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1、
北京市師大附中2012屆上學(xué)期高三年級(jí)月考數(shù)學(xué)試卷（文科）
第Ⅰ卷（試題）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 已知表示兩個(gè)不同的平面，m為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2. 設(shè)，則函數(shù)的最小值是（ ）
A. 2 B. C. D. 3
3. 若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積（ ）
A. 2 B. 1
C.
2、 D.
4. 設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（ ）
A.－11 B. －8 C. 5 D. 11
5. 已知，若不等式恒成立，則的最大值等于（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
6. 若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)（ ）
A. B. C. D.
7. 給出如下四個(gè)命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若，且，則；
其中正確的命題是（ ）
A. ①，② B. ①，④ C. ②，③ D. ③，④
8. 等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別為和，對(duì)一切自然數(shù)都有，則
3、
1 / 6
（ ）
A. B. C. D.
9. 已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）
A. B. C. D.
10. 已知函數(shù)，若，則的大小關(guān)系是 （ ）
4、
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）
11. 設(shè)實(shí)數(shù)滿足則的最大值是 。
12. 數(shù)列中，已知，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 。
13. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式 。當(dāng) 時(shí)取得最大值
14. 直三棱柱中，，若各頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積等于 。
15. 已知函數(shù)。項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列滿足，且公差。若，則當(dāng) 時(shí)。
16. 設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公
5、式為，數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)是使得不等式成立的所有中的最大值，則 ，數(shù)列的通項(xiàng)公式 。
三、解答題（本大題共5個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）
17. 已知集合
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求；
（Ⅱ）求；求實(shí)數(shù)的取值范圍。
18. 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，。
（1）求的通項(xiàng)；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。
19. 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：PB⊥平面EFD。
20.
6、已知函數(shù)，其中
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若的最小值為1，求的取值范圍。
21. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有。
（1）求，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；
（2）數(shù)列滿足，且
①求的通項(xiàng)公式；
②當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)不小于2的正整數(shù)恒成立，求的取值范圍。
【試題答案】
一、選擇題
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
B
A
B
A
B
B
D
B
二、填空題
11. 12. 13.
14. 15. 14 16.
三、解答題
17
7、. （Ⅰ）；（Ⅱ）[0，1]
18. 解：（1）時(shí)，，
整理得，，
∴數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，其首項(xiàng)為。
（2）由（1）知，
。
19. 證明：（1）連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)EO。
∵底面ABCD是正方形，
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)。
又∵E是PC的中點(diǎn)
∴在中，EO為中位線
∴PA∥EO。 3分
而EO平面EDB，PA平面EDB，
∴PA∥平面EDB。 6分
（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC。
∵底面ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC，而DE平面PDC，
∴BC⊥D
8、E。① 8分
PD＝DC，E是PC的中點(diǎn)，
∴是等腰三角形，DE⊥PC。② 10分
由①和②得DE⊥平面PBC。
而PB平面PBC，
∴DE⊥PB。 12分
又EF⊥PB且DEEF＝E，
∴PB⊥平面EFD。
20. 解：（Ⅰ），
， 。
①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，的單調(diào)增區(qū)間為。
②當(dāng)時(shí)，
由解得，由解得，
的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為。
（Ⅱ）當(dāng)，由（Ⅰ）①知，的最小值為；
當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）②知，在處取得最小值
，
綜上可知，若得最小值為1，則a的取值范圍是。
21. 解：（1），在R上為減函數(shù)（解法略）
（2）①，由單調(diào)性，故為等差數(shù)列
②，則
是遞增數(shù)列
當(dāng)時(shí)，
，即
而，故的取值范圍是
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