2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修三教案:2-3 變量間的相關(guān)關(guān)系.doc
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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修三教案:2-3 變量間的相關(guān)關(guān)系 項目 內(nèi)容 課題 2.3 變量間的相關(guān)關(guān)系 (共 2 課時) 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標 1.通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)認識變量間的相關(guān)關(guān)系. 2.明確事物間的相互聯(lián)系.認識現(xiàn)實生活中變量間除了存在確定的關(guān)系外,仍存在大量的非確定性的相關(guān)關(guān)系,并利用散點圖直觀體會這種相關(guān)關(guān)系. 3.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程.知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程. 教學(xué)重、 難點 教學(xué)重點:通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系;利用散點圖直觀認識兩個變量之間的線性關(guān)系;根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程. 教學(xué)難點:變量之間相關(guān)關(guān)系的理解;作散點圖和理解兩個變量的正相關(guān)和負相關(guān);理解最小二乘法的思想. 教學(xué) 準備 多媒體課件 教學(xué)過程 第1課時 導(dǎo)入新課 在學(xué)校里,老師對學(xué)生經(jīng)常這樣說:“如果你的數(shù)學(xué)成績好,那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題.”按照這種說法,似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著一種相關(guān)關(guān)系.這種說法有沒有根據(jù)呢? 請同學(xué)們?nèi)鐚嵦顚懴卤恚ㄔ诳崭裰写颉啊獭?): 好 中 差 你的數(shù)學(xué)成績 你的物理成績 學(xué)生討論:我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)成績和物理成績存在某種關(guān)系.(似乎就是數(shù)學(xué)好的,物理也好;數(shù)學(xué)差的,物理也差,但又不全對.)物理成績和數(shù)學(xué)成績是兩個變量,從經(jīng)驗看,由于物理學(xué)習(xí)要用到比較多的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法.數(shù)學(xué)成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的.但決非唯一因素,還有其他因素,如是否喜歡物理,用在物理學(xué)習(xí)上的時間等等.(總結(jié):不能通過一個人的數(shù)學(xué)成績是多少就準確地斷定他的物理成績能達到多少.但這兩個變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.如何通過數(shù)學(xué)成績的結(jié)果對物理成績進行合理估計有非常重要的現(xiàn)實意義.)為很好地說明上述問題,我們開始學(xué)習(xí)變量之間的相關(guān)關(guān)系和兩個變量的線性相關(guān).(教師板書課題) 推進新課 新知探究 提出問題 (1)糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系嗎?“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高,學(xué)生的水平也越高.教師的水平與學(xué)生的水平有什么關(guān)系?你能舉出更多的描述生活中兩個變量的相關(guān)關(guān)系的成語嗎? (2)兩個變量間的相關(guān)關(guān)系是什么?有幾種? (3)兩個變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷. 討論結(jié)果: (1)糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)系,一般是在標準范圍內(nèi),施肥越多,糧食產(chǎn)量越高;教師的水平與學(xué)生的水平是相關(guān)的,如水滴石穿,三人行必有我?guī)煹? 我們還可以舉出現(xiàn)實生活中存在的許多相關(guān)關(guān)系的問題.例如: 商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系.商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費有著密切的聯(lián)系,但商品銷售收入不僅與廣告支出多少有關(guān),還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān). 糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系.在一定范圍內(nèi),施肥量越大,糧食產(chǎn)量就越高.但是,施肥量并不是決定糧食產(chǎn)量的唯一因素.因為糧食產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降雨量、田間管理水平等因素的影響. 人體內(nèi)的脂肪含量與年齡之間的關(guān)系.在一定年齡段內(nèi),隨著年齡的增長,人體內(nèi)的脂肪含量會增加,但人體內(nèi)的脂肪含量還與飲食習(xí)慣、體育鍛煉等有關(guān),可能還與個人的先天體質(zhì)有關(guān). 應(yīng)當(dāng)說,對于上述各種問題中的兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系,我們都可以根據(jù)自己的生活、學(xué)習(xí)經(jīng)驗作出相應(yīng)的判斷,因為“經(jīng)驗當(dāng)中有規(guī)律”.但是,不管你的經(jīng)驗多么豐富,如果只憑經(jīng)驗辦事,還是很容易出錯的.因此,在分析兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系時,我們需要一些有說服力的方法. 在尋找變量之間相關(guān)關(guān)系的過程中,統(tǒng)計同樣發(fā)揮著非常重要的作用.因為上面提到的這種關(guān)系,并不像勻速直線運動中時間與路程的關(guān)系那樣是完全確定的,而是帶有不確定性.這就需要通過收集大量的數(shù)據(jù)(有時通過調(diào)查,有時通過實驗),在對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上,發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,才能對它們之間的關(guān)系作出判斷. (2)相關(guān)關(guān)系的概念:自變量取值一定時,因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系,叫做相關(guān)關(guān)系.兩個變量之間的關(guān)系分兩類: ①確定性的函數(shù)關(guān)系,例如我們以前學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)等; ②帶有隨機性的變量間的相關(guān)關(guān)系,例如“身高者,體重也重”,我們就說身高與體重這兩個變量具有相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系. 如商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系.(還與商品質(zhì)量、居民收入、生活環(huán)境等有關(guān)) (3)兩個變量間的相關(guān)關(guān)系的判斷:①散點圖.②根據(jù)散點圖中變量的對應(yīng)點的離散程度,可以準確地判斷兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系.③正相關(guān)、負相關(guān)的概念. ①教學(xué)散點圖 出示例題:在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù): 年齡 23 27 38 41 45 49 50 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年齡 53 54 56 57 58 60 61 脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 分析數(shù)據(jù):大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加.我們可以作散點圖來進一步分析. ②散點圖的概念:將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中的對應(yīng)點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點圖,如下圖. 從散點圖我們可以看出,年齡越大,體內(nèi)脂肪含量越高.圖中點的趨勢表明兩個變量之間確實存在一定的關(guān)系,這個圖支持了我們從數(shù)據(jù)表中得出的結(jié)論. (a.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系.b.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系) ③正相關(guān)與負相關(guān)的概念:如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負相關(guān).(注:散點圖的點如果幾乎沒有什么規(guī)則,則這兩個變量之間不具有相關(guān)關(guān)系) 應(yīng)用示例 例1 下列關(guān)系中,帶有隨機性相關(guān)關(guān)系的是_____________. ①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系 ②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系 ③人的身高與年齡之間的關(guān)系 ④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系 解析:兩變量之間的關(guān)系有兩種:函數(shù)關(guān)系與帶有隨機性的相關(guān)關(guān)系.①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系.②水稻產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系不是嚴格的函數(shù)關(guān)系,但是具有相關(guān)性,因而是相關(guān)關(guān)系.③人的身高與年齡之間的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系,也不是相關(guān)關(guān)系,因為人的年齡達到一定時期身高就不發(fā)生明顯變化了,因而他們不具備相關(guān)關(guān)系.④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系,因此填②④. 答案:②④ 例2 有關(guān)法律規(guī)定,香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語.吸煙是否一定會引起健康問題?你認為“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說法對嗎? 分析:學(xué)生思考,然后討論交流,教師及時評價. 解:從已經(jīng)掌握的知識來看,吸煙會損害身體的健康,但是除了吸煙之外,還有許多其他的隨機因素影響身體健康,人體健康是很多因素共同作用的結(jié)果.我們可以找到長壽的吸煙者,也更容易發(fā)現(xiàn)由于吸煙而引發(fā)的患病者,所以吸煙不一定引起健康問題.但吸煙引起健康問題的可能性大.因此“健康問題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說法是不對的. 點評:在探究研究的過程中,如果能夠從兩個變量的觀察數(shù)據(jù)之間發(fā)現(xiàn)相關(guān)關(guān)系是極為有意義的,由此可以進一步研究二者之間是否蘊涵因果關(guān)系,從而發(fā)現(xiàn)引起這種相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)原因是什么.本題的意義在于引導(dǎo)學(xué)生重視對統(tǒng)計結(jié)果的解釋,從中發(fā)現(xiàn)進一步研究的問題. 知能訓(xùn)練 一個車間為了規(guī)定工時定額,需要確定加工零件所花費的時間,為此進行了10次試驗,收集數(shù)據(jù)如下: 零件數(shù)x(個) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工時間y(min) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 畫出散點圖; 關(guān)于加工零件的個數(shù)與加工時間,你能得出什么結(jié)論? 答案:(1)散點圖如下: (2)加工零件的個數(shù)與所花費的時間呈正線性相關(guān)關(guān)系. 拓展提升 以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù): 房屋面積(m2) 115 110 80 135 105 銷售價格(萬元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖; (2)指出是正相關(guān)還是負相關(guān); (3)關(guān)于銷售價格y和房屋的面積x,你能得出什么結(jié)論? 解:(1)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如下圖所示: (2)散點圖中的點散分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),所以是正相關(guān). (3)關(guān)于銷售價格y和房屋的面積x,房屋的面積越大,價格越高,它們呈正線性相關(guān)的關(guān)系. 課堂小結(jié) 通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖,并利用散點圖直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系. 作業(yè) 習(xí)題2.3A組3、4(1). 第2課時 導(dǎo)入新課 某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表: 氣溫/℃ 26 18 13 10 4 -1 杯數(shù) 20 24 34 38 50 64 如果某天的氣溫是-5 ℃,你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎?為解決這個問題我們接著學(xué)習(xí)兩個變量的線性相關(guān)——回歸直線及其方程. 推進新課 新知探究 提出問題 (1)作散點圖的步驟和方法? (2)正、負相關(guān)的概念? (3)什么是線性相關(guān)? (4)看人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,當(dāng)人的年齡增加時,體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢? (5)什么叫做回歸直線? (6)如何求回歸直線的方程?什么是最小二乘法?它有什么樣的思想? (7)利用計算機如何求回歸直線的方程? (8)利用計算器如何求回歸直線的方程? 活動:學(xué)生回顧,再思考或討論,教師及時提示指導(dǎo). 討論結(jié)果:(1)建立相應(yīng)的平面直角坐標系,將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標中的對應(yīng)點畫出來,得到表示兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形,這樣的圖形叫做散點圖.(a.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上,就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系,即變量之間具有函數(shù)關(guān)系.b.如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近,變量之間就有相關(guān)關(guān)系.c.如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系) (2)如果散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負相關(guān). (3)如果所有的樣本點都落在某一直線附近,變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系. (4)大體上來看,隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加,呈正相關(guān)的趨勢,我們可以從散點圖上來進一步分析. (5)如下圖: 從散點圖上可以看出,這些點大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近.如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線(regression line).如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡稱回歸方程),那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性.就像平均數(shù)可以作為一個變量的數(shù)據(jù)的代表一樣,這條直線可以作為兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表. (6)從散點圖上可以發(fā)現(xiàn),人體的脂肪百分比和年齡的散點圖,大致分布在通過散點圖中心的一條直線. 那么,我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個回歸方程呢? 有的同學(xué)可能會想,我可以采用測量的方法,先畫出一條直線,測量出各點與它的距離,然后移動直線,到達一個使距離的和最小的位置,測量出此時的斜率和截距,就可得到回歸方程了.但是,這樣做可靠嗎? 有的同學(xué)可能還會想,在圖中選擇這樣的兩點畫直線,使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同.同樣地,這樣做能保證各點與此直線在整體上是最接近的嗎? 還有的同學(xué)會想,在散點圖中多取幾組點,確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù),將這兩個平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距. 同學(xué)們不妨去實踐一下,看看這些方法是不是真的可行? (學(xué)生討論:1.選擇能反映直線變化的兩個點.2.在圖中放上一根細繩,使得上面和下面點的個數(shù)相同或基本相同.3.多取幾組點對,確定幾條直線方程.再分別算出各個直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值,作為所求直線的斜率、截距.)教師:分別分析各方法的可靠性.如下圖: 上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強. 實際上,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看,各點與此直線的距離最小”.人們經(jīng)過長期的實踐與研究,已經(jīng)得出了計算回歸方程的斜率與截距的一般公式 其中,b是回歸方程的斜率,a是截距. 推導(dǎo)公式①的計算比較復(fù)雜,這里不作推導(dǎo).但是,我們可以解釋一下得出它的原理. 假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn), 且所求回歸方程是=bx+a, 其中a、b是待定參數(shù).當(dāng)變量x取xi(i=1,2,…,n)時可以得到=bxi+a(i=1,2,…,n), 它與實際收集到的yi之間的偏差是yi-=yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n). 這樣,用這n個偏差的和來刻畫“各點與此直線的整體偏差”是比較合適的.由于(yi-)可正可負,為了避免相互抵消,可以考慮用來代替,但由于它含有絕對值,運算不太方便,所以改用Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 ② 來刻畫n個點與回歸直線在整體上的偏差. 這樣,問題就歸結(jié)為:當(dāng)a,b取什么值時Q最小,即總體偏差最小.經(jīng)過數(shù)學(xué)上求最小值的運算,a,b的值由公式①給出. 通過求②式的最小值而得出回歸直線的方法,即求回歸直線,使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小,這一方法叫做最小二乘法(method of least square). (7)利用計算機求回歸直線的方程. 根據(jù)最小二乘法的思想和公式①,利用計算器或計算機,可以方便地求出回歸方程. 以Excel軟件為例,用散點圖來建立表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的線性回歸方程,具體步驟如下: ①在Excel中選定表示人體的脂肪含量與年齡的相關(guān)關(guān)系的散點圖(如下圖),在菜單中選定“圖表”中的“添加趨勢線”選項,彈出“添加趨勢線”對話框. ②單擊“類型”標簽,選定“趨勢預(yù)測/回歸分析類型”中的“線性”選項,單擊“確定”按鈕,得到回歸直線. ③雙擊回歸直線,彈出“趨勢線格式”對話框.單擊“選項”標簽,選定“顯示公式”,最后單擊“確定”按鈕,得到回歸直線的回歸方程=0.577x-0.448. (8)利用計算器求回歸直線的方程. 用計算器求這個回歸方程的過程如下: 所以回歸方程為=0.577x-0.448. 正像本節(jié)開頭所說的,我們從人體脂肪含量與年齡這兩個變量的一組隨機樣本數(shù)據(jù)中,找到了它們之間關(guān)系的一個規(guī)律,這個規(guī)律是由回歸直線來反映的. 直線回歸方程的應(yīng)用: ①描述兩變量之間的依存關(guān)系;利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系. ②利用回歸方程進行預(yù)測;把預(yù)報因子(即自變量x)代入回歸方程對預(yù)報量(即因變量Y)進行估計,即可得到個體Y值的容許區(qū)間. ③利用回歸方程進行統(tǒng)計控制規(guī)定Y值的變化,通過控制x的范圍來實現(xiàn)統(tǒng)計控制的目標.如已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程,即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度. 應(yīng)用示例 例1 有一個同學(xué)家開了一個小賣部,他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響,經(jīng)過統(tǒng)計,得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對比表: 攝氏溫度/℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點圖; (2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律; (3)求回歸方程; (4)如果某天的氣溫是2 ℃,預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù). 解:(1)散點圖如下圖所示: (2)從上圖看到,各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里,因此,氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負相關(guān),即氣溫越高,賣出去的熱飲杯數(shù)越少. (3)從散點圖可以看出,這些點大致分布在一條直線的附近,因此,可用公式①求出回歸方程的系數(shù). 利用計算器容易求得回歸方程=-2.352x+147.767. (4)當(dāng)x=2時,=143.063.因此,某天的氣溫為2 ℃時,這天大約可以賣出143杯熱飲. 思考 氣溫為2 ℃時,小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎?為什么? 這里的答案是小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲,原因如下: 1.線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的,存在隨機誤差,這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差. 2.即使截距和斜率的估計沒有誤差,也不可能百分之百地保證對應(yīng)于x的預(yù)報值,能夠與實際值y很接近.我們不能保證點(x,y)落在回歸直線上,甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近,事實上,y=bx+a+e=+e. 這里e是隨機變量,預(yù)報值與實際值y的接近程度由隨機變量e的標準差所決定. 一些學(xué)生可能會提出問題:既然不一定能夠賣出143杯左右熱飲,那么為什么我們還以“這天大約可以賣出143杯熱飲”作為結(jié)論呢?這是因為這個結(jié)論出現(xiàn)的可能性最大.具體地說,假如我們規(guī)定可以選擇連續(xù)的3個非負整數(shù)作為可能的預(yù)測結(jié)果,則我們選擇142,143和144能夠保證預(yù)測成功(即實際賣出的杯數(shù)是這3個數(shù)之一)的概率最大. 例2 下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料. 機動車輛數(shù)x/千臺 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故數(shù)y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 (1)請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說明理由; (2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程. 解:(1)在直角坐標系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖,如下圖. 直觀判斷散點在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系. (2)計算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和: =1 031,=71.6, =137 835,=9 611.7. 將它們代入公式計算得b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求線性回歸方程為=0.077 4x-1.024 1. 知能訓(xùn)練 1.下列兩個變量之間的關(guān)系哪個不是函數(shù)關(guān)系( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形邊長和面積 C.正n邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和 D.人的年齡和身高 答案:D 2.三點(3,10),(7,20),(11,24)的線性回歸方程是( ) A.=5.75-1.75x B.=1.75+5.75x C.=1.75-5.75x D.=5.75+1.75x 答案:D 3.已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費用y(萬元),有如下統(tǒng)計資料: 使用年限x 2 3 4 5 6 維修費用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 設(shè)y對x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求: (1)線性回歸方程=bx+a的回歸系數(shù)a,b; (2)估計使用年限為10年時,維修費用是多少? 答案:(1)b=1.23,a=0.08;(2)12.38. 4.我們考慮兩個表示變量x與y之間的關(guān)系的模型,δ為誤差項,模型如下: 模型1:y=6+4x;模型2:y=6+4x+e. (1)如果x=3,e=1,分別求兩個模型中y的值; (2)分別說明以上兩個模型是確定性模型還是隨機模型. 解:(1)模型1:y=6+4x=6+43=18; 模型2:y=6+4x+e=6+43+1=19. (2)模型1中相同的x值一定得到相同的y值,所以是確定性模型;模型2中相同的x值,因δ的不同,所得y值不一定相同,且δ為誤差項是隨機的,所以模型2是隨機性模型. 5.以下是收集到的新房屋銷售價格y與房屋大小x的數(shù)據(jù): 房屋大小x(m2) 80 105 110 115 135 銷售價格y(萬元) 18.4 22 21.6 24.8 29.2 (1)畫出數(shù)據(jù)的散點圖; (2)用最小二乘法估計求線性回歸方程. 解:(1)散點圖如下圖. (2)n=5,=545,=109,=116,=23.2, =60 952,=12 952, b=≈0.199,a=23.2-0.199109≈1.509, 所以,線性回歸方程為y=0.199x+1.509. 拓展提升 某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費用支出(Xi)與公司所獲得利潤(Yi)的統(tǒng)計資料如下表: 科研費用支出(Xi)與利潤(Yi)統(tǒng)計表 單位:萬元 年份 科研費用支出 利潤 1998 1999 2000 2001 2002 2003 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 合計 30 180 要求估計利潤(Yi)對科研費用支出(Xi)的線性回歸模型. 解:設(shè)線性回歸模型直線方程為:, 因為:=5,=30, 根據(jù)資料列表計算如下表: 年份 Xi Yi XiYi Xi2 Xi- Yi- (Xi-)2 (Xi-)(Yi-) 1998 1999 2000 2001 2002 2003 5 11 4 5 3 2 31 40 30 34 25 20 155 440 120 170 75 40 25 121 16 25 9 4 0 6 -1 0 -2 -3 1 10 0 4 -5 -10 0 36 1 0 4 9 0 60 0 0 10 30 合計 30 180 1 000 200 0 0 50 100 現(xiàn)求解參數(shù)β0、β1的估計值: 方法一:=2, =30-25=20. 方法二:=2, =30-25=20. 方法三:=2, =30-25=20. 所以利潤(Yi)對科研費用支出(Xi)的線性回歸模型直線方程為: =20+2Xi. 課堂小結(jié) 1.求線性回歸方程的步驟: (1)計算平均數(shù); (2)計算xi與yi的積,求∑xiyi; (3)計算∑xi2,∑yi2, (4)將上述有關(guān)結(jié)果代入公式 求b,a,寫出回歸直線方程. 2.經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程.知道最小二乘法的思想,能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程. 作業(yè) 習(xí)題2.3A組3、4,B組1、2. 板書設(shè)計 教學(xué)反思 本節(jié)課學(xué)習(xí)了變量之間的相關(guān)關(guān)系和兩個變量的線性相關(guān)的部分內(nèi)容,通過身邊的具體實例說明了兩個變量的相關(guān)關(guān)系,并學(xué)會了利用散點圖及其分布來說明兩個變量的相關(guān)關(guān)系的種類, 在此基礎(chǔ)上,利用實例分析了散點圖的分布規(guī)律,推導(dǎo)出了線性回歸直線的方程的求法,并利用回歸直線的方程估計可能的結(jié)果,本節(jié)課講得較為詳細,實例較多,便于同學(xué)們分析比較.另外,本節(jié)課通過選取一些學(xué)生特別關(guān)心的身邊事例,對學(xué)生進行思想情操教育、意志教育和增強學(xué)生的自信心,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法,樹立時間觀,培養(yǎng)勤奮、刻苦耐勞的精神.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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