2019高考數(shù)學大二輪復習 專題七 概率與統(tǒng)計 專題能力訓練20 概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 理.doc

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專題能力訓練20　概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 一、能力突破訓練 1.某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30 之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. 2.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù): x 0 1 2 3 y m 3 5.5 7 已求得關于y與x的線性回歸方程為y^=2.1x+0.85,則m的值為(　　) A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5 3.某市2016年各月的平均氣溫(℃)數(shù)據(jù)的莖葉圖如下: 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是(　　) A.19 B.20 C.21.5 D.23 4.(2018全國Ⅱ,理8)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如30=7+23.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是(　　) A.112 B.114 C.115 D.118 5.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系,隨機調查了該社區(qū)5戶家庭,得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表: 收入x/萬元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/萬元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程y^=b^x+a^,其中b^=0.76,a^=y-b^ x.據(jù)此估計,該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　　) A.11.4萬元 B.11.8萬元 C.12.0萬元 D.12.2萬元 6. 如圖,點A的坐標為(1,0),點C的坐標為(2,4),函數(shù)f(x)=x2.若在矩形ABCD內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于　　　　. 7.有一個底面圓的半徑為1,高為2的圓柱,點O為這個圓柱底面圓的圓心,在這個圓柱內隨機取一點P,則點P到點O的距離大于1的概率為　　　　　. 8.某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品,產量分別為200,400,300,100件.為檢驗產品的質量,現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗,則應從丙種型號的產品中抽取　　　　　件. 9.一輛小客車有5個座位,其座位號為1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號從小到大的順序先后上車,乘客P1因身體原因沒有坐1號座位,這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個座位的剩余空位中任意選擇座位. (1)若乘客P1坐到了3號座位,其他乘客按規(guī)則就座,則此時共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法,請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處); 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (2)若乘客P1坐到了2號座位,其他乘客按規(guī)則就座,求乘客P5坐到5號座位的概率. 10.(2018全國Ⅲ,理18)某工廠為提高生產效率,開展技術創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產任務的兩種新的生產方式.為比較兩種生產方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產方式,第二組工人用第二種生產方式.根據(jù)工人完成生產任務的工作時間(單位:min)繪制了如下莖葉圖: (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產方式的效率更高?并說明理由. (2)求40名工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)m,并將完成生產任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表: 超過m 不超過m 第一種生產方式 第二種生產方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,能否有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異? 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 11.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(單位:t)與相應的生產能耗y(單位:噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù). x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖; (2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程y^=b^x+a^; (3)已知該廠技術改造前生產100 t甲產品的生產能耗為90噸標準煤.試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預測生產100 t甲產品的生產能耗比技術改造前降低多少噸標準煤? (參考數(shù)值:32.5+43+54+64.5=66.5) 二、思維提升訓練 12.某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務質量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了下面的折線圖. 根據(jù)該折線圖,下列結論錯誤的是(　　) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn) 13.某產品在某零售攤位的零售價x(單位:元)與每天的銷售量y(單位:個)的統(tǒng)計資料如下表所示:由表可得回歸直線方程y^=b^x+a^中的b^=-4,據(jù)此模型預測零售價為15元時,每天的銷售量為(　　) x 16 17 18 19 y 50 34 41 31 A.51個 B.50個 C.49個 D.48個 14.從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(　　) A.518 B. C. D. 15.從區(qū)間[0,1]隨機抽取2n個數(shù)x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,構成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為(　　) A.4nm B.2nm C.4mn D.2mn 16.如圖,在邊長為e(e為自然對數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為　　　　　. 17.記集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2,若在區(qū)域Ω1內任取一點M(x,y),則點M落在區(qū)域Ω2的概率為　　　　　. 18.(2018全國Ⅱ,理18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額y(單位:億元)的折線圖. 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額,建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,17)建立模型①:y^=-30.4+13.5t;根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1,2,…,7)建立模型②:y^=99+17.5t. (1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值; (2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠?并說明理由. 19.A,B,C三個班共有100名學生,為調查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時): A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)試估計C班的學生人數(shù); (2)從A班和C班抽出的學生中,各隨機選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假設所有學生的鍛煉時間相互獨立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率; (3)再從A,B,C三個班中各隨機抽取一名學生,他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位:小時),這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構成的新樣本的平均數(shù)記為μ1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0,試判斷μ0和μ1的大小.(結論不要求證明) 20.某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查,在高三的全體1 000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表,并得到如下直方圖: (1)若直方圖中前三組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù); (2)學習小組成員發(fā)現(xiàn),學習成績突出的學生,近視的比較多,為了研究學生的視力與學習成績是否有關系,對年級名次在1~50名和951~1 000名的學生進行了調查,得到如下數(shù)據(jù): 　　　年級名次 是否近視　　　 1~50 951~1 000 近視 41 32 不近視 9 18 根據(jù)表中的數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系? (3)在(2)中調查的100名學生中,按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人,進一步調查他們良好的護眼習慣,并且在這9人中任取3人,記名次在1~50名的學生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望. 附: P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.  專題能力訓練20　概率、統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 一、能力突破訓練 1.B　解析 這是幾何概型問題,總的基本事件空間如圖所示,共40分鐘,等車時間不超過10分鐘的時間段為7:50至8:00和8:20至8:30,共20分鐘,故他等車時間不超過10分鐘的概率為P=2040=12,故選B. 2.D　解析 由題意,得x=1.5,y=14(m+3+5.5+7)=m+15.54,將(x,y)代入線性回歸方程y^=2.1x+0.85,得m=0.5. 3.B　解析 由莖葉圖可知,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為20+202=20. 4.C　解析 不超過30的素數(shù)有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10個.其中和為30的有7+23,11+19,13+17共3種情況,故P=3C102=115. 5.B　解析 ∵x=8.2+8.6+10+11.3+11.95=10,y=6.2+7.5+8+8.5+9.85=8, ∴a^=y-0.76x=8-0.7610=0.4. ∴y^=0.76x+0.4. 當x=15時,y^=0.7615+0.4=11.8. 6.512　解析 ∵S陰影=12 (4-x2)dx=,S矩形ABCD=4, ∴P=S陰影S矩形ABCD=512. 7.23　解析 設“點P到點O的距離大于1”為事件A,則A表示事件“點P到點O的距離小于或等于1”.在圓柱內以O為球心,以1為半徑作半球,則半球的體積V半球=124π313=2π3, 又V圓柱=π122=2π,由幾何概型,P(A)=V半球V圓柱=13.故所求事件A的概率P(A)=1-P(A)=1-13=23. 8.18　解析 抽取比例為601 000=350,故應從丙種型號的產品中抽取300350=18(件),答案為18. 9.解 (1)當乘客P1坐在3號位置上,此時P2的位置沒有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可選剩下的任何一個座位,即可選1,4,5;當P3選1位置,P4位置沒被占,只能選4位置,P5選剩下的,只有一種情況;當P3選4位置,P4可選5位置也可選1位置,P5選剩下的,有兩種情況;當P3選5位置,P4只可選4位置,P5選剩下的,有一種情況,填表如下: 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1 (2)若乘客P1坐到了2號座位,其他乘客按規(guī)則就坐,則所有可能的坐法可用下表表示: 于是,所有可能的坐法共8種. 設“乘客P5坐到5號座位”為事件A,則事件A中的基本事件的個數(shù)為4,所以P(A)=48=12. 所以乘客P5坐到5號座位的概率是12. 10.解 (1)第二種生產方式的效率更高. 理由如下: ①由莖葉圖可知,用第一種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至少80分鐘,用第二種生產方式的工人中,有75%的工人完成生產任務所需時間至多79分鐘.因此第二種生產方式的效率更高. ②由莖葉圖可知,用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘,用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產方式的效率更高. ③由莖葉圖可知,用第一種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間高于80分鐘;用第二種生產方式的工人完成生產任務平均所需時間低于80分鐘.因此第二種生產方式的效率更高. ④由莖葉圖可知,用第一種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖8上的最多,關于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布在莖7上的最多,關于莖7大致呈對稱分布.又用兩種生產方式的工人完成生產任務所需時間分布的區(qū)間相同,故可以認為用第二種生產方式完成生產任務所需的時間比用第一種生產方式完成生產任務所需的時間更少.因此第二種生產方式的效率更高. 以上給出了4種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分. (2)由莖葉圖知m=79+812=80. 列聯(lián)表如下: 超過m 不超過m 第一種生產方式 15 5 第二種生產方式 5 15 (3)由于K2=40(1515-55)220202020=10>6.635,所以有99%的把握認為兩種生產方式的效率有差異. 11.解 (1)由題設所給數(shù)據(jù),可得散點圖如圖. (2)由對照數(shù)據(jù),計算得∑i=14xi2=86,x=3+4+5+64=4.5(t),y=2.5+3+4+4.54=3.5(t). 已知∑i=14xiyi=66.5, 所以由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為 b^=∑i=14xiyi-4xy∑i=14xi2-4x2=66.5-44.53.586-44.52=0.7, a^=y-b^x=3.5-0.74.5=0.35. 因此,所求的線性回歸方程為y^=0.7x+0.35. (3)由(2)的回歸方程及技術改造前生產100 t甲產品的生產能耗,得降低的生產能耗為90-(0.7100+0.35)=19.65(噸標準煤). 二、思維提升訓練 12.A　解析 由題圖可知2014年8月到9月的月接待游客量在減少,故A錯誤. 13.C　解析 由題意知x=17.5,y=39,代入回歸直線方程得a^=109,即得回歸直線方程y^=-4x+109,將x=15代入回歸方程,得y^=-415+109=49,故選C. 14.C　解析 從分別標有1,2,…,9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次,每次抽取1張,共有A92種不同情況.其中2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的有(A51A41+A41A51)種情況,則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率P=A51A41+A41A51A92=59.故選C. 15.C　解析 利用幾何概型求解,由題意可知,14S圓S正方形=14π1212=mn,所以π=4mn. 16.2e2　解析 ∵S陰=201 (e-ex)dx=2(ex-ex)|01=2,S正方形=e2,∴P=2e2. 17.12π　解析 作圓O:x2+y2=4,區(qū)域Ω1就是圓O內部(含邊界),其面積為4π. 區(qū)域Ω2就是圖中△OAB內部(含邊界),且S△OAB=1222=2. 由幾何概型,點M落在區(qū)域Ω2的概率P=S△OABS圓O=12π. 18.解 (1)利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為y^=-30.4+13.519=226.1(億元). 利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為y^=99+17.59=256.5(億元). (2)利用模型②得到的預測值更可靠. 理由如下: (i)從折線圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線y=-30.4+13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y^=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預測值更可靠. (ii)從計算結果看,相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元,由模型①得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理,說明利用模型②得到的預測值更可靠. (以上給出了2種理由,答出其中任意一種或其他合理理由均可得分) 19.解 (1)由題意知,抽出的20名學生中,來自C班的學生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學生人數(shù)估計為100820=40. (2)設事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”,i=1,2,…,5, 事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”,j=1,2,…,8. 由題意可知,P(Ai)=15,i=1,2,…,5;P(Cj)=18,j=1,2,…,8. P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=1518=140,i=1,2,…,5,j=1,2,…,8. 設事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”. 由題意知,E=A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4. 因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15140=38. (3)μ1<μ0. 20.解 (1)設各組的頻率為fi(i=1,2,3,4,5,6), 由前三組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列,可得前三組的頻率成等比數(shù)列,后四組的頻率成等差數(shù)列,則f1=0.150.2=0.03,f2=0.450.2=0.09,f3=f22f1=0.27, 所以由(f3+f6)42=1-(0.03+0.09)得f6=0.17,所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83, 故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為1 0000.83=830. (2)K2的觀測值k=100(4118-329)250507327=30073≈4.110>3.841. 因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系. (3)依題意9人中年級名次在1~50名和951~1 000名分別有3人和6人, X可取0,1,2,3, P(X=0)=C63C93=521;P(X=1)=C62C31C93=1528, P(X=2)=C61C32C93=314;P(X=3)=C33C93=184. X的分布列為 X 0 1 2 3 P 521 1528 314 184 X的數(shù)學期望E(X)=0521+11528+2314+3184=1.