2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十講 直線與圓.doc
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2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十講 直線與圓 直線與圓的位置有相交、相切、相離三種情形,既可從直線與圓交點的個數(shù)來判定,也可以從圓心到直線的距離與圓的半徑的大小比較來考察. 討論直線與圓的位置關(guān)系的重點是直線與圓相切,直線與圓相切涉及切線的性質(zhì)和判定、切線長定理、弦切角的概念和性質(zhì)、切割線定理等豐富的知識,這些豐富的知識對應(yīng)著以下基本圖形、基本結(jié)論: 注: 點與圓的位置關(guān)系和直線與圓的位置關(guān)系的確定有共同的精確判定方法,即量化的方法(距離與半徑的比較),我們稱“由數(shù)定形”,勾股定理的逆定理也具有這一特點. 【例題求解】 【例1】 如圖,AB是半圓O的直徑,CB切⊙O于B,CD切⊙O于D,交BA的延長線于E,若EA=1,ED=2,則BC的長為 . 思路點撥 從C點看,可用切線長定理,從E點看,可用切割線定理,而連OD,則OD⊥EC,又有相似三角形,先求出⊙O的半徑. 注:連結(jié)圓心與切點是一條常用的輔助線,利用切線的性質(zhì)可構(gòu)造出直角三角形,在圓的證明與計算中有廣泛的應(yīng)用. 【例2】 如圖,AB、AC與⊙O相切于B、C,∠A=50,點P是圓上異于B、C的一個動點,則∠BPC的度數(shù)是( ) A.65 B.115 C.60和115 D.130和50 思路點撥 略 【例3】 如圖,以等腰△ABC的一腰AB為直徑的⊙O交BC于D,過D作DE⊥AC于E,可得結(jié)論:DE是⊙O的切線. 問:(1)若點O在AB上向點B移動,以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓的交BC于D,DE⊥AC的條件不變,那么上述結(jié)論是否還成立?請說明理由; (2)如果AB=AC=5cm,sinA=,那么圓心O在AB的什么位置時,⊙O與AC相切? 思路點撥 (1)是結(jié)論探索題,(2)是條件探索題,從切線的判定方法和性質(zhì)入手,分別畫圖,方能求解. 【例4】 如圖,已知Rt△ABC中,AC=5,BC=12,∠ACB=90,P是AB邊上的動點(與點A、B不重合),Q是BC邊上的動點(與點B、C不重合). (1)當(dāng)PQ∥AC,且Q為BC的中點時,求線段PC的長; (2)當(dāng)PQ與AC不平行時,△CPQ可能為直角三角形嗎?若有可能,求出線段CQ的長的取值范圍;若不可能,請說明理由. 思路點撥 對于(2),易發(fā)現(xiàn)只有點P能作為直角頂點,建立一個研究的模型——以CQ為直徑的圓與線段AB的交點就是符合要求的點P,從直線與圓相切特殊位置入手,以此確定CQ的取值范圍. 注:判定一直線為圓的切線是平面幾何中一種常見問題,判定的基本方法有: (1)從直線與圓交點個數(shù)入手; (2)利用角證明,即證明半徑和直線垂直; (3)運用線段證明,即證明圓心到直線的距離等于半徑. 一個圓的問題,從不同的條件出發(fā),可有不同的添輔助線方式,進而可得不同的證法,對于分層次設(shè)問的問題,需整體考慮; 【例5】如圖,在正方形ABCD中,AB=1,是以點B為圓心,AB長為半徑的圓的一段弧,點E是邊AD上的任意一點(點E與點A、D不重合),過E作所在圓的切線,交邊DC于點F,G為切點. (1)當(dāng)∠DEF=45時,求證點G為線段EF的中點; (2)設(shè)AE=x,F(xiàn)C=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域; (3)將△DEF沿直線EF翻折后得△D1EF,如圖,當(dāng)EF=時,討論△AD1D與△ED1F是否相似,如果相似,請加以證明;如果不相似,只要求寫出結(jié)論,不要求寫出理由. 思路點撥 圖中有多條⊙B的切線,由切線長定理可得多對等長線段,這是解(1)、(2)問的基礎(chǔ),對于(3),由(2)求出的值,確定E點位置,這是解題的關(guān)鍵. 注:本例將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中,綜合了圓的有關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等豐富的知識,并結(jié)合了待定系數(shù)法、數(shù)形互 助等思想方法,具有較強的選拔功能. 學(xué)力訓(xùn)練 1.如圖,AB為⊙O的直徑,P點在AB延長線上,PM切⊙O于M點,若OA=, FM=,那么△PMB的周長為 . 2.PA、PB切⊙O于A、B,∠APB=78,點C是⊙O上異于A、B的任意一點,則 ∠ACB= . 3.如圖,EB、EC是⊙O的兩條切線,B、C是切點,A、D是⊙O上兩點,如果∠F=46,∠DCF=32,則∠A的度數(shù)是 . 4.如圖,以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于D,過點D作⊙O的切線交AC于E,要使DE⊥AC,則△ABC的邊必須滿足的條件是 . 5.、表示直線,給出下列四個論斷:①∥;②切⊙O于點A;③切⊙O于點B;④AB是⊙O的直徑.若以其中三個論斷作為條件,余下的一個作為結(jié)論,可以構(gòu)造出一些命題,在這些命題中,正確命題的個數(shù)為( ) 1 B.2 C.3 D.4 6.如圖,圓心O在邊長為的正方形ABCD的對角線BD上,⊙O過B點且與AD、DC邊均相切,則⊙O的半徑是( ) A. B. C. D. 7.直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90,AD+BC- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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