2019-2020年高考數(shù)學(xué)備考試題庫 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 文（含解析）.DOC

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)備考試題庫 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 文（含解析） 1. (xx安徽，5分)過點P (－，－1)的直線l 與圓 x2＋y2＝1有公共點，則直線 l的傾斜角的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　法一：設(shè)直線l的傾斜角為θ，數(shù)形結(jié)合可知：θmin＝0，θmax＝2＝. 法二：因為直線l與x2＋y2＝1有公共點，所以設(shè)l：y＋1＝k(x＋)，即l：kx－y＋k－1＝0，則圓心(0,0)到直線l的距離≤1，得k2－k≤0，即0≤k≤，故直線l的傾斜角的取值范圍是. 2.(xx新課標(biāo)全國Ⅱ，5分)設(shè)點M(x0,1)，若在圓 O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45，則x0的取值范圍是(　　) A．[－1,1] B. C．[－，] D. 解析：選A　當(dāng)點M的坐標(biāo)為(1,1)時，圓上存在點N(1,0)，使得∠OMN＝45，所以x0＝1符合題意，故排除B，D；當(dāng)點M的坐標(biāo)為(，1)時，OM＝，過點M作圓O的一條切線MN′，連接ON′，則在Rt△OMN′中，sin∠OMN′＝<，則∠OMN′<45，故此時在圓O上不存在點N，使得∠OMN＝45，即x0＝不符合題意，排除C，故選A. 3．(xx浙江，5分)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 解析：選B　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，圓心C(－1,1)，半徑r滿足r2＝2－a，則圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離 d＝＝，所以r2＝4＋2＝2－a?a＝－4. 4．(xx江蘇，5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________． 解析：因為圓心(2，－1)到直線x＋2y－3＝0的距離d＝＝，所以直線x＋2y－3＝0被圓截得的弦長為2＝. 答案： 5．(xx重慶，5分)已知直線x－y＋a＝0與圓心為C的圓x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B兩點，且AC⊥BC，則實數(shù)a的值為________． 解析：圓C∶x2＋y2＋2x－4y－4＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圓心為C(－1,2)，半徑為3.因為AC⊥BC，所以圓心C到直線x－y＋a＝0的距離為，即＝，所以a＝0或6. 答案：0或6 6．(xx江蘇，16分) 如圖，為保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設(shè)立一個圓形保護(hù)區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓．且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m．經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60 m處，點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝. (1)求新橋BC的長； (2)當(dāng)OM多長時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？ 解：法一：(1)如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 由條件知A(0,60)，C(170,0)， 直線BC的斜率kBC＝ －tan∠BCO＝－. 又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率kAB＝. 設(shè)點B的坐標(biāo)為(a，b)， 則kBC＝＝－，kAB＝＝. 解得a＝80，b＝120. 所以BC＝＝150. 因此新橋BC的長是150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM＝d m(0≤d≤60)． 由條件知，直線BC的方程為y＝－(x－170)， 即4x＋3y－680＝0. 由于圓M與直線BC相切，故點M(0，d)到直線BC的距離是r， 即r＝＝. 因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m， 所以即 解得10≤d≤35. 故當(dāng)d＝10時，r＝最大，即圓面積最大． 所以當(dāng)OM＝10 m時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大． 法二：(1)如圖，延長OA，CB交于點F. 因為tan∠FCO＝， 所以sin∠FCO＝，cos∠FCO＝. 因為OA＝60，OC＝170， 所以O(shè)F＝OCtan∠FCO＝， CF＝＝. 從而AF＝OF－OA＝. 因為OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝. 又因為AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝， 從而BC＝CF－BF＝150. 因此新橋BC的長是150 m. (2)設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)． 因為OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝，所以r＝. 因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m， 所以即 解得10≤d≤35. 故當(dāng)d＝10時，r＝最大，即圓面積最大． 所以當(dāng)OM＝10 m時，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大． 7．(xx北京，5分)已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點A(－m,0)，B(m，0) (m>0)．若圓C 上存在點P，使得 ∠APB＝90，則 m的最大值為(　　) A．7 B．6 C．5 D．4 解析：選B　根據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示，則圓心C的坐標(biāo)為(3,4)，半徑r＝1，且|AB|＝2m，因為∠APB＝90，連接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.要求m的最大值，即求圓C上的點P到原點O的最大距離．因為|OC|＝＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值為6. 8.(xx湖南，4分)若圓C1：x2＋y2＝1 與圓 C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則 m＝(　　) A．21 B．19 C．9 D．－11 解析：選C　圓C1的圓心是原點(0,0)，半徑r1＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圓心C2(3,4)，半徑r2＝，由兩圓相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋＝5，所以m＝9. 9．（xx安徽，5分）直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為(　　) A．1　　　　　　 B．2 C．4 D. 4 解析：本題主要考查直線與圓的相交弦長問題，意在考查考生的運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想． 依題意，圓的圓心為(1,2)，半徑r＝，圓心到直線的距離d＝＝1，所以結(jié)合圖形可知弦長的一半為 ＝2，故弦長為4. 答案：C 10．（xx陜西，5分）已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 解析：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系以及點到直線的距離公式的應(yīng)用．由點M在圓外，得a2＋b2＞1，∴圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝＜1，則直線與圓O相交． 答案：B　 11．（xx重慶，5分）設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 解析：本題主要考查直線與圓的相關(guān)內(nèi)容．|PQ|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑．因為圓的圓心為(3，－1)，半徑為2，所以|PQ|的最小值d＝3－(－3)－2＝4. 答案：B　 12．（xx山東，4分）過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________． 解析：本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算能力．最短弦為過點(3,1)，且垂直于點(3,1)與圓心的連線的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦長為2＝2＝2. 答案：2 13．（xx四川，13分）已知圓C的方程為x2＋(y－4)2＝4，點O是坐標(biāo)原點．直線l：y＝kx與圓C交于M，N兩點． (1)求k的取值范圍； (2)設(shè)Q(m，n)是線段MN上的點，且＝＋.請將n表示為m的函數(shù)． 解：本題主要考查直線、圓、函數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，并考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性． (1) 將y＝kx代入x2＋(y－4)2＝4中，得 (1＋k2)x2－8kx＋12＝0.(*) 由Δ＝(－8k)2－4(1＋k2)12＞0，得k2＞3. 所以，k的取值范圍是(－∞，－)∪(，＋∞)． (2)因為M，N在直線l上，可設(shè)點M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1)，(x2，kx2)，則|OM|2＝(1＋k2)x，|ON|2＝(1＋k2)x. 又|OQ|2＝m2＋n2＝(1＋k2)m2. 由＝＋，得 ＝＋， 即＝＋＝. 由(*)式可知，x1＋x2＝，x1x2＝， 所以m2＝. 因為點Q在直線y＝kx上，所以k＝，代入m2＝中并化簡，得5n2－3m2＝36. 由m2＝及k2＞3，可知0＜m2＜3， 即m∈(－，0)∪(0，)． 根據(jù)題意，點Q在圓C內(nèi)，則n＞0， 所以n＝ ＝. 于是，n與m的函數(shù)關(guān)系為 n＝(m∈(－，0)∪(0，))． 14．（xx新課標(biāo)全國Ⅰ，12分）已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C. (1)求C的方程； (2)l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當(dāng)圓P的半徑最長時，求|AB|. 解：本題是一道解析幾何綜合問題，涉及直線、圓、橢圓等，覆蓋面廣，需要學(xué)生基礎(chǔ)扎實、全面，有較強(qiáng)的分析能力和計算能力． 由已知得圓M的圓心為M(－1,0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1,0)，半徑r2＝3. 設(shè)圓P的圓心為P(x，y)半徑為R. (1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，所以 |PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)． (2)對于曲線C上任意一點P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時，R＝2. 所以當(dāng)圓P的半徑最長時，其方程為(x－2)2＋y2＝4. 若l的傾斜角為90，則l與y軸重合，可得|AB|＝2. 若l的傾斜角不為90，由r1≠R知l不平行于x軸，設(shè)l與x軸的交點為Q，則＝，可求得Q(－4,0)，所以可設(shè)l：y＝k(x＋4)．由l與圓M相切得＝1，解得k＝. 當(dāng)k＝時，將y＝x＋代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0， 解得x1,2＝.所以|AB|＝ |x2－x1|＝. 當(dāng)k＝－時，由圖形的對稱性可知|AB|＝. 綜上，|AB|＝2或|AB|＝. 15．（xx廣東，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x＋4y－5＝0與圓x2＋y2＝4相交于A、B兩點，則弦AB的長等于(　　) A．3 B．2 C. D．1 解析：圓x2＋y2＝4的圓心(0,0)到直線3x＋4y－5＝0的距離d＝1，圓的半徑為2，所以弦長|AB|＝2＝2. 答案：B 16．（xx安徽，5分）若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－3，－1] B．[－1,3] C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析：欲使直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點，只需使圓心到直線的距離小于等于圓的半徑即可，即≤，化簡得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1. 答案：C 17．（xx福建，5分）直線x＋y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，則弦AB的長度等于(　　) A．2 B．2 C. D．1 解析：圓心(0,0)到直線x＋y－2＝0的距離為1，所以AB＝2＝2. 答案：B 18．（xx陜西，5分）已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則(　　) A．l與C相交 B．l與C相切 C．l與C相離 D．以上三個選項均有可能 解析：把點(3,0)代入圓的方程的左側(cè)得32＋0－43＝－3<0，故點(3,0)在圓的內(nèi)部，所以過點(3,0)的直線l與圓C相交． 答案：A 19．（xx北京，5分）直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________． 解析：圓心(0,2)到直線y＝x的距離為d＝＝，圓的半徑為2，所以所求弦長為2＝2. 答案：2 20．（xx江西，5分）過直線x＋y－2＝0上點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點P的坐標(biāo)是________． 解析：∵點P在直線x＋y－2＝0上，∴可設(shè)點P(x0，－x0＋2)，且其中一個切點為M.∵兩條切線的夾角為60，∴∠OPM＝30.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由兩點間的距離公式得OP＝ ＝2，解得x0＝.故點P的坐標(biāo)是(，)． 答案：(，) 21．（xx山東，5分）圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為(　　) A．內(nèi)切　　　　　　　　　　　 B．相交 C．外切 D．相離 解析：兩圓的圓心距離為，兩圓的半徑之差為1、之和為5，而1<<5，所以兩圓相交． 答案：B 22．（2011安徽，5分）若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為(　　) A．－1　　 B．1 C．3　　 D．－3 解析：圓的方程可變?yōu)?x＋1)2＋(y－2)2＝5，因為直線經(jīng)過圓的圓心，所以3(－1)＋2＋a＝0，即a＝1. 答案：B 23．(2011新課標(biāo)全國，12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上． (1)求圓C的方程； (2)若圓C與直線x－y＋a＝0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值． 解：(1)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(3＋2，0)，(3－2，0)． 故可設(shè)圓C的圓心為(3，t)， 則有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 則圓C的半徑為＝3. 則以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐標(biāo)滿足方程組： . 消去y，得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 由已知可得，判別式Δ＝56－16a－4a2>0. 從而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.① 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0，又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.② 由①，②得a＝－1，滿足Δ>0，故a＝－1. 24．（2011廣東，5分）設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則C的圓心軌跡為(　　) A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓 解析：設(shè)圓心C(x，y)，由題意得＝y(tǒng)＋1(y＞0)，化簡得x2＝8y－8. 答案：A