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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 解三角形課時(shí)檢測(cè)
第1講 正弦定理和余弦定理
1.(xx年上海)在△ABC中,若sin2A+sin2B
b,則∠B=( )
A. B. C. D.
4. (xx年安徽)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=( )
A. B.
C. D.
5.(xx年重慶)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a=1,b=2,cosC=,則sinB=________.
6.(xx年陜西)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,若a=2,B=,c=2 ,則b=________.
7.(xx年安徽)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,則下列命題正確的是________.
①若ab>c2,則C<;
②若a+b>2c,則C<;
③若a3+b3=c3,則C<;
④若(a+b)c<2ab,則C>;
⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,則C>.
8.(xx年安徽)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,且有2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC.
(1)求角A的大??;
(2)若b=2,c=1,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),求AD的長(zhǎng).
9.(xx年大綱)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,其對(duì)邊a,b,c滿足2b2=3ac,求A的大?。?
10.(xx年浙江)在銳角三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2asinB=b.
(1)求角A的大??;
(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面積.
第2講 解三角形應(yīng)用舉例
1.某人向正東方向走x km后,向右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好 km,那么x的值為( )
A. B.2
C.2 或 D.3
2.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20的方向,燈塔B在觀察站C的南偏東40的方向,則燈塔A與燈塔B的距離為( )km.( )
A.a(chǎn) B.a C.2a D.a
3.(xx年湖南)在△ABC中,若AC=,BC=2,B=60,則BC邊上的高等于( )
A. B.
C. D.
4.如圖K721,一艘海輪從A處出發(fā),以40海里/時(shí)的速度沿東偏南50方向直線航行,30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是( )
圖K721
A.10 海里 B.10 海里
C.20 海里 D.20 海里
5.有一長(zhǎng)為1的斜坡,它的傾斜角為20,現(xiàn)高不變,將傾斜角改為10,則斜坡長(zhǎng)為( )
A.1 B.2sin10
C.2cos10 D.cos20
6.(xx年四川)如圖K722,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)BA至E,使AE=1,連接EC,ED,則sin∠CED=( )
圖K722
A. B. C. D.
7.(xx年湖北)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若三邊的長(zhǎng)為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù),且A>B>C,3b=20acosA,則sinA∶sinB∶sinC=( )
A.4∶3∶2 B.5∶6∶7
C.5∶4∶3 D.6∶5∶4
8.(xx年福建)已知△ABC的三邊長(zhǎng)成公比為的等比數(shù)列,則其最大角的余弦值為_________.
9.如圖K723,甲船以30 海里/時(shí)的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時(shí),乙船位于甲船的北偏西105方向的B1處,此時(shí)兩船相距20海里;當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時(shí),乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2處,此時(shí)兩船相距10 海里.問(wèn):乙船的速度是多少海里/時(shí)?
圖K723
10.(xx年重慶)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且a2=b2+c2+ab.
(1)求A;
(2)設(shè)a=,S為△ABC的面積,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此時(shí)B的值.
第七章 解三角形
第1講 正弦定理和余弦定理
1.A 解析:由正弦定理,得a2+b2b,A>B, 所以B=.
4.B 解析:b+c=2a,==,a=b,c=b,
cosC====-,C=π.
5. 解析:由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=1+4-212=4,則c=2,即B=C,故sinB==.
6.2 解析:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=4,∴b=2.
7.①②③ 解析:①ab>c2?cosC=>=?C<.
②a+b>2c?cosC==>≥?C<.
③當(dāng)C≥時(shí),c2≥a2+b2?c3≥a2c+b2c>a3+b3與a3+b3=c3矛盾.
④取a=b=2,c=1滿足(a+b)c<2ab,得C<.
⑤取a=b=2,c=1滿足(a2+b2)c2<2a2b2,得C<.
8.解:(1)A+C=π-B,A,B∈(0,π)?sin(A+C)=sinB>0,
2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB?cosA=?A=.
(2)a2=b2+c2-2bccosA?a=?b2=a2+c2?B=.
在Rt△ABD中,AD===.
9.解:由A,B,C成等差數(shù)列,得2B=A+C,而A+B+C=π,故3B=π?B=,且C=-A.
∵2b2=3ac,∴2sin2B=3sinAsinC?2sin2=3sinsinA.
∴2=3sinA?cosAsinA+sin2A=1?sin2A+=1?sin=,
由00,∴c=3.
設(shè)BC邊上的高為h,由三角形的面積公式得
S△ABC=ABBCsinB=BCh.
即32sin60=2h,解得h=.
4.A 解析:在△ABC中,∠BAC=30,∠ABC=105,AB=20,∠ACB=45.
由正弦定理,得=,解得BC=10 .故選A.
5.C 解析:如圖D62,BD=1,∠DBC=20,∠DAC=10.
圖D62
在△ABD中,由正弦定理,得=.
解得AD=2cos10.
6.B 解析:EB=EA+AB=2,
EC===,
∠EDC=∠EDA+∠ADC=+=.
由正弦定理,得=
則sin∠CED=sin135=.
7.D 解析:∵a,b,c為連續(xù)的三個(gè)正整數(shù),且A>B>C,可得a>b>c,∴a=c+2,b=c+1.?、?
又∵3b=20acosA.∴cosA=.?、?
由余弦定理,得cosA=.?、?
由②③,得=,?、?
聯(lián)立①④,得7c2-13c-60=0,解得c=4或c=-(舍去).
∴由正弦定理得sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=6∶5∶4.故選D.
8.- 解析:設(shè)最小邊長(zhǎng)為a,則另兩邊長(zhǎng)為a,2a.
故最大角的余弦cosα==-.
9.解:如圖D63,連接A1B2,A2B2=10 ,
圖D63
A1A2=30 =10 ,∴A1A2=A2B2.
又∠A1A2B2=180-120=60,
∴A1B2=A1A2=10 .A1B1=20,
∠B1A1B2=105-60=45.
在△A1B2B1中,由余弦定理,得
B1B=A1B+A1B-2A1B1A1B2cos45
=202+(10 )2-22010 =200,
∴B1B2=10 .
因此,乙船的速度為60=30 (海里/時(shí)).
10.解:(1)由余弦定理,得cosA===-,
∵A為三角形的內(nèi)角,∴A=.
(2)由(1)得sinA=,
由正弦定理,得b=,csinA=asinC及a=,
∴S=bcsinA=asinC=3sinBsinC,
則S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C),
則當(dāng)B-C=0,即當(dāng)B=C==時(shí),S+3cosBcosC取最大值為3.
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