測量平差第四章平差數學模型與最小二乘原理.ppt

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同學們，我們學習了誤差理論的基本概念。那么如何處理觀測數據、在處理數據中遵循何種原則？本次課程我們將簡要地敘述這一問題。,第四章平差數學模型與最小二乘原理,4.1測量平差概述4.2函數模型4.3函數模型線性化4.4測量平差的數學模型4.5參數估計與最小二乘原理,Chapter4MathematicalModelofAdjustmentandPrincipleofLeastSquares,4.1測量平差概述General,一、測量控制網簡介1.高程控制網(水準網或三角高程網)包括閉合水準網和符合水準網、三角高程網網中元素：已知高程點，未知高程點和高差觀測值距離測站數,2.平面控制網1）三角網：包括測角三角網、測邊三角網和邊角同測三角網。（1）測角三角網：包括獨立三角網和符合三角網。網中元素：已知點、未知、角度觀測值,,,,,,（2）測邊三角網：包括獨立測邊網和符合測邊網網中元素：已知點，未知點和觀測邊長,（3）邊角三角網：包括獨立邊角網和符合邊角網。網中元素：已知點，未知點，觀測角度和邊長,,,,,2）導線網：包括獨立導線網和符合導線網。網中元素：已知點，未知點，觀測角度和邊長。3）三維GPS控制網網中元素：已知點，未知點，基線向量。,,二、必要起算數據確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數據：起算數據①水準網（三角高程網）：②測角網：③測邊網和邊角網：,,確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數據：起算數據水準網（三角高程網）：,：一個已知點高程,,確定幾何（物理）圖形的位置所必須具有的已知數據：起算數據②測角網：,（1）兩個相鄰點坐標（2）一個已知點坐標，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長。,,③測邊網和邊角網：,,一個已知點坐標，一個相鄰已知方位，一個相鄰已知邊長或兩個相鄰點坐標。,,三、必要觀測必要觀測/必要元素：唯一確定一個確定幾何、物理模型的形狀、大小所必須進行的觀測稱為必要觀測，其符號用符號t表示。必要元素的特點：（1）元素的個數僅與幾何模型有關而與實際觀測量無關（2）必要元素之間函數獨立,,必要觀測量？條件方程？必要觀測量？條件方程？,,,,,,,,,四、多余觀測必要觀測之外的觀測稱為多余觀測，其數目用符號r表示。多余觀測數＝觀測總數－必要觀測數（r=n-t）與控制網有關幾個基本概念：必要觀測、觀測量、起算數據、多余起算數據待求量,必要觀測的特點：元素的個數僅與幾何模型有關而與實際觀測量無關必要元素之間函數獨立問題：多余觀測：r=n-tn>t條件方程：觀測誤差存在使得測量平差有必要，多余觀測使得測量平差得以實現,僅有必要觀測能否完成測量工作？觀測結果是否可靠？,幾何量符號表示,1、必要觀測次數t（個數和類型）2、實際觀測次數n3、多余觀測次數r4、觀測值5、真值6、真誤差7、估值8、平差值,五、幾何模型,1、確定幾何模型的必要元素（必要觀測量）（1）幾何模型的形狀2個（2）形狀、大小3個（3）形狀、大小、位置6個2、必要元素的選取與性質（1）能唯一確定該模型（2）最少需要（3）元素間不存在任何確定的函數關系,,測邊網和邊角網：,一個已知點坐標，一個相鄰已知方位。,,由于觀測不可避免地存在偶然誤差，當n>t時，幾何模型中應該滿足r=n-t個條件方程，實際存在閉俁差而并不滿足，如何調整觀測值，即對觀測值合理地加上改正數，使其達到消除閉合差的目的，這是測量平差的主要任務。一個測量平差問題，首先要由觀測值和待求量間組成數學模型，然后采用一定的平差原則對待求量進行估計，這種估計要求是最優(yōu)的，最后計算和分析成果的精度。,觀測誤差存在使得測量平差有必要，多余觀測使得測量平差得以實現,函數模型：是描述觀測量與未知量間的數學函數關系模型，是確定客觀實際的本質或特征的模型。幾何模型：各種測量控制網幾何觀測量：方向、角度、高差、邊長物理模型：與時間、速度、加速度等物理量相關的模型；物理觀測量：時間、速度、加速度,4.2測量平差函數模型FunctionalModel,一、條件平差的函數模型以條件方程為函數模型的平差方法，稱為條件平差法。出發(fā)點：觀測量之間的函數關系式——條件方程在具體測量問題中，實際觀測次數n，必要觀測次數t，則多余觀測次數r，那么可建立(n-t)個條件方程，即：,,測量平差函數模型,,,二、間接平差法,選擇幾何模型中t個獨立量為平差的參數，將每一個觀測量表達成所選參數的函數，以此為平差的函數模型，稱為間接平差法。在具體測量問題中，實際觀測次數n，必要觀測次數t，則多余觀測次數r=(n-t)。選擇t個函數獨立的參數后可列出觀測方程：,線性方程情況下,其中,,三、附有參數的條件平差法,,,線性方程情況下,,四、附有限制條件的間接平差法,線性方程情況下,4.3函數模型線性化LinearizationofFunctionalModel,四種平差方法的一般形式分別為,條件平差法：,間接平差法：,,附有參數的條件平差法：附有條件的間接平差法：,,若平差的函數是非線性的，平差之前就要進行線性化。線性化的方法是應用臺勞級數展開，保留一次項,,對于函數,按臺勞級數展開則有,,令,,則函數F的線性形式是,4.4測量平差的數學模型MathematicalModel,,,一、平差的隨機模型,,,,,隨機模型：描述平差問題的中隨機量及其相互間統計相關性質的模型,隨機模型描繪的是觀測值的統計性質，是通過觀測值的數學期望和協方差陣（協因數陣）來表示，借以說明觀測值是否受系統誤差的影響、觀測值的精度季它們是否相關等。,二、數學模型,1、條件平差2、間接平差（Gauss-Markoff模型）,,,,3、附有參數的條件平差4、附有限制條件的間接平差法,4.5參數估計與最小二乘原理EstimationofParametersandPrinciplesofLeastSquares,一、參數估計及最優(yōu)性質平差問題是由于測量中進行了多余觀測而產生，不論何種平差方法，平差最終目的都是對參數和觀測量（或Δ）作出某種估計，并評定其精度。所謂評定精度，就是對待估量的方差與協方差作出估計。所以，可統稱為對平差模型的參數進行估計。,,無偏性一致性有效性,,一、參數估計及最優(yōu)性質數理統計理論證明，具有無偏性、最優(yōu)性的估計量必然是一致性估計量，所以測量平差中參數的最佳估值要求是最優(yōu)無偏估計量。由于平差模型是線性的，最佳估計也稱為最優(yōu)線性無偏估計。,,,,,,,,,,,,,,,,二、最小二乘原理測量平差就是測量數據調整，調整原則是使得觀測值殘差的平方和極小為原則：,觀測量：調整后的估值改正數\殘差觀測值權陣,小結,重點：理解必要觀測、必要起算數據、多余觀測的概念掌握：函數模型、隨機模型的涵義、作用和實質理解：四種平差方法的函數模型函數模型線性化的方法最小二乘原理了解：最小二乘估計的性質,