2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練六 第1講 直線與圓 理.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練六 第1講 直線與圓 理 考情解讀　考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題．直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長(zhǎng)問題)，此類問題難度屬于中等，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)解答題，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識(shí)． 1．直線方程的五種形式 (1)點(diǎn)斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)． (2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)． (3)兩點(diǎn)式：＝(直線過點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線)． (4)截距式：＋＝1(a、b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b≠0，不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)． 2．直線的兩種位置關(guān)系 當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時(shí)： (1)兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1＝k2. (2)兩直線垂直l1⊥l2?k1k2＝－1. 提醒　當(dāng)一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時(shí)，兩直線也垂直，此種情形易忽略． 3．三種距離公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)間的距離：|AB|＝. (2)點(diǎn)到直線的距離：d＝(其中點(diǎn)P(x0，y0)，直線方程：Ax＋By＋C＝0)． (3)兩平行線間的距離：d＝(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)． 提醒　應(yīng)用兩平行線間距離公式時(shí)，注意兩平行線方程中x，y的系數(shù)應(yīng)對(duì)應(yīng)相等． 4．圓的方程的兩種形式 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 5．直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 (1)直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法． (2)圓與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離，代數(shù)判斷法與幾何判斷法. 熱點(diǎn)一　直線的方程及應(yīng)用 例1　(1)過點(diǎn)(5,2)，且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程是(　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 (2)“m＝1”是“直線x－y＝0和直線x＋my＝0互相垂直”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 思維啟迪　(1)不要忽略直線過原點(diǎn)的情況；(2)分別考慮充分性和必要性． 答案　(1)B　(2)C 解析　(1)當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)方程為2x－5y＝0，不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出其截距式為＋＝1，再由過點(diǎn)(5,2)即可解出2x＋y－12＝0. (2)因?yàn)閙＝1時(shí)，兩直線方程分別是x－y＝0和x＋y＝0，兩直線的斜率分別是1和－1，兩直線垂直，所以充分性成立；當(dāng)直線x－y＝0和直線x＋my＝0互相垂直時(shí)，有11＋(－1)m＝0，所以m＝1，所以必要性成立．故選C. 思維升華　(1)要注意幾種直線方程的局限性．點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線． (2)求解與兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題時(shí)，主要是利用兩條直線平行或垂直的充要條件，即“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”．若出現(xiàn)斜率不存在的情況，可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究． 　已知A(3,1)，B(－1,2)，若∠ACB的平分線方程為y＝x＋1，則AC所在的直線方程為(　　) A．y＝2x＋4 B．y＝x－3 C．x－2y－1＝0 D．3x＋y＋1＝0 答案　C 解析　由題意可知，直線AC和直線BC關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱．設(shè)點(diǎn)B(－1,2)關(guān)于直線y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為B′(x0，y0)，則有?，即B′(1,0)．因?yàn)锽′(1,0)在直線AC上，所以直線AC的斜率為k＝＝， 所以直線AC的方程為y－1＝(x－3)， 即x－2y－1＝0.故C正確． 熱點(diǎn)二　圓的方程及應(yīng)用 例2　(1)若圓C經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，且與y軸相切，則圓C的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y2)2＝3 B．(x－2)2＋(y)2＝3 C．(x－2)2＋(y2)2＝4 D．(x－2)2＋(y)2＝4 (2)已知圓M的圓心在x軸上，且圓心在直線l1：x＝－2的右側(cè)，若圓M截直線l1所得的弦長(zhǎng)為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4 思維啟迪　(1)確定圓心在直線x＝2上，然后待定系數(shù)法求方程；(2)根據(jù)弦長(zhǎng)為2及圓與l2相切列方程組． 答案　(1)D　(2)B 解析　(1)因?yàn)閳AC經(jīng)過(1,0)，(3,0)兩點(diǎn)，所以圓心在直線x＝2上，又圓與y軸相切，所以半徑r＝2，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，b)，則(2－1)2＋b2＝4，b2＝3，b＝，所以選D. (2)由已知，可設(shè)圓M的圓心坐標(biāo)為(a,0)，a>－2，半徑為r，得 解得滿足條件的一組解為 所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2＝4.故選B. 思維升華　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程直接表示出了圓心和半徑，而圓的一般方程則表示出了曲線與二元二次方程的關(guān)系，在求解圓的方程時(shí)，要根據(jù)所給條件選取適當(dāng)?shù)姆匠绦问剑鉀Q與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． 　(1)已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，過點(diǎn)A(－1,0)的直線l與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，若|PQ|＝2，則直線l的方程為(　　) A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0 (2)已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則圓C的方程為________________． 答案　(1)B　(2)x2＋(y－1)2＝10 解析　(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－1符合題意； 當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，線段PQ的中點(diǎn)為M，由于|PQ|＝2， 易得|CM|＝1. 又|CM|＝＝1，解得k＝，此時(shí)直線l的方程為y＝(x＋1)．故所求直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.故選B. (2)設(shè)所求圓的半徑是r，依題意得，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)，則圓C的圓心坐標(biāo)是(0,1)，圓心到直線4x－3y－2＝0的距離d＝＝1，則r2＝d2＋()2＝10，故圓C的方程是x2＋(y－1)2＝10. 熱點(diǎn)三　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 例3　如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍． 思維啟迪　(1)先求出圓C的圓心坐標(biāo)，再利用幾何法求出切線斜率；(2)將|MA|＝2|MO|化為M點(diǎn)坐標(biāo)滿足的條件后，可知點(diǎn)M是兩圓的交點(diǎn)． 解　(1)由題設(shè)，圓心C是直線y＝2x－4和直線y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)， 于是切線的斜率必存在． 設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3， 由題意，＝1，解得k＝0或－， 故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上， 所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)閨MA|＝2|MO|， 所以＝2 ， 化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4， 所以圓心M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上． 由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)， 則2－1≤|CD|≤2＋1， 即1≤≤3. 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 由5a2－12a≤0，得0≤a≤. 所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為. 思維升華　(1)討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量．研究直線與圓的位置關(guān)系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實(shí)現(xiàn)，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)直線與圓相切時(shí)利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式．過圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)距離，利用勾股定理處理． 　(1)(xx重慶)已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，且△ABC為等邊三角形，則實(shí)數(shù)a＝________. (2)兩個(gè)圓C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)與C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三條公切線，則a＋b的最小值為(　　) A．－6 B．－3 C．－3 D．3 答案　(1)4　(2)C 解析　圓心C(1，a)到直線ax＋y－2＝0的距離為.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以()2＋12＝22，解得a＝4. (2)兩個(gè)圓恰有三條公切線，則兩圓外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓C1：(x＋a)2＋y2＝4， 圓C2：x2＋(y－b)2＝1， 所以|C1C2|＝＝2＋1＝3， 即a2＋b2＝9. 由()2≤，得(a＋b)2≤18，所以－3≤a＋b≤3，當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b”時(shí)取“＝”．所以選C. 1．由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時(shí)，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會(huì)產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點(diǎn)斜式、斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況． 2．確定圓的方程時(shí)，常用到圓的幾個(gè)性質(zhì)： (1)直線與圓相交時(shí)應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長(zhǎng)，弦心距，圓半徑)； (2)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上； (3)圓心在任一弦的中垂線上； (4)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線； (5)圓的對(duì)稱性：圓關(guān)于圓心成中心對(duì)稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成軸對(duì)稱． 3．直線與圓中常見的最值問題 圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題． 4．過兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0. 5．兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)，得到一個(gè)二元一次方程，即為兩圓公共弦所在的直線方程. 真題感悟 1．(xx江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長(zhǎng)為________________． 答案　 解析　圓心為(2，－1)，半徑r＝2. 圓心到直線的距離d＝＝， 所以弦長(zhǎng)為2＝2＝. 2．(xx課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45，則x0的取值范圍是________． 答案　[－1,1] 解析　如圖，過點(diǎn)M作⊙O的切線， 切點(diǎn)為N，連接ON. M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1， MN與⊙O相切于點(diǎn)N. 設(shè)∠OMN＝θ，則θ≥45， 即sin θ≥， 即≥. 而ON＝1，∴OM≤. ∵M(jìn)為(x0,1)，∴≤， ∴x≤1，∴－1≤x0≤1， ∴x0的取值范圍為[－1,1]． 押題精練 1．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，則滿足|PA|2－|PB|2＝4且在圓x2＋y2＝4上的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為________． 答案　2 解析　設(shè)P(x，y)，則由|PA|2－|PB|2＝4， 得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，∴x＋y＝2， ∴滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線x＋y＝2和圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)個(gè)數(shù)， ∵＝<2， ∴直線與圓相交，∴點(diǎn)P有2個(gè)． 2．如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________________． 答案　－20)上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是________． 答案　(－1，＋1) 解析　注意到與直線x－y－2＝0平行且距離為1的直線方程分別是x－y－2＋＝0和x－y－2－＝0，要使圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離為1，需滿足在兩條直線x－y－2＋＝0和x－y－2－＝0中，一條與該圓相交且另一條與該圓相離，所以0?m<－4或m>4.綜上可知m>4.故選C. 5．動(dòng)圓C經(jīng)過點(diǎn)F(1,0)，并且與直線x＝－1相切，若動(dòng)圓C與直線y＝x＋2＋1總有公共點(diǎn)，則圓C的面積(　　) A．有最大值8π B．有最小值2π C．有最小值3π D．有最小值4π 答案　D 解析　設(shè)圓心為(a，b)，半徑為r，r＝|CF|＝|a＋1|， 即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即a＝b2， ∴圓心為(b2，b)，r＝b2＋1， 圓心到直線y＝x＋2＋1的距離為 d＝≤＋1， ∴b≤－2(2＋3)或b≥2， 當(dāng)b＝2時(shí)，rmin＝4＋1＝2， ∴Smin＝πr2＝4π. 6．設(shè)P為直線3x＋4y＋3＝0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　D 解析　依題意，圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心是點(diǎn)C(1,1)，半徑是1，易知|PC|的最小值等于圓心C(1,1)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，即＝2，而四邊形PACB的面積等于2S△PAC＝2(|PA||AC|)＝|PA||AC|＝|PA|＝，因此四邊形PACB的面積的最小值是＝，故選D. 二、填空題 7．已知直線l1與圓x2＋y2＋2y＝0相切，且與直線l2：3x＋4y－6＝0平行，則直線l1的方程是________________． 答案　3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0 解析　依題意，設(shè)所求直線l1的方程是3x＋4y＋b＝0，則由直線l1與圓x2＋(y＋1)2＝1相切，可得圓心(0，－1)到直線3x＋4y＋b＝0的距離為1，即有＝1，解得b＝－1或b＝9.因此，直線l1的方程是3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0. 8．(xx湖北)直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位圓C：x2＋y2＝1分成長(zhǎng)度相等的四段弧，則a2＋b2＝____. 答案　2 解析　依題意，不妨設(shè)直線y＝x＋a與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)， 則∠AOB＝90.如圖，此時(shí)a＝1，b＝－1， 滿足題意， 所以a2＋b2＝2. 9．(xx湖北)已知圓O：x2＋y2＝5，直線l：xcos θ＋ysin θ＝1(0<θ<)．設(shè)圓O上到直線l的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為k，則k＝________. 答案　4 解析　圓心O到直線l的距離d＝＝1， 而圓O半徑為，所以圓O上到l的距離等于1的點(diǎn)有4個(gè)． 10．已知A(－2,0)，B(0,2)，實(shí)數(shù)k是常數(shù)，M，N是圓x2＋y2＋kx＝0上兩個(gè)不同點(diǎn)，P是圓x2＋y2＋kx＝0上的動(dòng)點(diǎn)，如果M，N關(guān)于直線x－y－1＝0對(duì)稱，則△PAB面積的最大值是________． 答案　3＋ 解析　依題意得圓x2＋y2＋kx＝0的圓心(－，0)位于直線x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圓心坐標(biāo)是(1,0)，半徑是1.由題意可得|AB|＝2，直線AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圓心(1,0)到直線AB的距離等于＝，點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值是＋1，△PAB面積的最大值為2＝3＋. 三、解答題 11．(1)求圓心在x軸上，且與直線y＝x相切于點(diǎn)(1,1)的圓的方程； (2)已知圓C過點(diǎn)P(1,1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱，求圓C的方程． 解　(1)根據(jù)題意可設(shè)圓心(a,0)，則＝－1?a＝2，即圓心為(2,0)，半徑r＝＝，則所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝2. (2)設(shè)圓心為C(a，b)，則 所以又P(1,1)在圓上， 所以圓C的方程為x2＋y2＝2. 12．已知圓M的方程為x2＋y2－2x－2y－6＝0，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓O與圓M相切． (1)求圓O的方程； (2)圓O與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，圓O內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比數(shù)列，求的取值范圍． 解　(1)圓M的方程可整理為(x－1)2＋(y－1)2＝8， 故圓心M(1,1)，半徑R＝2. 圓O的圓心為O(0,0)， 因?yàn)閨MO|＝<2， 所以點(diǎn)O在圓M內(nèi)，故圓O只能內(nèi)切于圓M. 設(shè)圓O的半徑為r， 因?yàn)閳AO內(nèi)切于圓M， 所以|MO|＝R－r， 即＝2－r， 解得r＝. 所以圓O的方程為x2＋y2＝2. (2)不妨設(shè)E(m,0)，F(xiàn)(n,0)，且mr2對(duì)?m∈[0,1]成立， 即r2<. 故⊙C的半徑r的取值范圍為[，)．