)部信息的外傳?和外部數(shù)據(jù)的輸 116 入?以分別表征出流和入流的情形。 現(xiàn)在廣為使用的混臺(tái)邊界條件正是從出流和入 流的不同來分別采取輻射和松弛的處理方法?但是, 這有一個(gè)前提?那就是觀

33、測(cè)數(shù)據(jù)的存在。對(duì)于廣闊 的海洋，現(xiàn)有的觀測(cè)是相對(duì)稀少而缺乏的，因此，當(dāng) 沒有觀測(cè)數(shù)據(jù)可用的時(shí)候?邊界上為入流時(shí)又該如 何處理.特別是在長時(shí)間的積分問題中？ G11的方案 可能給我們某種提示?把邊界附近當(dāng)成是一個(gè)邊界 層或許是有效的方法。但是?該方案在提出之后鮮 有應(yīng)用，因此和其他方案的比較相對(duì)的優(yōu)點(diǎn)和不足 現(xiàn)在也還知之甚少。不論如何?盡管該方法如前文 所說的在理論上就有著不足?但是其效果還有待于 實(shí)際的模擬研究來評(píng)價(jià)。 |1 ] Haidvogel D B . Beckmann A?海洋環(huán)流數(shù)值模擬 IMJ.王東曉?宏浪.蔡樹群?等譯.北京：氣象出版 社■ 2005. 245-246. [

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