2019-2020年九年級數(shù)學上冊 幾何證明的有力工具——全等三角形學案學案 北師大版.doc

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2019-2020年九年級數(shù)學上冊 幾何證明的有力工具——全等三角形學案學案 北師大版 一、同步輔導：全等三角形 1、 概念理解： 兩個三角形的形狀、大小、都一樣時，其中一個可以經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等運動（或稱變換）使之與另一個重合，這兩個三角形稱為全等三角形，而兩個三角形全等的判定是幾何證明的有力工具。 2、 三角形全等的判定公理及推論有： （1）“邊角邊”簡稱“SAS” 　　（2）“角邊角”簡稱“ASA” 　?。?）“邊邊邊”簡稱“SSS” 　?。?）“角角邊”簡稱“AAS” 　　注意：在全等的判定中，沒有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀?！? 3、 全等三角形的性質(zhì)： 　　全等三角形的對應角相等、對應邊相等。 　　注意： 　　1）性質(zhì)中三角形全等是條件，結(jié)論是對應角、對應邊相等。 　　 　而全等的判定卻剛好相反。 　　2）利用性質(zhì)和判定，學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵。在寫兩個三角形全等時，一定把對應的頂點，角、邊的順序?qū)懸恢?，為找對應邊，角提供方便? 二、例題分析： 例1，如圖△ABC≌△DEF，AB和DE，AC和DF是對應邊，說出對應角 和另一組對應邊。 　　解：∵AB和DE，AC和DF分別為對應邊， 　　　　∴另一組對應邊是BC和EF。 　　　　∴對應角為：∠A和∠D，∠B和∠E，∠ACB和∠DFE 　　 例2，如圖，△ABE≌△ACD，AB=AC，寫出兩個全等三角形的對應角與對應邊，并問圖中是否存在其它的全等三角形。 　　分析：由AB=AC，則AB和AC是對應邊，可找AB的對角∠AEB，AC的對角∠ADC，則∠AEB和∠ADC為對應角。由∠A是這兩個三角形的公共角，它與其自身對應，因而∠A的對邊為BE、DC為對應邊，于是剩下的∠B、∠C是對應角。AE和AD是對應邊。 　　解：對應邊：AB和AC，BE和DC，AE和AD 　　對應角：∠A和∠A、∠B和∠C、∠AEB和∠ADC 　　∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE 　　又由∠B=∠C，∠DFB=∠EFC（對頂角相等）于是構(gòu)成一對全等三角形為△BFD和△CFE?！　? 1、找全等三角形的對應邊，對應角的方法是：　　 （1）若給出對應頂點即可找出對應邊和對應角。 （2）若給出一些對應邊或?qū)?，則按照對應邊所對的角是對應角，反之，對應角所對的邊是對應邊就可找出其他幾組對應邊和對應角。 （3）按照兩對對應邊所夾的角是對應角，兩對對應角所夾的邊是對應邊來準確找出對應角和對應邊。 （4）一般情況下，在兩個全等三角形中，公共邊、公共角、對頂角等往往是對應邊，對應角?！? 2、利用兩個三角形的公共邊或公共角尋找對應關系，推得新的等量元素是尋找兩個三角形全等的重要途徑之一。 如圖（一）中的AD，圖（二）中的BC 都是相應三角形的公共元素。圖（三）中如有BF=CE，利用公有的線段FC就可推出BC=EF。圖（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。 　　 3、三角形全等的判定是這個單元的重點，也是平面幾何的重點 只有掌握好全等三角形的各種判定方法，才能靈活地運用它們學好今后的知識。證明三角形全等有五種方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL為了判定兩個三角形全等，了解和熟悉下面的基本思路很有必要。 　　 ①有兩組對應角相等時；找 　　 ②有兩組對應邊相等時；找 　 ?、塾幸贿叄秽徑窍嗟葧r；找 　　 ④有一邊，一對角相等時；找任一組角相等（AAS） 　　 說明：由以上思路可知兩個三角形的六個元素中、若只有一對對應元素相等，或有兩對對應元素相等，則它們不一定全等。因此要得出兩個三角形全等必須要有三對對應元素相等才有可能成立。若兩個三角形中三對角對應相等，它們只是形狀相同，而大小不一定相等，所以這兩個三角形不一定全等。如下圖（一）因此要判定三角形全等的三對對應元素中，至少有一對是邊。還要注意一個三角形中的兩邊及其中一邊所對的角對應相等，這兩個三角形不一定全等。如圖（二）中，△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B但△ABC和△ABD明顯的不全等。 　　注：全等三角形判定沒有（AAA）和（SSA） 　 例3，如圖，AD=AE，D、E在BC上，BD=CE， 　　 ∠1=∠2，求證：△ABD≌△ACE 　　 分析：已知條件中已經(jīng)給出了AD=AE，BD=CE，要證明△ABD≌△ACE，只需證明AD與BD，AE與EC的夾角相等，根據(jù)SAS，定理就可以得出結(jié)論。 　　 證明：（1） 　　 　　 （2）在△ABD和△ACE中（注意書寫時必須把表示對應頂點的字母寫在對應位置上。） 　　 　　?。?） 　　　　　 （4）∴△ABD≌△ACE（SAS） 　　說明：全等三角形的論證，是研究圖形性質(zhì)的重要工具，是進一步學習平面幾何知識的基礎。 　　因為研究圖形的性質(zhì)時，往往要從研究圖形中的線段相等關系或角的相等關系入手，發(fā)現(xiàn)和論證全等三角形正是研究這些關系的基本方法； 另一方面，論證全等三角形又是訓練推理論證的起始，是培養(yǎng)邏輯推理能力的關鍵的一環(huán)。 　　 三角形全等證明的基本模式是： 　　 題設△1≌△2 　　 具體的可以分為四步基本格式。 　　 （1）證明三角形全等需要有三個條件，三個條件中如有需要預先證明的，應預先證出。 　　 （2）寫出在哪兩個三角形中證明全等。 　　 （3）按順序列出三個條件，用大括號合在一起，并寫出推理的根據(jù)。 　　 （4）寫出結(jié)論。　 　　 例4，已知如圖，AC與BD相交于O,OA=OC， 　　 OB=OD，求證：∠OAB=∠OCD。 　　 分析：從已知條件出發(fā)，可以證出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，由△AOD≌△COB，可得∠1=∠2，∠3=∠4，AD=BC，由△AOB≌△COD可得∠5=∠6，∠7=∠8，AB=CD，這個思路可在下圖列出： 　　 對于簡單的幾何證明題，可以采用這種推理方法，這種方法是由已知推得甲，再由甲推得乙，再由乙推得丙……直至推得結(jié)論。這種方法是“由因?qū)Ч薄Ｈ绻麖囊阎獥l件出發(fā)能推出的結(jié)果較多，要有目的地決定取舍，取與求證有聯(lián)系的，舍去與求證無關的。 　　 證明：在△AOB和△COD中 　　 ∵ 　　 ∴△AOB≌△COD（SAS） 　　∴∠OAB=∠OCD（全等三角形的對應角相等） 　　 例5，已知如圖，AB=AC，∠1=∠2 　　 AD⊥CD，AE⊥BE，求證：AD=AE 　　 分析：AD、AE分別在△ADG和△AEH 　　 中，∠1=∠2，可證出∠D=∠E但少一對邊相等，因此此路不通。AD、AE又分別在△ADC和△AEB中，知道∠D=∠E，AB=AC，又已知∠1=∠2，可以證出∠DAC=∠EAB，所以通過△ADC≌△AEB，得出AD=AE這個思路可用下圖表示： 　　 這種思考過程與例4所分析的思考過程恰好相反，它是從要證明的結(jié)論入手的，利用學過的公理，定理，定義等去推想：要證這個結(jié)論需要具備什么條件？如果這個條件（記作條件甲）已具備了，那么結(jié)論就成立，然后再去推想，如果需要條件甲成立，又需具備什么條件？這樣一步步向上追溯，直到所需要的條件能由已知條件推得為止，這是“執(zhí)果索因”的過程。 　　 這是思考過程，找到思路后，在證明中仍要像以前一樣從已知開始，一步步推出結(jié)論，書寫的表達與這個思考過程正好相反。 　　 證明：∵AD⊥DC，（已知）∴∠D=900（垂直定義） 　　 ∵AE⊥BE（已知）∴∠E=900（垂直定義） 　　 又∵∠1=∠2（已知）∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC（等式性質(zhì)） 　　 即∠DAC=∠EAB 　　 在△ADC和△AEB中 　　 ∵ 　　 ∴△ADC≌△AEB（AAS） 　 　∴AD=AE（全等三角形的對應邊相等） 　　 例6，已知如圖，AB=DC，AD=BC，O是DB的中點，過O點的直線分別與DA和BC的延長線交于E、F，求證：∠E=∠F。 　　 分析：欲證∠E=∠F有兩條思路；一是證明DE//BF，則內(nèi)錯角相等；一是證明∠E和∠F所在的兩個三角形全等。從題中給定的已知條件中∠E、∠F所在的三角形似乎不具備條件，于是考慮證明DE//BF。欲證兩直線平行，常見的方法是考慮兩直線被第三條直線所截得的同位角，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補。此題圖中DE與BF被EF、AB、DC所截成的角只有內(nèi)錯角，故只需證出一組內(nèi)錯角相等即可，據(jù)圖給定的條件不難證明∠DAB=∠BCD，進一步可證原題。 　　 證明：在△ABD和△CDB中 　　 ∵ 　　 ∴△ABD≌△CDB（SSS） 　　 ∴∠1=∠2（全等三角形的對應角相等） 　　 ∴DE//BF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行） 　 　∴∠E=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） 　　例7．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值． 分析一：題目中的條件AB+BD=AC，使用起來不直觀。若延長AB，在延長線上取BM等于BD，則可以得到AB+BD=AM=AC，易于使用，這種方法叫“補短法”，通過補長線段，得到容易使用的相等線段。 　　解：延長AB到M，使BM=BD，連結(jié)DM，則AM=AB+BM=AC，∠1=∠2，AD=AD， 　　 ∴△ADM≌△ADC，∴∠M=∠C 又∵BM=BD，則∠M=∠BDM， ∴∠ABC=2∠M=2∠C，即∠B:∠C=2:1 　　 分析二：還可以在AC上截取AN=AB，就能將條件AB+BD=AC轉(zhuǎn)化為NC=BD。這種方法叫做“截長法”，和第一種方法統(tǒng)稱“截長補短法”，常用于線段之間的關系證明或者條件的利用。 　　另一解：如圖2：在AC上截取AN=AB，由條件易知△ABD≌△AND，則DN=DB 　　 ∠AND=∠B，又AC=AB+BD=AN+NC ∴NC=BD=ND，∴∠C=∠NDC 　　 ∴∠B=∠AND=2∠C ∴∠B:∠C=2:1． 圖（2） 　　 注：此題中，使用了等腰三角形兩底角相等的知識，在小學中大家已學過，在以后還要學習． 三、同步測試 選擇題：A組：　 1． 在ΔABC和ΔDEF中，已知AB=DE，∠B=∠E，增加下面的條件后，還不 能判定ΔABC≌ΔDEF的是（ ） A、BC=EF　　　　　 B、AC=DF C、∠A=∠D　　　D、∠C=∠F 2． 下列四組線段，能組成三角形的是（ ） A、2、2、5　　　　B、3、7、10 　C、3、5、9 　　　D、4、5、7 3． 能判定兩個等腰三角形全等的是（ ） A、底角與頂角對應相等 　　B、底角與底邊對應相等 C、兩腰對應相等　　　 　　D、底對應相等 4． 如圖，O是AC、BD的中點，如果每一對全等三角形為一組，那么，圖中全 等三角形的組數(shù)為（ ） A、1 　　　B、2 　　C、3　　D、4 5． 如圖，BF⊥AC，CE⊥AB，且∠ABC=∠ACB，則可判定ΔBEC≌ΔCFB， 6． 其依據(jù)是（ ） 　A、ASA公理或AAS 　B、SSS公理 　C、SAS公理 　D、三個角相等。 選擇題：B組： 1. 在△ABC中，AB=AC，高BF、CE、AD交于一點O，如圖,全等三角形的對 數(shù)是（ ）。 A、4 　　B、5 　　C、6 　　D、7 2. 如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD證明△ABD≌△EBC 時，應用的方法是（ ）。 A、AAS 　B、SAS 　　C、SSS 　　D、定義 3.如圖，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10,又△ABC≌△ABC，則∠BCA：∠BCB等于（ ） A、1：2　　B、1：3 　　C、2：3 　　D、1：4 參考答案 A組：　　1.B 　2.D 　3.B　 4.D 　5.A B組 ： 　1.D　 2.A 　3.D 講解： 　　1.解：根據(jù)全等三角形的判定方法，有 　　△AOE≌△AOF，△EOB≌△FOC， 　　△BOD≌△COD，△AOB≌△AOC， 　　△ABD≌△ACD，△AEC≌△AFB， 　　△ECB≌△FBC。 　　故本題應選（D）。 　　2.排除（B）、（C）、（D）三種情況，本題應選（A）。 　　3.解： 　　　 ∵∠A：∠B：∠C=3：5：10, 　　　　∠A+∠B+∠C=180， 　　　∴∠A=180=30，∠B=180=50，∠C=180=100， 　　　設∠BCA=x，∠BCB=y， 　　　∵△ABC≌△ABC， 　　　∴∠BCA=∠BCA 　　　∴∠BCA+∠BCB=∠BCA+∠ACA=100 　　　∴x+y=100,∠BCB=∠ACA=y, 　　　　∵A、C、B三點共線， 　　　∴∠BCB+∠BCA+∠ACA=180, 　　　∴x+2y=180 　　　∴ 解得： 　　　∴∠BCA：∠BCB=x：y=1：4。 四、中考解析：全等三角形 1．已知：如圖，OA=OB，OC=OD，AD、BC相交于E，則圖中全等三角形共有（ ） 　　A．2對 B．3對 C．4對 D．5對 　　考點：三角形全等的判定方法有：“SAS”、“ASA”、“SSS”、“AAS”. 考題評析：要特別注意：不能用邊邊角和角角角做依據(jù)判定三角形全等. 答案：C 　　2.如圖，已知AC=BD，要使得ΔABC≌ΔDCB，只需增加的一個條件是________________。 考點：全等三角形的判定 　　 評析：因圖中BC是公共邊，又知AC=DB所以根據(jù)三角形全等的判定方法可以再加AB=DC或∠ACB=∠DBC或AO=DO或BO=CO都可以判定△ABC≌△DCB。 　　答案：AB=DC或∠ACB=∠DBC或AO=DO或BO=CO 3.（ 北京市東城區(qū)）在ΔABC與ΔA′B′C′中，∠A=∠A′，CD和C′D′分別為 AB邊和A′B′邊上的中線，再從以下三個條件： 　?、貯B=A′B′ ②AC=A′C′ ③CD=C′D′ 　　中任取兩個為題設，另一個為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成________個正確的命題。 　　考點：全等三角形的判定及性質(zhì) 　　評析：因△ABC和△A＇B＇C＇中∠A=∠A＇而三個條件AB=A＇B＇，AC=A′C＇，DC=D＇C＇中的兩個作為條件，另一個結(jié)論根據(jù)全等三角形判定公理1，SAS可知AB=A＇B＇，AC=A＇C＇作為條件DC=D＇C＇作為結(jié)論，可以構(gòu)成唯一的一個正確的命題。 　　答案：1 　　4．如圖，已知AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB，求證：△EAD≌△CAB。 　　 考點：全等三角形的判定。 　　 評析：思路，因該題中給了兩條邊對應相等，而又知，∴，根據(jù)SAS可證△EAD≌△CAB。 　　證明：∵∠EAC=∠DAB， 　　 ∴∠EAC+∠CAD=∠DAB+∠CAD. 　　 ∴∠EAD=∠CAB. 　　 又∵AE=AC，AD=AB， 　　 ∴△EAD≌△CAB 五、課外拓展 中國早期的數(shù)學專著《九章算術(shù)》 　　《九章算術(shù)》是我國漢唐之間出現(xiàn)的十部古算術(shù)（《算經(jīng)十書》）中最重要的一種，現(xiàn)傳本成書約為公元1世紀下半葉。《九章算術(shù)》繼承了先秦的數(shù)學成就，漢朝以后又經(jīng)過許多學者的增補刪改，最后才成為現(xiàn)在的版本?！毒耪滤阈g(shù)》的出現(xiàn)標志著我國初等數(shù)學體系的形成。 　　《九章算術(shù)》所以叫“九章”，劉徽為《九章算術(shù)》作注時說：“周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則《九章》是矣?！比珪卜?章，即 　　第一章“方田”：田畝面積計算； 　　第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換； 　　第三章“衰（cuī）分”：比例分配問題； 　　第四章“少廣”：已知面積、體積，求其一邊長或直徑長。主要是解決開平方和開立方問題； 　　第五章“商功”：各種土木工程中所遇到的數(shù)學問題。包括筑城、開渠、糧堆的計算； 　　第六章“均輸”：合理的攤派賦稅； 　　第七章“盈不足”：盈虧問題的解法； 　　第八章“方程”：一次方程組問題； 　　第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問題。 　　《九章算術(shù)》是本問題集，全書共246個數(shù)學問題。它形成了一個以籌算為中心的獨立體系。與古希臘數(shù)學體系，截然不同。就其數(shù)學成就而言，堪稱世界數(shù)學名著。 　　《九章算術(shù)》的數(shù)學成就是多方面的： 　　在算術(shù)方面的主要成就有分數(shù)運算、比例問題和“盈不足”算法。介紹一道“盈不足”問題：“幾個人想共同買一件東西。 如果每人出8元錢， 就多出3元錢；如果每人出7元錢， 還差4元錢。 問一共幾個人？這件東西是多少錢？” 　　《九章算術(shù)》對這類問題給出了一般的解法。我們用現(xiàn)代的數(shù)學符號來寫：設每人出錢a元，最后多出b元；每人出錢c元，最后少了d元。 　　又設人數(shù)為m人，東西的價錢為n元。 　　則 　　m=, n=. 　　把上面的問題用這個公式算一下： 　　m===7（人）， 　　n==53(元)。 　　一共7人，要買的東西是53元。 　　“盈不足”算法是我國古代數(shù)學家的一個創(chuàng)造。中世紀的歐洲把它叫做“雙設法”，意思是需要兩次假設。有人認為它是由中國經(jīng)阿拉伯傳到歐洲去的。 　　幾何方面主要是面積、體積的計算。 　　代數(shù)方面主要有一次方程組的解法、負數(shù)概念的引入及其加減法則、開平方、開立方、一般二次方程的解法。 　　在《九章算術(shù)》中我們才第一次見到了“方程”一詞。在這本書中“方程”是指一次方程組。由于古代是用算籌（一種用竹木和金屬制成的小棍）將方程組的系數(shù)和常數(shù)擺成方陣形式，所以把方程組叫做“方程”?！胺匠獭敝械摹俺獭笔侵赣嬎?，“方”是指用算籌列出的籌式是方形，這才是“方程”一詞的原意。后來演化成把一元的也叫做“方程”。 　　在“方程”章中，還有世界上最早的不定方程。數(shù)學上把未知數(shù)的個數(shù)多于方程的個數(shù)，這樣的方程叫做“不定方程”。 　　《九章算術(shù)》中關于方程的成果，比世界其他國家和地區(qū)的同類成果要早很多年。