九年級數(shù)學(xué)下冊 第6章 圖形的相似 6.4 探索三角形相似的條件 6.4.3 利用兩邊及夾角證相似同步練習(xí)2 蘇科版.doc

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[6.4　第3課時　利用兩邊及夾角證相似] 一、選擇題 1．如圖K－17－1，下列條件不能判定△ADB∽△ABC的是(　　) 圖K－17－1 A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝ADAC D.＝ 2．如圖K－17－2，點P在△ABC的邊AC上，要判定△ABP∽△ACB，需添加一個條件，下列添加條件中不正確的是(　　) 圖K－17－2 A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C.＝ D.＝ 3．xx棗莊如圖K－17－3，在△ABC中，∠A＝78，AB＝4，AC＝6.將△ABC沿圖K－17－4中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原來三角形不相似的是 (　　) 圖K－17－3 圖K－17－4 4．如圖K－17－5所示，∠APD＝90，AP＝PB＝BC＝CD，則下列結(jié)論成立的是(　　) 圖K－17－5 A．△PAB∽△PCA B．△PAB∽△PDA C．△ABC∽△DBA D．△ABC∽△DCA 二、填空題 5．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，則當A′B′的長度為________時，△ABC∽△A′B′C′. 6．xx隨州在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點D在邊AB上，且AD＝2，點E在邊AC上，當AE＝________時，以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似． 三、解答題 7．xx南京期末如圖K－17－6，已知ADAC＝ABAE. 求證：△ADE∽△ABC. 圖K－17－6 8．如圖K－17－7，在正三角形ABC中，D，E分別在AC，AB上，且＝，AE＝EB. 求證：△AED∽△CBD. 圖K－17－7 9.如圖K－17－8所示，在矩形ABCD中，AB∶BC＝1∶2，點E在AD上，且DE＝3AE. 試說明：△ABC∽△EAB. 圖K－17－8 10．如圖K－17－9，在△ABC中，∠B＝90，AB＝4，BC＝2，以AC為邊作△ACE，∠ACE＝90，AC＝CE，延長BC至點D，使CD＝5，連接DE. 求證：△ABC∽△CED. 圖K－17－9 11．xx福州如圖K－17－10，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC邊上截取AD＝BC，連接BD. (1)通過計算，判斷AD2與ACCD的大小關(guān)系； (2)求∠ABD的度數(shù)． 圖K－17－10 12．如圖K－17－11，在平面直角坐標系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．點P從點O開始沿OA邊向點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1厘米/秒的速度移動．如果P，Q同時出發(fā)，用t(秒)表示移動的時間(0＜t＜6)，那么，當t為何值時，△POQ與△AOB相似？ 圖K－17－11 類比思想如圖K－17－12①，在等邊三角形ABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊向上作等邊三角形EDC，連接AE. (1)求證：AE∥BC； (2)如圖②，將(1)中的等邊三角形ABC換成等腰三角形ABC，等邊三角形EDC換成等腰三角形EDC，且△EDC∽△ABC，則是否仍有AE∥BC？請說明理由． 圖K－17－12  詳解詳析 [課堂達標] 1．[解析] D　在△ADB和△ABC中，∠A是它們的公共角，那么當＝時，才能使△ADB∽△ABC，不是當＝時．故選D. 2．[解析] D　選項A，當∠ABP＝∠C時，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項正確； 選項B，當∠APB＝∠ABC時，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項正確； 選項C，當＝時，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項正確； 選項D，無法得到△ABP∽△ACB，故此選項不正確． 3．[解析] C　A項，陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩個三角形相似；B項，陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩個三角形相似；C項，兩個三角形的兩組邊成比例，但其夾角不一定相等，故兩個三角形不一定相似；D項，兩個三角形的對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩個三角形相似．故選C. 4．[解析] C　若選擇兩個直角三角形，另兩個銳角中沒有對應(yīng)的兩個角相等，選項A，B不可能．選項C，D中，都有△ABC，考慮公共角∠ABC的兩邊是否對應(yīng)成比例，故選C. 5．[答案] 3 [解析] 要使△ABC∽△A′B′C′，必有AB∶A′B′＝BC∶B′C′，所以A′B′＝3. 6．[答案] 或　 [解析] ∵∠A＝∠A，分兩種情況：(1)如圖①，當＝時，△ADE∽△ABC，即＝， 解得AE＝；(2)如圖②，當＝時，△ADE∽△ACB，即＝，解得AE＝.綜上所述，當AE的長為或時，以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似． 7．證明：∵ADAC＝AEAB， ∴＝. 在△ABC與△ADE中， ∵＝，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC. 8．證明：∵△ABC為正三角形， ∴∠A＝∠C＝60，BC＝AB. ∵AE＝BE，∴CB＝2AE. ∵＝，∴CD＝2AD， ∴＝＝， 而∠A＝∠C， ∴△AED∽△CBD. 9．[解析] 這兩個三角形有一組相等的直角，可尋找夾角的兩邊成比例． 解：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠ABC＝90，AD＝BC. ∵AB∶BC＝1∶2，DE＝3AE， ∴AE＝AB， 即AE∶AB＝1∶2， ∴＝. 又∵∠ABC＝∠EAB，∴△ABC∽△EAB. 10．[解析] 先利用勾股定理計算出AC＝2 ，則CE＝2 ，所以＝，再證明∠BAC＝∠DCE.然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得△ABC∽△CED. 證明：∵∠B＝90，AB＝4，BC＝2， ∴AC＝＝2 . ∵CE＝AC， ∴CE＝2 . ∵CD＝5，＝＝，＝， ∴＝. ∵∠B＝90，∠ACE＝90， ∴∠BAC＋∠BCA＝90，∠BCA＋∠ECD＝90， ∴∠BAC＝∠ECD， ∴△ABC∽△CED. 11．解：(1)∵AD＝BC＝， ∴AD2＝＝. ∵AC＝1，∴CD＝1－＝， ∴ACCD＝， ∴AD2＝ACCD. (2)∵AD2＝ACCD，AD＝BC， ∴BC2＝ACCD， 即＝. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC， ∴＝. 又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD， ∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC. 設(shè)∠A＝∠ABD＝x， 則∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180， 解得x＝36，∴∠ABD＝36. 12．[解析] 本題要分△POQ∽△AOB和△POQ∽△BOA兩種情況進行求解，可根據(jù)相似得出比例式求出t的值． 解：①當運動t秒時，BQ＝t，OQ＝6－t，OP＝t. 若△POQ∽△AOB，則＝， 即＝， 整理，得12－2t＝t， 解得t＝4. ②若△POQ∽△BOA，則＝， 即＝. 整理，得6－t＝2t，解得t＝2. ∵0＜t＜6， ∴t＝4和t＝2均符合題意． 綜上可知，當t＝4或t＝2時，△POQ與△AOB相似． [素養(yǎng)提升] 解：(1)證明：∵△ABC和△EDC均為等邊三角形， ∴BC＝AC，DC＝EC，∠BCA＝∠B＝60，∠DCE＝60， ∴∠BCA－∠DCA＝∠DCE－∠DCA， 即∠BCD＝∠ACE. 在△BCD和△ACE中，∵ ∴△BCD≌△ACE， ∴∠B＝∠CAE＝60， ∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC. (2)仍有AE∥BC.理由： 由等腰三角形EDC∽等腰三角形ABC，得＝，∠DCE＝∠BCA，∠BCA－∠DCA＝∠DCE－∠DCA， ∴∠ECA＝∠DCB， ∴△ECA∽△DCB， ∴∠EAC＝∠B＝∠ACB， ∴AE∥BC.