2019版中考數學復習 第五講 韋達定理學案 新人教版.doc

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2019版中考數學復習 第五講 韋達定理學案 新人教版 【學習目標】 1、學會用韋達定理求代數式的值。 2、理解并掌握應用韋達定理求待定系數。 3、理解并掌握應用韋達定理構造方程，解方程組。 4、能應用韋達定理分解二次三項式。 知識框圖 求代數式的值 求待定系數 一元二次 韋達定理 應 用 構造方程 方程的求根公式 解特殊的二元二次方程組 二次三項式的因式分解 【典型例題】 例1、已知 、是方程x-5x+1=0 的兩個根，求下列代數式的值 （1） + （2）（ - ） （3） + （4）α+β （5）α-5α+3αβ-β 解：由韋達定 理知α+β=5，αβ=1 （1）α+β=（α+β）-2αβ=23 （2）（α-β）=（α+β）-4αβ=21 （3） + ＋　　 =　　　　　 　　　　=　　　 = （4）α+β =（α+β）-3αβ（α+β）=110 （5）α-5α+3αβ-β=3αβ-（α+β）= -2 評注：求關于兩根的代數式的值，關鍵是將所給代數式合理地進行恒等變形，使其轉化成α+β，αβ表示的形式，主要運用配方法，通分，因式分解等方法。 例2：已知方程2x-kx+4=0的一個根是1+ ，求另一根及k的值。 解：設方程的另一根為x,由韋達定理知 　　解得 ∴方程的另一根為 -1，k的值為4。 評注：本例主要熟悉并掌握運用根的定義及韋達定理求待定系數和方程的根。 例3：已知關于x的方程x+2(m-2)x+m+4=0有兩個實數根，且這兩個根的平方和比兩根積大21，求m的值。 解：設x+2(m-2)x+m+4=0的兩根值為x1, x2則x1+x2= -2(m-2), x1 x2=m+4 由題意得：x12+ x22= x1 x2+21 (x1+ x2) -3 x1x2-21=0 4(m-2) -3(m+4)-21=0 m　=17 , m　= -1 把 m1=17 代入原方程得x+30x+293=0, Δ＜0 ∴方程無實數根， ∴ m1=17 不合題意，舍去 把 m2= -1代入原方程得x-6x+5=0 , Δ＞0 ∴m= -1 評注：應用韋達定理求一元二次方程中待定系數是一種常見的方法，但應特別注意一元二次方程是否有根的檢驗，同時還應注意二次項系數及本身隱含的取值范圍。 例4：在實數范圍內分解因式。 （1）x-x+1 (2)-3y+y+1 (3)4x+8xy-y 解：（1）令x-x+1=0，解方程得x= 　　 ∴x-x+1 =(x- )(x- ) (2)令-3y+y+1=0，解方程得y= ∴-3y+y+1=-3(y- )(y- ) (3)把4x+8xy-y=0看作關于x為未知數的方程。 令4x+8xy-y=0解方程得x= y , ∴4x+8xy-y=4(x- y ) (x- y) =(2x+2y- y)(2x+2y+ y) 評注：當二次三項式不能公式進行分解時，往往令二次三項式等于0轉化為一元二次方程，令ax+bx+c=0 兩根為x１,x２,則ax+bx+c=a(x-x１)(x-x２),注意分解時二次項系數不要漏掉，當二次三項式含有兩個字母時把其中一個字母看作未知數，另一個字母看作常數來解。 【選講例題】 例：在三角形ABC中，a,b,c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，且C=5 ，若關于x的方程 （5 +b) x2+2ax+(5 -b)=0有兩個相等的實數根，又方程2x-(10SinA)x+5SinA=0的兩個實數根的平方和為6，求ΔABC的面積。 解：∵方程（5 　+b)x+2ax+(5 -b)=0有兩個相等的實數根 ∴Δ=4a-(5 +b)(5 　-b)=0 即a+b=75 ∵c=5 ∴a+b=c ∴ΔABC為 直角三角形，用∠C=90 設x1,x2是2x-(10SinA)x+5SinA=0的兩個實數根，則x1+ x2=5SinA ，x1 x2= SinA ∵x1+ x2=6 ∴(5SinA ) -SinA=6 ∴SinA= 或SinA= - (舍去） 在RtΔABC中，C=5 , a=c， SinA=3 b= =4 ∴SΔABC= ab=18 評注：這是一道典型的綜合性題，這匯集了根的判別式，勾股定理，根與系數的關系，三角函數，三角形面積等多方面的知識，解這類綜合題時，要理清楚思路，抓拄每個給出的條件，得到相應的結論，從而環(huán)環(huán)地將繩索解開。 【基礎練習】 1、填空：（1）設α，β是方程3x-5x+1=0的兩根，則αβ+αβ=_______ （2）若 +1是方程x-kx+1=0的一個根，則k=________ （3）分解因式2x+3x-1=__________ （4）若方程3x-x+m-4=0有一正一負兩個根，則m的取值范圍是_____________ （5）已知a,b是方程x+(m-1)x+1=0的兩個根，則（a+ma+1)(b+mb+1)的值為_______ （6）方程x+8x-1=0的兩個根為α，β，則3α+2αβ+8α-9=_______ 2、已知a-3a=1,b-3b=1,求 + 　 的值。 3、三角形ABC 的三邊長分別為 a,b,c，滿足b=8-c, a-12a-bc+52=0,試判斷三角形ABC的形狀。 4、s,t滿足19s+99s+1=0,t+99t+19=0 ，并且st≠1,求 的值。 【課堂小結】 1、掌握韋達定理 2、掌握韋達定理的幾個應用。 【鞏固練習】 1、因式分解6xy+7xy-3=___________ 2、解方程組 3、如果直角三角形三條邊a,b,c,都滿足方程x-mx+ =0,求三角形的面積。 4、已知方程2x-8x-1=0的兩個根為α,β,不解方程，求解以 + ,( α-1)( β-1)為根的一元二次方程。 5、已知某二次項系數為1的一元二次方程的兩個實數根為p,q，且滿足關系式 , 試求這個一元二次方程。 6、已知α, β是一元二次方程4kx-4kx+k+1=0的兩個實根 （1）是否存在實數根k，使（2α-β)( α-2β)= -　成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。 （2）求使 + -2的值為整數的實數k的整數值。 【課后反思】