2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前指導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)練習(xí)題.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)考前指導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)練習(xí)題 題目1：已知（），（）. （Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性，給出你的結(jié)論； （Ⅱ）設(shè)，討論函數(shù)的圖象與直線（）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)； （Ⅲ）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，在時(shí)，（），求證：. 變式：求證：（）. 解：（Ⅰ）求導(dǎo)，由得. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. 所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線（）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于曲線與直線 （）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù). 令，則，所以. 當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù). 所以，在上的最大值為， 且，. 如圖：于是 ① 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線（）有2個(gè)公共點(diǎn)； ② 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線（）有1個(gè)公共點(diǎn)； ③ 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線（）有0個(gè)公共點(diǎn). （Ⅲ）由題意，正項(xiàng)數(shù)列滿足：， 由（Ⅰ）知：，即有不等式（） 由已知條件知，， 故，所以當(dāng)時(shí)，，，，，，以上格式相乘得: ，又，故，即，對也成立.所以有（）（）. 理科生此題也可用數(shù)學(xué)歸納法證明,證明如下： 當(dāng)時(shí)，，即（）成立； 假設(shè)時(shí)，成立， 那么，當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知：，即有不等式（） 于是， 即有也成立，綜上可知（）式成立. 變式的證明如下： 由，得，所以有 ， 即（）. 說明：此題是一道函數(shù)、數(shù)列與不等式的綜合問題，共設(shè)置三問，難易梯度明顯.第問（Ⅰ）考查基本函數(shù)的單調(diào)性，比較簡單；第（Ⅱ）問在考查函數(shù)單調(diào)性的同時(shí)，還重點(diǎn)考查了函數(shù)的圖象，滲透數(shù)形結(jié)合思想，由于解決時(shí)要將原問題“討論函數(shù)的圖象與直線（）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”轉(zhuǎn)化為“討論曲線與直線 （）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”，這一轉(zhuǎn)化有一定的思維難度，因此難度明顯大于第（Ⅰ）問；第（Ⅲ）問考查數(shù)列與不等式，證明數(shù)列與不等式時(shí)，代數(shù)變形的難度較大，其變形的目的性不好把控，是真正的壓軸點(diǎn)所在. 題目的來源與發(fā)展：此題的第（Ⅲ）問用了第（Ⅰ）問的更深一步的結(jié)論，也是一個(gè)常遇到的結(jié)論：對于，不等式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，從圖象上看就是直線是對數(shù)函數(shù)在處的切線，且除了切點(diǎn)外，對數(shù)函數(shù)的圖象恒在直線圖象的下方，其關(guān)系如圖： 1 1 因此我們就有這樣的結(jié)論：直線（）與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有0個(gè)公共點(diǎn). 這么看，第（Ⅱ）問與第（Ⅰ）也有淵源，因?yàn)椤霸O(shè)，討論函數(shù)的圖象與直線（）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)”就是等價(jià)于研究“方程（）解的個(gè)數(shù)”，我們對方程作變形處理得，即，若令，，即有，這樣問題就回歸到直線（）與函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的問題上. 這么看，本題的第（Ⅱ）（Ⅲ）兩問，都是在簡單的第（Ⅰ）問的基礎(chǔ)上向前發(fā)展起來的。 對于直線與也有類似的結(jié)論. 題目2：已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)） （Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）是否存在正實(shí)數(shù)使得，若存在求出，否則說明理由； （Ⅲ）若存在不等實(shí)數(shù)，使得，證明：. 解：（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為. （Ⅱ）不存在正實(shí)數(shù)使得成立. 事實(shí)上，由（Ⅰ）知函數(shù)在上遞增，而當(dāng)，有，在上遞減，有，因此，若存在正實(shí)數(shù)使得，必有. 令，則，因?yàn)?，所以，所以為上的增函?shù)，所以，即，故不存在正實(shí)數(shù)使得成立. （Ⅲ）若存在不等實(shí)數(shù)，使得，則和中，必有一個(gè)在，另一個(gè)在，不妨設(shè)，. ①若，則，由（Ⅰ）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以； ②若，由（Ⅱ）知：當(dāng)，則有，而 所以，即 而，由（Ⅰ）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即有，由（Ⅰ）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以； 綜合①，②得：若存在不等實(shí)數(shù)，使得，則總有. 說明：由軸對稱函數(shù)的性質(zhì)啟發(fā)命制該題，將函數(shù)的單調(diào)性，方程的根、導(dǎo)函數(shù)，不等式知識融為一體，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，分析問題，解決問題的能力。分步設(shè)問，逐層遞進(jìn)，敘述簡潔，具有較高的區(qū)分度。 題目的來源與發(fā)展：（1）其實(shí)本題也來源于直線與的關(guān)系.因?yàn)椋?，則得，則轉(zhuǎn)化為直線與的關(guān)系； （2）若函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則有；因此軸對稱函數(shù)一定會(huì)有函數(shù)值相等的點(diǎn)，但有函數(shù)值相等的點(diǎn)，未必有對稱軸，本題第（Ⅱ）（Ⅲ）問就是基于弄清楚這一點(diǎn)來命制的，因此掌握概念的本質(zhì)是關(guān)鍵.