線性代數(shù)試題及答案

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- 1 -（試卷一）一、 填空題（本題總計 20 分，每小題 2分）1. 排列 7623451 的逆序數(shù)是 15 。_2. 若 ，則 3 121?a?160321a3. 已知 階矩陣 、 和 滿足 ，其中 為nABCEAB?E階單位矩陣，則 。n ??14. 若 為 矩陣，則非齊次線性方程組nm?有唯一解的充分要條件是AXb?R(A)=R(A,b)=n_5.設(shè) 為 的矩陣，已知它的秩為 4，則以86?為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間A維數(shù)為__2___________。6. 設(shè) A 為三階可逆陣， ，則 ????????12301A?*A7.若 A 為 矩陣，則齊次線性方程組nm?有非零解的充分必要條件是 R（A） ＜ 0x?n - 2 -8.已知五階行列式 ，則12345015432?D0 ???4543241AA9. 向量 的模（范數(shù)） 。?(,12)T? _10.若 與 正交，則 1??k??T1???k1-2k+1=0二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2分）1. 向量組 線性相關(guān)且秩為 s，則(D)r?,,21?Ａ． 　　　　 Ｂ．sr? r?Ｃ． 　　　　　　　Ｄ．s? s?2. 若 A 為三階 方陣，且，則 (A)043,02, ????EEA?Ａ． 　　　　　　　　　?。拢? 8?Ｃ． 　　　　　　　　Ｄ．3 343．設(shè)向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則( D )Ａ． 　　?。拢?(RB? )(ARB?- 3 -Ｃ． 　　　　?。模?(ARB? )(ARB?4. 設(shè) 階矩陣 的行列式等于 ，則 等n D???k于 。C_)(A?k)(B?Akn )(C??Akn1D5. 設(shè) 階矩陣 ， 和 ，則下列說法正確的nAC是 B 。_則 ,則 或)(AC?B?)(B0?A0)(TTB)(D2)(B??三、計算題（本題總計 60 分。1-3 每小題8 分 ,4-7 每小題 9 分）1. 計算 階行列式 。n221??D232??????? 1?n?222．設(shè) A 為三階矩陣， 為 A 的伴隨矩陣，*且 ，求 .1?*A)3(1?3．求矩陣的逆- 4 -120A????????4. 討論 為何值時，非齊次線性方程組?21231x???????① 有唯一解； ②有無窮多解； ③無解。5. 求下非齊次線性方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和此方程組的通解。??????521341x6.已知向量組 、 、??T201????T?、 、 ，求此??T313???944 15向量組的一個最大無關(guān)組，并把其余向量用該最大無關(guān)組線性表示．7. 求矩陣 的特征值和特征向量．????????20134A四、證明題（本題總計 10 分）設(shè) 為 的一個解， 為對應(yīng)?bAX???0?12,nr??? ?齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系，證明線性無關(guān)。12,,nr??? ?- 5 -（答案一）一、填空題（本題總計 20 分，每小題 2 分）1~15； 2、3； 3、 ；4、 ；5、2；6、CA??nbAR?),(；7、 ；8、0；9、3；10、1。.二、選??????1302??nR?擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B三、計算題（本題總計 60 分，1-3 每小題 8 分，4-7 他每小題 9 分）1、 解： -----D),43(2niri???021???????? 032?n?2-3 分-------6 分12r?00?21???????? 032?n?2----------8 分)!()2(321)( ??????n?（此題的方法不唯一，可以酌情給分。 ）- 6 -解：（1） ------1 分?????????????????????12412312AB------5????????????260???????402分（2） ------???????????????17602395132BA ????????16287--8 分3. 設(shè) A 為三階矩陣， 為 A 的伴隨矩陣，且 ，* 2?A求 . 因 A＝ ，故 3 分 *2)3(1?*E21?41??n*5 分 *1??A8 分2716434232)3(1 ??????????? ***4、解： ---3 分??????101),(EA132r????????100---6 分23r???????20)(32??r ??????21故 -------8 分 （利用?????????11A公式求得結(jié)果也正確。 ）???A1- 7 -5、解； ???????21),(?bA13r?????????32210??2r?---------3 分?????????)()(2012?（1）唯一解： ------3,?bAR21???且5 分（2）無窮多解： --------7),()??分（3）無解： --------9),()bAR?2??分 （利用其他方法求得結(jié)果也正確。 ）6、解： --------3 分???????520113),(bA? ?? r ???????003152基礎(chǔ)解系為 ， -----??????24321x ???????012?????????102?6 分令 ，得一特解： ---7 分 ??????3524321x043?x ????????035?故原方程組的通解為：，其中 ---9 分（此題結(jié)?????????????????102035121 kk?? Rk?21,果表示不唯一，只要正確可以給分。 ）- 8 -7、解：特征方程 從而21043()12AE??????(4 分)123,1??當(dāng) 時，由 得基礎(chǔ)解系 ，即對應(yīng)于1(20AEX??1(0,)T??的全部特征向量為 (7 分)2?? 1k?(0)?當(dāng) 時，由 得基礎(chǔ)解系 ，即對應(yīng)3() 2(,1T?于 的全部特征向量為 21 2k()四、證明題（本題總計 10 分）證： 由 為對應(yīng)齊次線性方程組 的基礎(chǔ)12,nr??? ? 0?AX解系，則 線性無關(guān)。(3 分)12,nr? ?反證法：設(shè) 線性相關(guān)，則 可由12,,nr???? ? ?線性表示，即： (6 分)12,nr??? ? r?????1因齊次線性方程組解的線性組合還是齊次線性方程組解，故 必是 的解。這與已知條件 為?0?AX ?bAX?的一個解相矛盾。(9 分 ). 有上可知，??0?b線性無關(guān)。(10 分)12,,nr???? ?(試卷二)一、填空題（本題總計 20 分，每小題 - 9 -2 分）1. 排列 6573412 的逆序數(shù)是 ．2.函數(shù) 中 的系數(shù)是 ．()fx?21x?3x3．設(shè)三階方陣 A 的行列式 ,則 = A/3 3A?*1()?．4．n 元齊次線性方程組 AX=0 有非零解的充要條件是 R（A）＜n ．5．設(shè)向量 ， = 正交，則 -2 (1,2)T???????????2???．6．三階方陣 A 的特征值為 1， ，2，則 ?A＝-2 ．7. 設(shè) ，則 .1203????????_??8. 設(shè) 為 的矩陣，已知它的秩為 4，則A86?以 為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組的解空間維數(shù)為__2___________．9．設(shè) A 為 n 階方陣，且 2 則 A＝ 1*()3A???．21n）（ －- 10 -10．已知 相似于 ，則 2031Ax????????12By?????????x， ．?y二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分）1. 設(shè) n 階矩陣 A 的行列式等于 ，則 等DA－ 5于 A ．(A) (B)-5 (C) 5 (5)nD? D(D) 1()n2. 階方陣 與對角矩陣相似的充分必要條A件是 .(A) 矩陣 有 個線性無關(guān)的特征向n量(B) 矩陣 有 個特征值A(chǔ)(C) 矩陣 的行列式 0A?(D) 矩陣 的特征方程沒有重根3．A 為 矩陣，則非齊次線性方程組mn?有唯一解的充要條件是 C ．Xb?(A) (B)(,)RAb?- 11 -()RAm?(C) (D)(),)RAbn?(),)bn??4.設(shè)向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則( D )(A)． 　　　 (B)．)(RB?)(ARB?(C)． 　　　 　(D)．)(A?)(?5. 向量組 線性相關(guān)且秩為 r，則 12,,s??B ．(A) (B) (C) rs?rs?rs?(D) s?三、計算題（本題總計 60 分，每小題 10 分）1. 計算 n 階行列式: .221??D232??????? 1?n?222．已知矩陣方程 ，求矩陣 ,其中AX??X- 12 -.2013A???????3. 設(shè) 階方陣 滿足 ,證明 可逆，nA042??EA3AE?并求 .1(3)E?4．求下列非齊次線性方程組的通解及所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系: 1234234895xx????????5．求下列向量組的秩和一個最大無關(guān)組,并將其余向量用最大無關(guān)組線性表示． 12341234,,,5.0????????????????????????????6．已知二次型：，3231212321321 845),( xxxxf ???用正交變換化 為標(biāo)準(zhǔn)形，并求出),(f其正交變換矩陣 Q．四、證明題（本題總計 10 分，每小題 10 分）- 13 -設(shè) , , , , 且向量組1ba?212a?? 12rrba???線性無關(guān)，證明向量組 線性ra,21? rb,21?無關(guān).(答案二)一、填空題（本題總計 20 分，每小題 2 分）1. 17 2. -2 3． 4． 5． 6．-2 1A()Rn????7． 或 8． 29、 10、16A?103???????2n）（ － 2,0yx二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B三、計算題（本題總計 60 分，每小題 10 分）1、 解： -----D),43(2niri???021???????? 032?n?2-4 分-------7 分12r?00?21???????? 032?n?2---------10 分（此)!()2(321)( ??????n?- 14 -題的方法不唯一，可以酌情給分。 ）2．求解 ，其中AX??2013A???????解：由 得AX??(3??1XAE??分)(6 分) ??120,31AE?????????(8 分)102613r???????:所以 26031X????????(10 分)3．解：利用由 可得： ------042??EA 0)(3???EA--5 分即 ------7 分 故 可逆且EA??)(3 3--------10 分)()3(1??4．求下列非齊次線性方程組的通解及所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系．- 15 -1234123895xx????????解： (2 分) 12328()9504Ab?????????123040r???????:(4 分)則有 12100r??????:(6 分)14230x???????取 為自由未知量，令 ，則通解為： 4x 4xc?1234102xc?????????????(8 分)cR?對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為： 21???????(10 分)5．求下列向量組的秩和一個最大無關(guān)組,并將其余向量用最大無關(guān)組線性表示．解：12341234,,,5.0????????????????????????????- 16 -= ??1234?1231231235000???????????????????:: 102??????:(2 分) 為一個極大無關(guān)組 . (4 分) 設(shè) 12,?， 312x???412y???解得 ， . 2x???? 12y????(8 分) 則有 ， 31???412???6 解 332123221 85),( xxxxf ?的矩陣 (2 分) 的特????????42A A征多項式 (4 分))10())(????的兩個正交的特征向量 , 121? ???????10p????????142p的特征向量 03?? ????????213p正交矩陣 8 分) 正???????32140Q交變換 ：標(biāo)準(zhǔn)形 yx? 3210yyf??四、證明題（本題總計 10 分）若設(shè)且向量組 線性無關(guān)，,212121,, rraabab?????? ra,21?證明向量組 線性無關(guān). 證明：設(shè)存在r,?- 17 -，使得 也即 12λ,rR?? 12rb+b=0???化簡得 1212()()0rraa?????? ?12122()()rrra?? ? ?又因為 線性無關(guān)，則 12,r?120rr??????????(8 分)解得 120r???所以， 線性無關(guān).12rb, , ?（試卷三）一、填空題（本題總計 20 分，每小題 2分）1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列的逆序數(shù)為 (2)2n??2、設(shè) 4 階行列式 ，則 0 4abcdD?12314A??3、已知 ，則 10327A?????????1*A??4、已知 n 階矩陣 A、B 滿足 ，則BA????1EB??5、若 A 為 矩陣，則齊次線性方程組m?只有零解的充分必要條件是 x0- 18 -6、若 A 為 矩陣，且 ，則齊次nm?()3min{,}RA??線性方程組 的基礎(chǔ)解系中包含解向A?x0量的個數(shù)為 7、若向量 與向量 正交，則??123T????1T?????8、若三階方陣 A 的特征多項式為，則 2(1)AE?????9、設(shè)三階方陣 、 ，已知 ，123????????12B????????6A?，則 1B?AB??10、設(shè)向量組 線性無關(guān)，則當(dāng)常數(shù)123,?滿足 時，向量組l線性無關(guān).213213,,???二、選擇題（本題總計 10 分，每小題 2分）1、 以下等式正確的是( )Ａ． Ｂ．?????????????dcbak dcbak?Ｃ． Ｄ．? ab2、 4 階行列式 中的項 和 的det()ija1342a24312符號分別為（ ）- 19 -Ａ．正、正 Ｂ．正、負(fù)Ｃ．負(fù)、負(fù) Ｄ．負(fù)、正3、 設(shè) A 是 矩陣，C 是 n 階可逆陣，mn?滿足 B＝AC. 若 A 和 B 的秩分別為 和Ar，則有( )BrＡ． 　　　　　　　　 Ｂ．ABr? ABr?Ｃ． 　　　　　　　　 Ｄ．以?上都不正確 4、 設(shè) A 是 矩陣，且 ，則非齊mn?()RAmn??次線性方程組 ( )A?xbＡ．有無窮多解 　　 ?。拢形ㄒ唤猓茫疅o解 　 ?。模疅o法判斷解的情況5、已知向量組 線性無關(guān)，則以下1234,,?線性無關(guān)的向量組是（ ）Ａ． 12341,,,???Ｂ． ???Ｃ． 12341,,,Ｄ． ??三、計算題（本題總計 60 分，每小題 10- 20 -分）1． 求矩陣 的特征值和特征向量．124????????A2． 計算 階行列式n?011100nnaDa????????3． 已知矩陣 ，1A???????， ，且滿足 ，求矩10B???????4320C???????AXBC?陣 X.4． 求下列非齊次線性方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及此方程組的通解 12345123451605xx???????5． 已知矩陣 ，求矩陣 A 的126397A????????列向量組的一個最大無關(guān)組，并把其余向量用該最大無關(guān)組線性表示．- 21 -6． 已知 A 為三階矩陣，且 ，求2A????1*32????????四、證明題（本題總計 10 分）設(shè)向量組 中前 個向量線性相12,,n?? 1?關(guān)，后 個向量線性無關(guān)，試證：1n?（1） 可由向量組 線性表示；1 231,n???（2） 不能由向量組 線性表示.n?2,?（試卷四）一、填空題（本題總計 16 分，每小題 2分）1、按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序，則排列的逆序數(shù)為 3(21)4(2)nn?? ?2、4 階行列式 4816452D??3、已知 ， 為 A 的伴隨矩陣，則1029A????????*??1*?4、已知 n 階方陣 A 和 B 滿足 ，則AB????1EB??5、已知 A 為 矩陣，且 ，則以mn?()min{,}Rr?- 22 -A 為系數(shù)矩陣的齊次線性方程組 的A?x0基礎(chǔ)解系中包含解向量的個數(shù)為 6、已知四維列向量 、??T31521??、 ，且??T1052??43?，則 ?xx????2137、把向量 單位化得 ?2T8、若三階方陣 A 的特征多項式為，則 2()1)(f????E??二、選擇題（本題總計 14 分，每小題 2分）1、 已知 ，則以下等式正確的是( ),abcdkR?Ａ． Ｂ．?????????????k dcbak?Ｃ． Ｄ．?dcbacba ab2、 設(shè) A 和 B 為 n 階方陣，下列說法正確的是（ ）Ａ．若 ，則 Ｂ．若 ，C?? 0AB?則 或0ABＣ．若 ，則 或 Ｄ．若 ，0ABE?則 E?3、 設(shè) A 是 矩陣，且 ，則非齊mn?()Rmn??- 23 -次線性方程組 ( )A?xbＡ．有唯一解 　　 ?。拢袩o窮多解Ｃ．無解 　 ?。模疅o法判斷解的情況4、 向量組的秩就是向量組的（ ）Ａ．極大無關(guān)組中的向量 　　Ｂ．線性無關(guān)組中的向量Ｃ．極大無關(guān)組中的向量的個數(shù) ?。模€性無關(guān)組中的向量的個數(shù)5、 已知 n 階方陣 A、B 和 C 滿足ABC=E，其中 E 為 n 階單位矩陣，則( )1B??Ａ． 　　 ?。拢?AC? ACＣ． 　 　Ｄ． 1?6、 設(shè) A 為三階方陣， 為 A 的伴隨矩陣，*且 ，則 （ ）41???*A3)4(1Ａ． 　　　　　　　　　　　　　276Ｂ． ?Ｃ． 　　　　　　　　　　?。模?27、 已知 n 元齊次線性方程組 的系數(shù)A?x0- 24 -矩陣的秩等于 n-3，且 是 的三123,?A?x0個線性無關(guān)的解向量，則 的基礎(chǔ)解系可為（ ）Ａ． Ｂ．1231,,????312123,,???Ｃ． Ｄ．??31?三、計算題（本題總計 60 分，1-3 每小題8 分，4-7 每小題 9 分）1． 計算 階行列式nnxaDax???????2． 已知三階方陣 ，求10A????????21()4)AE??3． 已知矩陣 ， ，求 .210???????102B??????B4． 求下列非齊次線性方程組所對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及此方程組的通解 123451xx??????5． 判定向量組- 25 -的線性相關(guān)性。123(2,),(0,),(2,41)TTT?????????6． 已知矩陣 ，求矩陣 的秩1201243A????????A及列向量組的一個最大無關(guān)組.7． 已知 ，求可逆陣 P，使得21043A????????為對角陣. 1P?四、證明題（本題總計 10 分）設(shè) 為非齊次線性方程組 的一個解，?Axb?為對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.試12,r??證：向量組 線性無關(guān)。12,,r??