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2019年高考數(shù)學大一輪復習 第九章 第4講 橢圓訓練 理
一、選擇題
1．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰好將長軸三等分，則此橢圓的方程是( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 依題意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝2a，∴c＝3，
∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴橢圓方程為＋＝1.
答案 A
2．橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為 ( )．
A. B. C. D.－2
解析 因為A，B為左、右頂點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，所以|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c.
又因為|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，
所以(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2.
所以離心率e＝＝，故選B.
答案 B
3．已知橢圓x2＋my2＝1的離心率e∈，則實數(shù)m的取值范圍是 ( )．
A. B.
C.∪ D.∪
解析 橢圓標準方程為x2＋＝1.當m>1時，e2＝1－∈，解得m>；當0
b>0)的兩頂點為A(a,0)，B(0，b)，且左焦點為F，△FAB是以角B為直角的直角三角形，則橢圓的離心率e為( )
A. B.
C. D.
解析 根據(jù)已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的橢圓的離心率為.
答案 B
6．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點，以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為 ( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 因為橢圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝b，y2＝b2，y＝b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點坐標為，所以四邊形的面積為4bb＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1.
答案 D
二、填空題
7．設F1、F2分別是橢圓＋＝1的左、右焦點，P為橢圓上一點，M是F1P的中點，|OM|＝3，則P點到橢圓左焦點的距離為________．
解析 由題意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝25－6＝4.
答案 4
8．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＝11，a2＋a3＋a4＝21，則橢圓C：＋＝1的離心率為________．
解析 由題意，得a4＝10，設公差為d，則a3＋a2＝(10－d)＋(10－2d)＝20－3d＝11，∴d＝3，∴a5＝a4＋d＝13，a6＝a4＋2d＝16>a5，∴e＝＝.
答案
9. 橢圓=1的焦點為F1和F2，點P在橢圓上.如果線段PF1的中點在y軸上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍．
解析 不妨設F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0）由條件得P（3，），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|.
答案 7
10.如圖，∠OFB＝，△ABF的面積為2－，則以OA為長半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為一個焦點的橢圓方程為________．
解析 設標準方程為＋＝1(a>b>0)，
由題可知，|OF|＝c，|OB|＝b，∴|BF|＝a，
∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
S△ABF＝|AF||BO|＝(a－c)b
＝(2b－b)b＝2－，
∴b2＝2，∴b＝，∴a＝2，∴橢圓的方程為＋＝1.
答案 ＋＝1
三、解答題
11．如圖，設P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一點，且|MD|＝|PD|.
(1)當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的長度．
解 (1)設M的坐標為(x，y)，P的坐標為(xP，yP)，
由已知得
∵P在圓上，∴x2＋2＝25，
即C的方程為＋＝1.
(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y＝(x－3)，
設直線與C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，
將直線方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，
即x2－3x－8＝0.
∴x1＝，x2＝.
∴線段AB的長度為|AB|＝
＝
＝ ＝.
12．設F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60，F(xiàn)1到直線l的距離為2.
(1)求橢圓C的焦距；
(2)如果＝2，求橢圓C的方程．
解 (1)設橢圓C的焦距為2c，由已知可得F1到直線l的距離c＝2，故c＝2.
所以橢圓C的焦距為4.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2及l(fā)的傾斜角為60，知y1<0，y2>0，
直線l的方程為y＝(x－2)．
由消去x，
整理得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因為＝2，所以－y1＝2y2，
即＝2，解得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b2＝5.
故橢圓C的方程為＋＝1.
13． 如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知點P(0,1)，Q(0,2)．設M，N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T.求證：點T在橢圓C上．
(1)解 由題意知，b＝＝.
因為離心率e＝＝，所以＝ ＝.
所以a＝2.
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)證明 由題意可設M，N的坐標分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，
則直線PM的方程為y＝x＋1， ①
直線QN的方程為y＝x＋2. ②
法一 聯(lián)立①②解得x＝，y＝，
即T.由＋＝1，可得x＝8－4y.
因為2＋2＝
＝＝＝＝1，
所以點T的坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．
法二 設T(x，y)，聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝.
因為＋＝1，所以2＋2＝1.
整理得＋＝(2y－3)2，
所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1.
所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．
14．如圖，設橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
(1)求該橢圓的離心率和標準方程；
(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使PB2⊥QB2，求直線l的方程．
解 (1) 如圖，設所求橢圓的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)，右焦點為F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形，
又|AB1|＝|AB2|，
故∠B1AB2為直角，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
結合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，
故S△AB1B2＝|B1B2||OA|＝|OB2||OA|＝b＝b2.由題設條件S△AB1B2＝4得b2＝4，從而a2＝5b2＝20.因此所求橢圓的標準方程為：＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的傾斜角不為0，故可設直線l的方程為x＝my－2.代入橢圓方程得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，
因此y1＋y2＝，y1y2＝－，
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，
所以＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16＝－，
由PB2⊥QB2，得＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝2.
所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
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