2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十六講 開(kāi)放性問(wèn)題評(píng)說(shuō).doc
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2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第二十六講 開(kāi)放性問(wèn)題評(píng)說(shuō) 一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的構(gòu)成含有四個(gè)要素:題目的條件、解題的依據(jù)、解題的方法、題目的結(jié)論,如果題目所含的四個(gè)要素是解題者已經(jīng)知道,或者結(jié)論雖未指明,但它是完全確定的,這樣的問(wèn)題就是封閉性的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 開(kāi)放性問(wèn)題是相對(duì)于封閉性問(wèn)題而言,從所呈現(xiàn)問(wèn)題的方式看,有下列幾種基本形式: 1.條件開(kāi)放題 稱條件不充分或沒(méi)有確定已知條件的開(kāi)放性問(wèn)題為條件開(kāi)放題,解題時(shí)需執(zhí)果尋因,根據(jù)結(jié)論和已有的已知條件,尋找使得結(jié)論成立的其他條件. 2.結(jié)論開(kāi)放題 稱結(jié)論不確定或沒(méi)有確定結(jié)論的開(kāi)放性問(wèn)題為結(jié)論開(kāi)放題,解題時(shí)需由因?qū)Ч?,由已知條件導(dǎo)出相應(yīng)結(jié)論. 3.判斷性開(kāi)放題 稱判定幾何圖形的形狀大小、圖形的位置關(guān)系、方程(組)的解的情況或判定具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在的開(kāi)放題問(wèn)題稱為判斷性開(kāi)放題,解題的基本思路是:由已知條件及知識(shí)作出判斷,然后加以證明. 【例題求解】 【例1】 如圖,⊙O與⊙O1外切于點(diǎn)T,PT為其內(nèi)公切線,AB為其外公切線,且A、B為切點(diǎn),AB與PT相交于點(diǎn)P,根據(jù)圖中所給出的已知條件及線段,請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)正確結(jié)論,并加以證明. 思路點(diǎn)撥 為了能寫(xiě)出更多的正確結(jié)論,我們可以從以下幾分角度作探索,線段關(guān)系,角的關(guān)系、三角形的關(guān)系及由此推出的相應(yīng)結(jié)論. 注:明確要求將數(shù)學(xué)開(kāi)放性題作為中考試題,還是近一二年的事情.開(kāi)放性問(wèn)題沒(méi)有明確的目標(biāo)和解題方向,留有極大的探索空間. ⌒ 解開(kāi)放性問(wèn)題,不具有定向的解題思路,解題時(shí)總要有合情合理、實(shí)事求是的分析,要把歸納與演繹協(xié)調(diào)配合起來(lái),把直覺(jué)發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相互結(jié)合起來(lái),把一般能力和數(shù)學(xué)能力 同時(shí)發(fā)揮出來(lái).杭州市對(duì)本例評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是以正確結(jié)論的難易程度為標(biāo)準(zhǔn)靈活打分,分值直接反映考生的能力及創(chuàng)新性. 【例2】 如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,A是BD的中點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)的切線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E. ⌒ (1)求證:ABDA=COBE; (2)若點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)A在BD上運(yùn)動(dòng),使切線EA變?yōu)楦罹€EFA,其他條件不變,問(wèn)具備什么條件使原結(jié)論成立? (要求畫(huà)出示意圖,注明條件,不要求證明) 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(2),能畫(huà)出圖形盡可能畫(huà)出圖形,要使結(jié)論ABDA=CDBE成立,即要證△ABE∽△CDA,已有條件∠ABE=∠CDA,還需增加等角條件,這可由多種途徑得到. 注:許多開(kāi)放性問(wèn)題解題思路也是開(kāi)放的(多角度、多維度思考),探索的條件或結(jié)論并不惟一.故解開(kāi)放性問(wèn)題,應(yīng)盡可能深入探究,發(fā)散思維,提高思維的品質(zhì),切忌入寶山而空返. 【例3】(1)如圖1,若⊙O1與⊙O2外切于A,BC是⊙O1與⊙O2外公切線,B、C為切點(diǎn),求證:AB⊥AC. (2)如圖2,若⊙O1與⊙O2外離,BC是⊙O1與⊙O2的外公切線,B、C為切點(diǎn),連心線O1 O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N,BM、CN的延長(zhǎng)線交于P,則BP與CP是否垂直?證明你的結(jié)論. (3)如圖3,若⊙O1與⊙O2相交,BC是⊙O1與⊙O2的公切線,B、C為切點(diǎn),連心線O1 O2分別交⊙O1、⊙O2于M、N,Q是線段MN上一點(diǎn),連結(jié)BQ、CQ,則BQ與CQ是否垂直?證明你的結(jié)論. 思路點(diǎn)撥 本例是在基本條件不變的情況下,通過(guò)運(yùn)動(dòng)改變兩圓的位置而設(shè)計(jì)的,在運(yùn)動(dòng)變化中,結(jié)論可能改變或不變,關(guān)鍵是把(1)的證法類比運(yùn)用到(2)、(3)問(wèn)題中. 注:開(kāi)放性問(wèn)題還有以下呈現(xiàn)方式: (1)先提出特殊情況進(jìn)行研究,再要求歸納猜測(cè)和確定一般結(jié)論; (2)先對(duì)某一給定條件和結(jié)論的問(wèn)題進(jìn)行研究,再探討改變條件時(shí)其結(jié)論應(yīng)發(fā)生的變化,或改變結(jié)論時(shí)其條件相應(yīng)發(fā)生的變化. 【例4】 已知直線 (>0)與軸、軸分別交于A、C兩點(diǎn),開(kāi)口向上的拋物線過(guò)A、C兩點(diǎn),且與軸交于另一點(diǎn)B. (1)如果A、B兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離AO、BO滿足AO=3BO,點(diǎn)B到直線AC的距離等于,求這條直線和拋物線的解析式; (2)是否存在這樣的拋物線,使得tan∠ACB=2,且△ABC外接圓截得軸所得的弦長(zhǎng)等于5?若存在,求出這樣的拋物線的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 思路點(diǎn)撥 (1)通過(guò)“點(diǎn)B到直線AC的距離等于”,利用等積變換求出A、B兩點(diǎn)的距離;(2)先假設(shè)存在這樣的拋物線,再由條件推理計(jì)算求得,最后加以驗(yàn)證即可. 注:解存在性開(kāi)放問(wèn)題的基本方法是假設(shè)求解法,即假設(shè)存在→演繹推理→得出結(jié)論(合理或矛盾). 【例5】 如圖,這些等腰三角形與正三角形的形狀有差異,我們把它與正三角形的接近程度稱為“正度”.在研究“正度”時(shí),應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等. 設(shè)等腰三角形的底和腰分別為、,底角和頂角分別為、.要求“正度”的值是非負(fù)數(shù). 同學(xué)甲認(rèn)為:可用式子來(lái)表示“正度”,的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形; 同學(xué)乙認(rèn)為:可用式子來(lái)表示“正度”,的值越小,表示等腰三角形越接近正三角形. 探究:(1)他們的方案哪個(gè)較為合理,為什么? (2)對(duì)你認(rèn)為不夠合理的方案,請(qǐng)加以改進(jìn)(給出式子即可); (3)請(qǐng)?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式. 思路點(diǎn)撥 通過(guò)閱讀,正確理解“正度”這個(gè)新概念,同時(shí)也要抓住“在研究‘正度’時(shí),應(yīng)保證相似三角形的‘正度’相等”這句話的實(shí)質(zhì),可先采取舉實(shí)例加深對(duì)“正度”的理解,再判斷方案的合理性并改進(jìn)方法. 注:(1)解結(jié)論開(kāi)放題往往要充分利用條件進(jìn)行大膽而合理的猜想,通過(guò)觀察、比較、聯(lián)想、猜測(cè)、推理和截判斷等探索活動(dòng),發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出結(jié)論. (2) 閱讀是學(xué)習(xí)的重要途徑,在這種閱讀型研究性問(wèn)題中,涌現(xiàn)了許多介紹新的知識(shí)和新的研究方法的問(wèn)題,能極大地開(kāi)闊我們的視野. (3)研究性學(xué)習(xí)是課程改革的一個(gè)亮點(diǎn),研究性學(xué)習(xí)是美國(guó)芝加哥大學(xué)教授施瓦布在《作為探究的科學(xué)教學(xué)》的演講時(shí)提出的.他主張引導(dǎo)學(xué)生直接用科學(xué)研究的方式進(jìn)行教學(xué),即設(shè)定情境、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證假設(shè)、分析結(jié)果、得出結(jié)論.研究性問(wèn)題是近年中考中出現(xiàn)的一種新題型,它要求我們適應(yīng)新情況,通過(guò)實(shí)踐,增強(qiáng)探究和創(chuàng)新意識(shí),學(xué)習(xí)科學(xué)研究方法. 學(xué)力訓(xùn)練 1.如圖,是四邊形ABCD的對(duì)稱軸,如果AD∥BC,有下列結(jié)論: ①AB∥CD,②AB=BC;③AB⊥BC;④AO=OC. 其中正確的是 . (把你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上) 2.如圖,是一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形與兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別為、的小矩形ABCD,則整個(gè)圖形可表達(dá)出一些有關(guān)多項(xiàng)式分解因式的等式,請(qǐng)你寫(xiě)出其中任意三個(gè)等式:① ;② ;③ . 3.有一個(gè)二次函數(shù)的圖象,三位學(xué)生分別說(shuō)出了它的一些特點(diǎn): 甲:對(duì)稱軸是直線; 乙:與軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù); 丙:與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)也是整數(shù),且以這三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為3. 請(qǐng)你寫(xiě)出滿足上述全部特點(diǎn)的一個(gè)二次函數(shù)解析式: . 4.如圖,已知AB為⊙O的直徑,直線與⊙O相切于點(diǎn)D,AC⊥于C,AC交⊙O于點(diǎn)E,DF⊥AB于F. (1)圖中哪條線段與BF相等?試證明你的結(jié)論; (2)若AE=3,CD=2,求⊙O的直徑. 5.在一個(gè)服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料(如圖).現(xiàn)找出其中的一種,測(cè)得∠C=90,AC=BC=4,今要從這種三角形中剪出一種扇形,做成不同形狀的玩具,使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上,且扇形的弧與△ABC的其他邊相切,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出所有可能符合題意的方案示意圖,并求出扇形的半徑(只要求畫(huà)出圖形,并直接寫(xiě)出扇形半徑). 6.如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0)( x1<0- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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