2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第8章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理(含解析)新人教版.doc
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2019年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第8章 第7節(jié) 立體幾何中的向量方法課時(shí)跟蹤檢測(cè) 理(含解析)新人教版 1.如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,這條斜線與平面所成的角是( ) A. B. C. D. 解析:選D ∵cos〈a,b〉==且〈a,b〉∈(0,π), ∴〈a,b〉=. 2.在正方形ABCDA1B1C1D1中,M、N分別為棱AA1和BB1的中點(diǎn),則 sin〈,〉的值為( ) A. B. C. D. 解析:選B 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA所在直線為x軸, DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可知=(2,-2,1),=(2,2,-1),cos〈,〉=-, sin〈,〉=.故選B. 3.(xx汕頭調(diào)研) 如圖,在四面體ABCD中,AB=1,AD=2,BC=3,CD=2,∠ABC=∠DCB=,則二面角ABCD的大小為( ) A. B. C. D. 解析:選B 依題意可知,二面角ABCD的大小等于與所成角的大?。撸剑?,∴=+++2||||cos〈,〉,即12=1+4+9+22 cos〈,〉,∴cos〈,〉=-,∴與所成的角為,所以二面角ABCD的大小為.故選B. 4.如圖所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1,E、F分別是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,則EF和CD所成的角是( ) A.60 B.45 C.30 D.90 解析:選B 以D為原點(diǎn),分別以射線DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則D(0,0,0),C(0,1,0),E,F(xiàn), =,=(0,1,0), ∴cos〈,〉==-, ∴〈,〉=135, ∴異面直線EF和CD所成的角是45.故選B. 5.(xx西安模擬)已知三棱錐SABC中,底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,SA⊥底面ABC,SA=3,那么直線AB與平面SBC所成的角的正弦值為( ) A. B. C. D. 解析:選D 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則B(2,0,0),A(0,0,0),S(0,0,3),C(1,,0) 設(shè)平面SBC的法向量為n=(x,y,z), 由 得,令x=3, 則n=(3,,2). 又=(2,0,0) 設(shè)直線AB與平面SBC所成角為θ,則 sin θ=|cos〈,n〉|===.故選D. 6.(xx金華十校聯(lián)考)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1DCC1的大小為60,則AD的長(zhǎng)為( ) A. B. C.2 D. 解析:選A 如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).設(shè)AD=a,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2).設(shè)平面B1CD的法向量為m=(x,y,z). 由, 得,令z=-1,則m=(a,1,-1). 又平面C1DC的一個(gè)法向量為n=(0,1,0), 則由 cos 60=,得=,解得a=, 所以AD=.故選A. 7.設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是________. 解析: 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),B(2,2,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2). 設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z). 則由 得,令x=1,則n=(1,-1,-1). 又=(0,0,2). 所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d===. 8.(xx福州質(zhì)檢)在三棱柱ABCA1B1C1中,底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,點(diǎn)D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1C1C的夾角為α,則 sin α的值為________. 解析: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,易知點(diǎn)D,平面AA1C1C的一個(gè)法向量是n=(1,0,0),所以cos〈n,〉==,所以sin α=. 9.(xx昆明模擬)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為________. 解析: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)DA=1,由已知條件得,A(1,0,0),E,F(xiàn), =,=.設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),平面AEF與平面ABC所成的二面角為θ, 由,得. 令y=1,則n=(-1,1,-3). 又平面ABC的一個(gè)法向量為m=(0,0,-1), 則 cos θ=|cos〈n,m〉|=,所以tan θ=. 10.(xx湖南高考)如圖,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90,AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3. (1)求證:AC⊥B1D; (2)求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值. (1)證明:易知,AB,AD,AA1兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=t,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為:A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3). 從而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0). 因?yàn)锳C⊥BD,所以=-t2+3+0=0.解得t=或t=-(舍去). 于是=(-,3,-3),=(,1,0). 因?yàn)椋剑?+3+0=0, 所以⊥,即AC⊥B1D. (2)解:由(1)知,=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面ACD1的一個(gè)法向量, 由得, 令x=1,則n=(1,-,). 設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ,則 sin θ=|cos〈n,〉|===. 所以直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. 11.(xx東營(yíng)模擬)如圖,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在BC,AD上,且E為BC的中點(diǎn),EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使二面角AEFD等于60?. (1)設(shè)P為AD的中點(diǎn),求證:CP∥平面ABEF; (2)求直線AF與平面ACD所成角的正弦值. (1)證明:取AF的中點(diǎn)Q,連QE,QP,則QP綊DF.又DF=4,EC=2,且DF∥EC, 所以PQ綊EC,所以四邊形PQEC為平行四邊形, 所以CP∥QE.又QE?平面ABEF,CP?平面ABEF, 所以CP∥平面ABEF. (2)解:由題知折疊后仍有EF⊥AF,EF⊥FD,則EF⊥平面AFD. ∴∠AFD為二面角AEFD的平面角,所以∠AFD=60?. 過A作AO⊥FD于O,又AO⊥EF, ∴AO⊥平面CDFE. 作OG∥EF交EC于G,則OG⊥FD,AO⊥OG, 分別以O(shè)G,OD,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 在Rt△AOF中,AF=2,∠AFO=60?,則FO=1,OA=, ∴F(0,-1,0),A (0,0,),D(0,3,0),C(2,1,0), ∴=(0,-1,-),=(0,3,-),(-2,2,0), 設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n=(x,y,z), 由得, 令z=,則n=(1,1,). 設(shè)直線AF與平面ACD所成的角為θ, 則sin θ=|cos〈n,〉|==, 即直線AF與平面ACD所成角的正弦值為. 12.(xx北京高考)如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5, (1)求證:AA1⊥平面ABC; (2)求二面角A1BC1B1的余弦值; (3)求證:在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,并求的值. (1)證明:因?yàn)锳A1C1C為正方形,所以AA1⊥AC. 因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,且AA1⊥AC,所以AA1⊥平面ABC. (2)解:由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB. 由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4). 設(shè)平面A1BC1的法向量為n=(x,y,z), 則得, 令z=3,則x=0,y=4,所以n=(0,4,3). 同理可得平面B1BC1的法向量為m=(3,4,0). 所以 cos〈n,m〉==. 由圖形知二面角A1BC1B1為銳角, 所以二面角A1BC1B1的余弦值為. (3)證明:設(shè)D(x,y,z)是直線BC1上一點(diǎn),且=λ, 所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4). 解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ. 所以=(4λ,3-3λ,4λ). 由=0,得9-25λ=0,解得λ=. 因?yàn)椤蔥0,1],所以在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B,此時(shí),=λ=. 1.(xx唐山調(diào)研)如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿對(duì)角線BD將△ABD折起,使A點(diǎn)在平面BCD內(nèi)的射影O落在BC邊上,若二面角CABD的大小為θ,則 sin θ=( ) A. B. C. D. 解析:選A 由可求得BO=,OC=,AO=,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則C,B,A,D, 故=(4,3,0),=. 設(shè)m=(x,y,z)是平面ABD的法向量,則,令z=-3,則m=.又=(0,3,0)是平面ABC的一個(gè)法向量,∴cos〈m,〉==-=-.∴sin θ= =.故選A. 2.如圖,三棱錐ABCD中,E是BC的中點(diǎn),DB=4,DC=2,BD⊥DC,AB=AD=2,AE⊥平面BCD,二面角ABDC的大小為60?.則直線AC與平面ABD所成角的正弦值為________. 解析: 取BD的中點(diǎn)M,連接ME,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Mxyz,則A(0,1,),B(2,0,0),D(-2,0,0),C(-2,2,0),故=(2,-1,-),=(-2,-1,-),=(-2,1,-).設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),則,令 z=1,得n=(0,-,1),設(shè)直線AC與平面ABD所成的角為θ,則 sin θ==,所以直線AC與平面ABD所成角的正弦值為. 3.(xx東北三校聯(lián)考)如圖,三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱AA1⊥底面ABC,∠ACB=90?,E是棱CC1上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是AB的中點(diǎn),AC=1,BC=2,AA1=4. (1)當(dāng)E是棱CC1的中點(diǎn)時(shí),求證:CF∥平面AEB1; (2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角AEB1B的余弦值是?若存在,求CE的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說明理由. 解:(1)取AB1的中點(diǎn)G,連EG、FG. ∵F,G分別是棱AB,AB1的中點(diǎn), ∴FG∥BB1,F(xiàn)G=BB1, 又EC∥BB1,EC=CC1=BB1, ∴FG∥EC,F(xiàn)G=EC, ∴四邊形FGEC是平行四邊形, ∴CF∥EG. ∵CF?平面AEB1,EG?平面AEB1, ∴CF∥平面AEB1. (2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,4). 設(shè)E(0,0,m)(0≤m≤4),平面AEB1的法向量n1=(x,y,z). =(-1,2,4),=(-1,0,m). 由⊥n1,⊥n1, 得解得. 令z=2,則n1=(2m,m-4,2). ∵CA⊥平面C1CBB1, ∴是平面EBB1的一個(gè)法向量,令n2==(1,0,0), ∵二面角AEB1B的余弦值為, ∴cos〈n1,n2〉===, 解得m=1滿足0≤m≤4. ∴在棱CC1上存在點(diǎn)E,符合題意,此時(shí)CE=1. 4.(xx衡水一中模擬)如圖,在三棱錐PABC中,PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2. (1)求證:平面ABC⊥平面APC; (2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值; (3)若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上,二面角MPAC的余弦值為,求B點(diǎn)到AM的最小值. (1)證明:取AC中點(diǎn)O,因?yàn)锳P=CP,所以O(shè)P⊥OC.由已知易得三角形ABC為直角三角形,∴OA=OB=OC,△POA≌△POB≌△POC,∴OP⊥OB, ∴OP⊥平面ABC,又OP?平面PAC, ∴平面ABC⊥平面APC. (2)解:以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2), ∴=(-2,2,0),=(2,0,-2),=(0,2,2). 設(shè)平面PBC的法向量n1=(x,y,z), 由得, 令x=,則n1=(,,1),∴cos〈,n1〉=. ∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為. (3)解:由題意平面PAC的法向量n2==(2,0,0), 設(shè)平面PAM的法向量為n3=(x,y,z),M(m,n,0). ∵=(0,2,2),=(m,n+2,0), 由得. 令z=1,則n3=, ∴cos〈n2,n3〉==, 整理得32=32,∴(n+2)=4m, ∴點(diǎn)M所在的直線方程為4m-n-2=0. ∴B點(diǎn)到AM的距離的最小值為 d===.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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