2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計 第一講 排列與組合、二項式定理學(xué)案 理.doc

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第一講　排列與組合、二項式定理 考點一　兩個計數(shù)原理 　分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘． [對點訓(xùn)練] 1．已知I＝{1,2,3}，A，B是集合I的兩個非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，則集合A，B共有(　　) A．12對 B．15對 C．18對 D．20對 [解析]　依題意，當(dāng)A，B均有一個元素時，有3對；當(dāng)B有一個元素，A有兩個元素時，有C＋C＋2＝8對；當(dāng)B有一個元素，A有三個元素時，有3對；當(dāng)B有兩個元素，A有三個元素時，有3對；當(dāng)A，B均有兩個元素時，有3對．所以共有3＋8＋3＋3＋3＝20對，選D. [答案]　D 2．(2018河北唐山二模)用兩個1，一個2，一個0可組成不同四位數(shù)的個數(shù)是(　　) A．18 B．16 C．12 D．9 [解析]　根據(jù)題意，分3步進行分析：①0不能放在千位，可以放在百位、十位和個位，有3種情況，②在剩下的3個數(shù)位中任選1個，安排2，有3種情況，③在最后2個數(shù)位安排2個1，有1種情況，則可組成33＝9個不同的四位 數(shù)，故選D. [答案]　D 3.現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行涂色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是(　　) A．120 B．140 C．240 D．260 [解析]　由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，最后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，則C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有54(14＋33)＝260(種)，故選D. [答案]　D [快速審題]　看到計數(shù)問題，想到分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理． 　兩個計數(shù)原理的應(yīng)用技巧 (1)在應(yīng)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理時，一般先分類再分步，每一步當(dāng)中又可能用到分類計數(shù)原理． (2)對于復(fù)雜的兩個原理綜合使用的問題，可恰當(dāng)列出示意圖或表格，使問題形象化、直觀化． 考點二　排列、組合 排列與組合的異同點 [對點訓(xùn)練] 1．馬路上有七盞路燈，晚上用時只亮三盞燈，且任意兩盞亮燈不相鄰，則不同的開燈方案共有(　　) A．60種 B．20種 C．10種 D．8種 [解析]　根據(jù)題意，可分兩步完成： 第一步，先安排四盞不亮的路燈，只有1種情況； 第二步，四盞不亮的路燈排好后，有5個空位，在5個空位中任意選3個，插入三盞亮的路燈，有C＝10(種)情況． 故不同的開燈方案共有110＝10(種)，故選C. [答案]　C 2．(2018山西四校聯(lián)考)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是(　　) A．72 B．120 C．144 D．168 [解析]　依題意，先僅考慮3個歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為AA＝144，其中3個歌舞類節(jié)目互不相鄰但2個小品類節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為AAA＝24，因此滿足題意的排法種數(shù)為144－24＝120，選B. [答案]　B [探究追問]　(1)若第2題中，“同類節(jié)目不相鄰”改為“同類節(jié)目必須相鄰”，則有多少種不同的排法？ (2)若第2題中，“同類節(jié)目不相鄰”改為“相聲類節(jié)目不排第一個，小品類節(jié)目不排最后一個，則有多少種不同的排法？” [解析]　(1)(捆綁法)將歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目分別各自作一個節(jié)目與相聲類節(jié)目排列，共有A種不同排法．又歌舞類節(jié)目有A種排法，小品類節(jié)目有A種排法，所以共有AAA＝72(種)不同排法． (2)分兩類：第一類，若第一個節(jié)目排歌舞類，由于最后一個不排小品類節(jié)目，有AAA＝216(種)排法；第二類，若第一個節(jié)目排小品類節(jié)目，則有AAA＝192(種)排法．故共有216＋192＝408(種)不同的排法． [答案]　(1)72種　(2)408種 3．(2018全國卷Ⅰ)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案) [解析]　解法一：從2位女生，4位男生中選3人，且至少有1位女生入選的情況有以下2種：①2女1男：有CC＝4種選法；②1女2男：有CC＝12種選法，故至少有1位女生入選的選法有4＋12＝16種． 解法二：從2位女生，4位男生中選3人有C＝20種選法，其中選出的3人都是男生的選法有C＝4種，所以至少有1位女生入選的選法有20－4＝16種． [答案]　16 4．(2018北京西城一模)某種產(chǎn)品的加工需要A，B，C，D，E五道工藝，其中A必須在D的前面完成(不一定相鄰)，其他工藝的順序可以改變，但不能同時進行，為了節(jié)省加工時間，B與C必須相鄰，那么完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有________種．(用數(shù)字作答) [解析]　B與C必須相鄰，看作一個元素，與剩下三個元素全排列共有A種排法，而B與C的順序有A種排法，又A必須在D的前面完成，所以完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有＝24(種)． [答案]　24 [快速審題]　(1)看到“在”與“不在”的排列問題，想到特殊優(yōu)先原則． (2)看到相鄰問題，想到捆綁法；看到不相鄰問題，想到插空法． (3)看到“至少”“最多”的問題，想到用直接法或間接法． 　解排列組合綜合問題的4個角度 考點三　二項式定理 1．通項與二項式系數(shù) Tk＋1＝Can－kbk(k＝0,1,2，…，n)，其中C叫做二項式系數(shù)． 2．二項式系數(shù)的性質(zhì) (1)C＝C，C＝C，…，C＝C； (2)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (3)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [對點訓(xùn)練] 1．(2018山東棗莊二模)若(x2－a)10的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于(　　) A. B. C．1 D．2 [解析]　10展開式的通項公式為Tr＋1＝Cx10－rr＝Cx10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4項的系數(shù)為C；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6項的系數(shù)為C，所以(x2－a)10的展開式中x6的系數(shù)為C－aC＝30，解得a＝2.故選D. [答案]　D 2．(2018河北邯鄲二模)在n的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為(　　) A．15 B．45 C．135 D．405 [解析]　 [答案]　C 3．(2018福建漳州二模)已知(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，則a2＋a3＋…＋a9＋a10的值為(　　) A．－20 B．0 C．1 D．20 [解析]　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1，再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0，又易知a1＝C21(－1)9＝－20，所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20. [答案]　D 4．(2018浙江卷)二項式8的展開式的常數(shù)項是________． [解析]　 [答案]　7 [快速審題]　(1)看到展開式中求二項式系數(shù)或項的系數(shù)，想到二項展開式的通項． (2)看到二項式的系數(shù)和問題，想到用賦值法． 　利用二項式定理求解的3種常用思路 (1)二項式定理中最關(guān)鍵的是通項公式，求展開式中特定的項或者特定項的系數(shù)均是利用通項公式和方程思想解決的． (2)二項展開式的系數(shù)之和通常是通過對二項式及其展開式中的變量賦值得出的，注意根據(jù)展開式的形式給變量賦值． (3)二項展開式的最大項是通過不等式組確定的． 1．(2017全國卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有(　　) A．12種 B．18種 C．24種 D．36種 [解析]　第一步：將4項工作分成3組，共有C種分法． 第二步：將3組工作分配給3名志愿者，共有A種分配方法，故共有CA＝36種安排方式，故選D. [答案]　D 2．(2018全國卷Ⅲ)5的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．40 D．80 [解析]　5的展開式的通項Tr＋1＝C(x2)5－r(2x－1)r＝2rCx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系數(shù)為22C＝40.故選C. [答案]　C 3．(2017全國卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 [解析]　(2x－y)5的展開式的通項為Tr＋1＝C(2x)5－r(－y)r＝(－1)r25－rCx5－ryr.其中x2y3項的系數(shù)為(－1)322C＝－40，x3y2項的系數(shù)為(－1)223C＝80.于是(x＋y)(2x－y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為－40＋80＝40. [答案]　C 4．(2018浙江卷)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(用數(shù)字作答) [解析]　含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有CCAA＝540個，不含有數(shù)字0的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有CCA＝720個，故一共可以組成540＋720＝1260個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)． [答案]　1260 5．(2017天津卷)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個．(用數(shù)字作答) [解析]　有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)有CCA＝960個．沒有偶數(shù)的四位數(shù)有A＝120個．故這樣的四位數(shù)一共有960＋120＝1080個． [答案]　1080 1.排列、組合在高中數(shù)學(xué)中占有特殊的位置，是高考的必考內(nèi)容，很少單獨命題，主要考查利用排列、組合知識計算古典概型． 2．二項式定理仍以求二項展開式的特定項、特定項的系數(shù)及二項式系數(shù)為主，題目難度一般，多出現(xiàn)在第9～10或第13～15題的位置上． 熱點課題17　分類討論思想在排列組合中的應(yīng)用 [感悟體驗] 1．(2018濟南二模)某校開設(shè)5門不同的數(shù)學(xué)選修課，每位同學(xué)可以從中任選1門或2門課學(xué)習(xí)，甲、乙、丙三位同學(xué)選擇的課沒有一門是相同的，則不同的選法共有(　　) A．330種 B．420種 C．510種 D．600種 [解析]　當(dāng)甲、乙、丙三位同學(xué)都只選1門，不同的選法有A＝60(種)；當(dāng)甲、乙、丙三位同學(xué)有一位選1門，另外兩位選2門，不同的選法有CCCC＝90(種)；當(dāng)甲、乙、丙三位同學(xué)有兩位選1門，另一位選2門，不同的選法有CCCC＝180(種)，共有60＋90＋180＝330(種)． [答案]　A 2．現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張．不同取法的種數(shù)為(　　) A．232 B．252 C．472 D．484 [解析]　由題意，不考慮特殊情況，共有C種取法，其中同一種顏色的卡片取3張，有4C種取法，3張卡片中紅色卡片取2張有CC種取法，故所求的取法共有C－4C－CC＝560－16－72＝472種，選C. [答案]　C 專題跟蹤訓(xùn)練(二十八) 一、選擇題 1．(2018惠州市二調(diào))旅游體驗師小李受某網(wǎng)站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小李可選的旅游路線數(shù)為(　　) A．24 B．18 C．16 D．10 [解析]　分兩種情況，第一種：若最后去甲景區(qū)，則有A種可選的路線；第二種：若不在最后去甲景區(qū)，則有CA種可選的路線．所以小李可選的旅游路線數(shù)為A＋CA＝10.故選D. [答案]　D 2．(2018開封市定位考試)某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科．學(xué)生甲要想報考某高校的法學(xué)專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為(　　) A．6 B．12 C．18 D．19 [解析]　解法一：在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC＝9(種)；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC＝9(種)；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種，所以學(xué)生甲的選考方法共有9＋9＋1＝19(種)，故選D. 解法二：從六科中選考三科的選法只有C種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法只有1種，因此學(xué)生甲的選考方法共有C－1＝19(種)，故選D. [答案]　D 3．(2018廣西貴港市聯(lián)考)在6的展開式中，常數(shù)項為(　　) A．－240 B．－60 C．60 D．240 [解析]　6的展開式中，通項公式為Tr＋1＝C(x2)6－rr＝(－2)rCx12－3r，令12－3r＝0，得r＝4，故常數(shù)項為T5＝(－2)4C＝240，故選D. [答案]　D 4．(2018長郡中學(xué)實驗班選拔考試)若二項式7的展開式中的各項系數(shù)之和為－1，則含x2的項的系數(shù)為(　　) A．560 B．－560 C．280 D．－280 [解析]　取x＝1，得二項式7的展開式中的各項系數(shù)之和為(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得a＝－2.二項式7的展開式的通項為Tr＋1＝C(x2)7－rr＝C(－2)rx14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二項式7的展開式中含x2項的系數(shù)為C(－2)4＝560，故選A. [答案]　A 5．將5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、中山大學(xué)這3所大學(xué)就讀，每所大學(xué)至少保送1人，則不同的保送方法共有(　　) A．150種 B．180種 C．240種 D．540種 [解析]　先將5人分成三組，3,1,1或2,2,1，共有C＋C＝25(種)分法；再將三組學(xué)生分到3所學(xué)校有A＝6(種)分法，故共有256＝150(種)不同的保送方法．故選A. [答案]　A 6．(2018廣州一模)(x＋1)6的展開式的常數(shù)項為(　　) A．54 B．56 C．58 D．60 [解析]　(x＋1)6的展開式的常數(shù)項就是6的展開式的常數(shù)項與x－1項的系數(shù)之和.6的展開式的通項Tr＋1＝C(2x2)6－rr＝(－1)r26－rCx12－3r，令12－3r＝0得r＝4，所以常數(shù)項是(－1)422C＝60，令12－3r＝－1得r＝，不符合題意，所以6的展開式的x－1項是不存在的，故選D. [答案]　D 7．(2018廣東肇慶三模)(x＋2y)7的展開式中，系數(shù)最大的項是(　　) A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1344x2y5 [解析]　設(shè)第r＋1項的系數(shù)最大， 又∵r∈Z，∴r＝5.∴系數(shù)最大的項為T6＝Cx225y5＝672x2y5.故選C. [答案]　C 8．(2018衡水一模)已知身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為(　　) A．24 B．28 C．36 D．48 [解析]　按紅紅之間有藍、無藍這兩類來分情況研究．(1)當(dāng)紅紅之間有藍時，則有AA＝24種情況；(2)當(dāng)紅紅之間無藍時，則有CACC＝24種情況．因此這五個人排成一行，穿相同顏色衣服的人不能相鄰，共有24＋24＝48種排法．故選D. [答案]　D 9．(2018廣東珠海模擬)將5個不同的球放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則不同放法共有(　　) A．480種 B．360種 C．240種 D．120種 [解析]　根據(jù)題意，將5個不同的球放入4個不同的盒子中，每個盒子至少放一個球，則必須有2個小球放入1個盒子，其余的小球各單獨放入一個盒子，分2步進行分析：①先將5個小球分成4組，有C＝10種分法；②將分好的4組全排列，放入4個盒子，有A＝24種情況，則不同放法有1024＝240種．故選C. [答案]　C 10．(2018甘肅二診)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1個10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的情況有(　　) A．18種 B．24種 C．36種 D．48種 [解析]　若甲、乙搶到的是一個6元和一個8元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12(種)；若甲、乙搶到的是一個6元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AA＝12(種)；若甲、乙搶到的是一個8元和一個10元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有AC＝6(種)；若甲、乙搶到的是兩個6元的紅包，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶走，有A＝6(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有36種情況，故選C. [答案]　C 11.(2018合肥市三模)某社區(qū)新建了一個休閑小公園，幾條小徑將公園分成5塊區(qū)域，如圖所示．社區(qū)準(zhǔn)備從4種顏色不同的花卉中選擇若干種種植在各塊區(qū)域，要求每個區(qū)域種植一種顏色的花卉，且相鄰區(qū)域(有公共邊的)所選花卉顏色不能相同，則不同種植方法的種數(shù)為(　　) A．96 B．114 C．168 D．240 [解析]　首先在a中種植，有4種不同方法，其次在b中種植，有3種不同方法，再次在c中種植，若c與b同色，則d有3種不同方法，若c與b不同色，c有2種不同方法，d有2種不同方法，最后在e中種植，有2種不同方法，所以不同的種植方法共有43132＋43222＝168(種)，故選C. [答案]　C 12．(2018鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測)將數(shù)字“124467\”重新排列后得到不同的偶數(shù)的個數(shù)為(　　) A．72 B．120 C．192 D．240 [解析]　若將數(shù)字“124467”重新排列后所得數(shù)字為偶數(shù)，則末位數(shù)應(yīng)為偶數(shù)，①若末位數(shù)字為2，因為含有2個4，所以偶數(shù)有＝60(個)；②若末位數(shù)字為6，同理偶數(shù)有＝60(個)；③若末位數(shù)字為4，因為有兩個相同數(shù)字4，所以偶數(shù)有54321＝120(個)．綜上可知，不同的偶數(shù)共有60＋60＋120＝240(個)． [答案]　D 二、填空題 13．(2018海南省五校二模)從數(shù)字0,1,2,3,4中任意取出3個不重復(fù)的數(shù)字組成三位數(shù)，則組成的三位數(shù)中是3的倍數(shù)的有________個． [解析]　若取出的3個數(shù)字中包含0，則由數(shù)字0,1,2或0,2,4組成的三位數(shù)滿足題意，共組成8個三位數(shù)；若取出的3個數(shù)字中不包含0，則由數(shù)字1,2,3或2,3,4組成的三位數(shù)滿足題意，組成的三位數(shù)共有2A＝12(個)．綜上可知，共有20個三位數(shù)滿足題意． [答案]　20 14．(2018東北三省四市二模)現(xiàn)將5張連號的電影票分給甲、乙等5個人，每人一張，若甲、乙分得的電影票連號，則共有________種不同的分法．(用數(shù)字作答) [解析]　電影票號碼相鄰只有4種情況，則甲、乙2人在這4種情況中選一種，共C種選法，將2張連號的票分給甲、乙，共有A種分法；其余3張票分給其他3個人，共有A種分法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得共有CAA＝48(種)分法． [答案]　48 15．(2018湖北黃岡期末)設(shè)(1－ax)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2018a2018＝2018a(a≠0)，則實數(shù)a＝________. [解析]　已知(1－ax)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018，兩邊同時對x求導(dǎo)， 得2018(1－ax)2017(－a)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2018a2018x2017， 令x＝1得，－2018a(1－a)2017＝a1＋2a2＋3a3＋…＋2018a2018＝2018a， 又a≠0，所以(1－a)2017＝－1，即1－a＝－1，故a＝2. [答案]　2 16．設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動，質(zhì)點落在點(3,0)(允許重復(fù)過此點)處，則質(zhì)點不同的運動方法共有________種(用數(shù)字作答)． [解析]　解法一：在x軸上，標(biāo)出A(1,0)，B(2,0)，C(3,0)，D(4,0)，E(－1,0)，依題意知，跳動4次后，只有在B點或D點可跳到C點，畫出樹狀圖，可得結(jié)果為5. OEOABCAOABCBABCCBCDC 解法二：將向右跳一次記為＋1，向左跳一次記為－1，需要其和為＋3，那么應(yīng)為4個＋1,1個－1，∴質(zhì)點不同的運動方法共有C＝5種． [答案]　5