2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第8章 線段與角試題新人教版.doc

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2019-2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專(zhuān)題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第8章 線段與角試題新人教版 8．1線段與角度 8．1．1★在線段上有、兩點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)． 解析有兩種情況：點(diǎn)相鄰于點(diǎn)，或點(diǎn)相鄰于點(diǎn)． (1)當(dāng)點(diǎn)相鄰于點(diǎn)時(shí)，如圖(a)所示，此時(shí)． (2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)相鄰時(shí)，如圖(b)所示，此時(shí)． 8．1．2★如圖，已知，，的長(zhǎng)是66厘米，求之長(zhǎng)． 解析由于，、又與有關(guān)，所以，只要求出的長(zhǎng)即可． 因?yàn)椋? ． 因?yàn)椋ɡ迕祝?，所以，（厘米）? （厘米），（厘米），因此 （厘米）． 8．1．3★如圖，、、依次是線段上的三點(diǎn)，已知厘米，厘米，則圖中以、 、、、這5個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長(zhǎng)度之和等于多少厘米？ 解析以、、、、為端點(diǎn)的線段共十條，所以所有線段長(zhǎng)度之和為 （厘米）． 8．1．4★★將長(zhǎng)為10厘米的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個(gè)五邊形． 問(wèn)其中最長(zhǎng)的一段的取值范圍． 解析設(shè)是所圍成的五邊形的某一邊（如圖），而線段、、、則可看成是點(diǎn)、之間的一條折線，因此， ． 設(shè)最長(zhǎng)的一段的長(zhǎng)度為厘米，則其余4段的和為厘米．由線段基本性質(zhì)知，所以，又 ， 所以．即最長(zhǎng)的一段的長(zhǎng)度必須小于5厘米且不小于2厘米． 8．1．5★若一個(gè)角的余角與這個(gè)角的補(bǔ)角之比是，求這個(gè)角的鄰補(bǔ)角． 解析設(shè)這個(gè)角為，則這個(gè)角的余角為，這個(gè)角的補(bǔ)角為．依照題意，這兩個(gè)角的比為． 所以，，所以． 從而，這個(gè)角的鄰補(bǔ)角為． 8．1．6★如圖，是鈍角，、、是三條射線，若，平分，平分．求的度數(shù)． 解析設(shè)，則 ，． 因?yàn)?，所以．因此，? 8．1．7★★★中，是最小角，是最大角，且，若的最大值是，最小值 是，求的值． 解析根據(jù)題意，得． 因?yàn)?，，所? ， 即． ， 由此得，． 又因?yàn)椋? ， 即，所以． 所以，故 ． 8．1．8★在平面上，一個(gè)凸邊形的內(nèi)角和小于，求的最大值， 解析因?yàn)橥惯呅蔚膬?nèi)角和為，所以，，所以，． 又凸13邊形的內(nèi)角和為 ， 故的最大值是13． 8．1．9★如圖所示，求． 解析如圖所示，可得， ， 而， 所以． 8．1．10★如圖所示，，則____． 解析設(shè)與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，記，，則 ， ， ． 把此三式相加得 ， 所以． 8．1．11★如圖所示．平面上六個(gè)點(diǎn)、、、、、構(gòu)成一個(gè)封閉折線圖形．求 的度數(shù)． 解析所求的六個(gè)角中任意三個(gè)都不在同一個(gè)三角形中；兩個(gè)在同一個(gè)三角形中，而該三角形的第三個(gè)角的對(duì)頂角（共三個(gè)）在一個(gè)三角形中，于是，我們反復(fù)利用內(nèi)角和定理可得 ， ， ， 而，所以 ， 故． 8．1．12★★如圖，在中，為的中點(diǎn)，為上任一點(diǎn)．、分別為、的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線與相交于，則． 解析連結(jié)，則．于是 ， 所以， 8.1.13★★如圖，求圖中的大?。? 解析1如圖(a)，連結(jié)．在中，，在中，，又，所以．因此 ． 解析2如圖(b)，在中，由三角形外角的性質(zhì)，得 ， 所以 ． 評(píng)注由解析2可以看出，三角形外角的性質(zhì)雖很簡(jiǎn)單，卻很有用，它能把許多分散的角集中到一個(gè)三 角形（或多邊形）中來(lái)． 8．1．14★★如圖，平分，平分，與相交于，若，，求的度數(shù)． 解析連結(jié)．在中， 所以． 在中，，所以 ． 又因?yàn)椤⒎謩e為、的平分線，所以 ． 在中 ， 即． 所以． 8．1．15★★在中，，、、分別在、、上，且．求證： ． 解析如圖，易知． 因?yàn)? ， 又 ， 于是． 此即． 8．1．16★如圖，平分，平分，若，，求的度數(shù)（用、表示）． 解析如圖，由與的內(nèi)角和是可得 ， 由與的內(nèi)角和是可得 ， 所以 ． 8.1.17★★★如圖，求的大小，此處即，余類(lèi)推， 解析連結(jié)、、、．由四邊形內(nèi)角和是可知， ． ， ， ， ， 因此 ． 而，所以，從而 ， 所以 ． 8．1．18★若時(shí)鐘由2點(diǎn)30分走到2點(diǎn)50分，問(wèn)：時(shí)針和分針各轉(zhuǎn)過(guò)多大的角度？ 解析在2點(diǎn)30分，分針指向教字6，在2點(diǎn)50分，分針指向數(shù)字10，因此，分針轉(zhuǎn)過(guò)了4“格”，而每1“格”為，所以，分針共轉(zhuǎn)過(guò)了． 由于時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度的，所以，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了． 評(píng)注在鐘表問(wèn)題中，有許多有關(guān)時(shí)針、分針的轉(zhuǎn)角問(wèn)題，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是：時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是分針轉(zhuǎn)動(dòng)速度的，鐘面上每1“格”是． 8.1.19時(shí)鐘里，時(shí)針從5點(diǎn)整的位置起，順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)多少度時(shí)，分針與時(shí)針第一次重合？ 解析在開(kāi)始時(shí)，分針“落后”于時(shí)針．設(shè)分針與時(shí)針第一次重合時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了角，那么，分針轉(zhuǎn)動(dòng)了．因?yàn)榉轴樲D(zhuǎn)速是時(shí)針的12倍，所以 ， ． 即時(shí)針順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，分針與時(shí)針重合． 評(píng)注鐘表里的分針與時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題本質(zhì)上與行程問(wèn)題中的兩人追趕問(wèn)題非常相似．行程問(wèn)題中的 距離相當(dāng)于這里的角度；行程問(wèn)題中的速度相當(dāng)于這里時(shí)（分）針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度． 8．1．20★★在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在何時(shí) (1)成； (2)成． 解析(1)如圖(a)，在4點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針恰成．由于所問(wèn)的時(shí)間是介于4點(diǎn)到5點(diǎn)之間，因此，這個(gè)時(shí)間不能計(jì)入，從4點(diǎn)開(kāi)始，分針與時(shí)針之間的角度先逐步減少，直至兩針重合（夾角為）．之后，分針“超過(guò)”時(shí)針，兩針之間的夾角又逐漸增大（此時(shí)，分針在時(shí)針的前面）．直到兩針夾角又一次成為，這個(gè)時(shí)間正是我們所要求的． 設(shè)時(shí)針順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角后，時(shí)針與分針（分針在時(shí)針前）成，則 ． 所以． 由于時(shí)針每轉(zhuǎn)過(guò)（如從指向數(shù)字4轉(zhuǎn)到指向數(shù)字5）相當(dāng)于1小時(shí)（60分鐘）．所以時(shí)針每轉(zhuǎn)過(guò) 相當(dāng)于經(jīng)過(guò)2分鐘，相當(dāng)于經(jīng)過(guò)了 （分鐘）． 因此，在4點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針成角． (2)如圖(b)、(c)所示，由于在整4點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針夾角為，因此，在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針 與分針成有兩種情況： (i)時(shí)針在分針之前(如圖(b))．設(shè)時(shí)針轉(zhuǎn)了角，分針轉(zhuǎn)了角，有 ， 所以， 即 用時(shí) （分鐘） (ii)時(shí)針在分針之后(如圖(c))，此時(shí)，有關(guān)系 ， ， 所以． 用時(shí) （分鐘） 綜上所述，在4點(diǎn)到5點(diǎn)之間，在4點(diǎn)分與4點(diǎn)分兩個(gè)時(shí)間時(shí)，時(shí)針與分針成． 評(píng)注由于時(shí)針與分針?biāo)山且罆r(shí)針與分針的“前”“后”次序有兩種情況，因此，按兩針夾角情況會(huì)出現(xiàn)一解或兩解． 8．1．21★如圖所示，在中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，求的大?。? 解析在線段上取點(diǎn)，使得（事實(shí)上，只要以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，與交于點(diǎn)即可）．設(shè)，則，，，于是 ． 又，所以，于是 ， 而，所以． 故為正三角形，所以，，即． 8．1．22★★如圖(a)，在四邊形中，，，，求 的度數(shù)． 解析作點(diǎn)，如圖(b)其與點(diǎn)在邊的同側(cè)，使得是正三角形，則與是等腰三角形，其中，， 因此 ，， 故，所以，點(diǎn)在線段 上，所以． 8.2特殊角 8．2．1★以的邊為直徑作圓，與邊交于，與交于(、不與、重合)， ，中有一內(nèi)角是另一個(gè)的2倍，求的3個(gè)內(nèi)角． 解析、為的高，在內(nèi)部，故為銳角三角形． 如圖，由于，故，故． 剩下的角中，不可能有或，故只可能是一個(gè)為，另一個(gè)為． 8．2．2★中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，， 求． 解析如圖，，又，故為的外心，． 又，故，為正三角形，所以． 8．2．3★★將一個(gè)等腰三角形劃分成兩個(gè)較小的等腰三角形，問(wèn)這樣的有幾種形狀？并 將所有形狀都列出來(lái)． 解析如圖，設(shè)等腰三角形分成與．不妨設(shè)，于是，等腰三角形中，只能有．這時(shí)，而有三種情況． (1)，則，為等腰直角三角形． (2)．設(shè)，則，，，由于，．若，則，得；若，則．得， 這兩種情況都是解． (3)，，，顯然．由得， 故． 綜上，總共有4組解，所求等腰三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為(，，)、(，，)、 、． 8．2．4★★設(shè)內(nèi)有一點(diǎn)，，，又，，求 ． 解析如圖，作，則 ． 又由正弦定理， ， 于是，． 而，所以． 8．2．5★★已知中，，，在內(nèi)，且，求的大?。? 解析如圖，在外作正三角形，則，，，故 ，，又，，有，故． 8．2．6★★★已知中，，，求證：為外接圓半徑． 解析如圖，延長(zhǎng)至，使，則，．取中點(diǎn)，則，，又作的外心，則為外接圓半徑，． 故，． 而，故． 評(píng)注證明四邊形為等腰梯形也可，這樣就無(wú)須點(diǎn)了． 8．2．7已知中，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，求． 解析如圖，在上找一點(diǎn)，使． 易知， ， 兩式相乘，得， 于是，故，，所以． 8．2．8★★★已知等腰，底角，點(diǎn)、分別在、上，、 交于點(diǎn)，，，連結(jié)，求． 解析如圖，在上找一點(diǎn)，使或，連結(jié)． 由于，故．． 又，故．若設(shè)在上的垂足為，則．因此， ，． 而、、、共圓，故． 8．2．9★★★中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，， 求． 解析如圖，在內(nèi)作，則，于是， 為正三角形，，為外心，因此． 8．2．10★★★設(shè)點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求證：是等腰三角形． 解析如圖，作，且，連結(jié)、、． 易知，于是． ，．又，所以，為正三角形． 又，，所以為之外心，于是．垂直平分， 所以． 8．2．11★★★已知中，，在上，，在上，，求的大?。? 解析如圖，作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連結(jié)、、、，則為正三角形，． 設(shè)，則，．由于和關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故． 在以為圓心、為半徑的圓中，恰好是圓心角的一半的補(bǔ)角，故在該圓上， ，又，故，． 8．2．12★★★中．是角平分線，為邊上的高，若，求． 解析，故，，在上（而不是延長(zhǎng)線上）． ，，故． 于是延長(zhǎng)后，至、距離相等，又為角平分線，故至、距離相等，因此至、等距，平分，． （本題幾條輔助線用語(yǔ)言即可說(shuō)明，不添亦可．） 8．2．13★★★中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，，求． 解析如圖，與在同側(cè)作正三角形，則．又，故 ，．而，，故為外心，．而，所以． 8．2．14★★★如圖，凸四邊形中，、交于點(diǎn)，，， ，，求． 解析作的外心，則為正三角形，．連結(jié)，易知，故 ，則，， 于是．而， 故，于是，所以． 8．2．15★★★設(shè)中，，，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，求． 解析如圖，作，則．又， 故，于是，垂直平分，，． 故． 8．2．16★★★★中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，，，點(diǎn)是直線和的交點(diǎn)，證明：直線和垂直． 解析如圖，在外作正三角形，連結(jié)．，則， 故、、、共圓，．又易知，于是，而 ，所以，于是，從而，故 ．于是易見(jiàn)，．由于，故，這樣便有 ，與互余，因此． 8．2．17★★★★已知中，，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，求證：當(dāng)時(shí)有． 解析如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)、、、．在上取一點(diǎn)，使，則由得(設(shè)為1)，于是，， ．易見(jiàn)，，，設(shè)在上的垂足為，則，于是為中點(diǎn)，垂直平分，，因此． 8．2．18★★★如圖(a)，在凸四邊形中，，，．設(shè)線段、的垂直平分線的交點(diǎn)為，求的度數(shù)． 解析如圖(b)，連結(jié)、、、，另知，所以． 設(shè)，則 ． 所以 ， 所以，．于是 ， 8．2．19★★★★中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，， 求． 解析如圖，延長(zhǎng)至，使為正三角形，則，．于是是的外心，因此，，．于是， ，，故． 今作的平分線，在上，則，，故，，而，于是，即． 8．2．20★★★★已知點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，延長(zhǎng)后交于點(diǎn)，，， ，，求． 解析如圖，作平分線，與交于，與交于．易知， ，，． 由，知．，又由正弦定理及角平分線性質(zhì)，有 ． 于是，因此，而，故，由，得 ． 8．2．21 ★★★★中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，，求． 解析如圖，在外作，使，則，而 ，故為等腰梯形，且． 今在梯形內(nèi)作正三角形，則，，得，，同理，，因此與重合，故．