與圓有緣其樂無窮2

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1、與 圓 有 緣 其 樂 無 窮 江蘇省興化市大營(yíng)中學(xué)（225767）周守扣 數(shù)學(xué)上有些問題看起來與圓無關(guān)，但一旦與圓有緣，放到圓中去考慮，往往能化煩為簡(jiǎn)，化難為易。現(xiàn)舉例說明如下： 例1如圖，AB=AC=AD，且∠DAC=2∠BAC，試說明∠DBC=2∠BDC. 分析1：此題可以利用等腰三角形的頂角和底角之間的關(guān)系來解決. 在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=(180-∠BAC). 在△ADC中,∵AD=AC,∴∠ADC=(180-∠DAC) =(180-2∠BAC). 又∠BAD=∠BAC+∠DAC=3∠BAC. 在△ADB中,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB =(1

2、80-∠BAD) =(180-3∠BAC). 因此∠DBC=∠ABC-∠ABD=(180-∠BAC) -(180-3∠BAC)= ∠BAC. ∠BDC=∠ADC-∠ADB=(180-2∠BAC) -(180-3∠BAC)= ∠BAC. 所以∠DBC=2∠BDC. 分析2：此題的條件AB=AC=AD與圓有緣，若以A為圓心,以AB為半徑畫圓,則B、C、D三點(diǎn)都在⊙A上，如圖， 則∠DAC和∠BAC就成了同圓的圓心角，∠DBC和∠BDC就成了同圓的圓周角.根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓周角相等，都等于該弧所對(duì)圓心角的一半.” 可得∠BDC=∠BAC；∠DBC=∠DAC. 而

3、∠DAC=2∠BAC 所以∠DBC=2∠BDC. 例2.設(shè)a、b、c、d都是正數(shù)，滿足=，且a最大，試說明：a + d﹥b + c. 分析:由題設(shè)=,得ad=bc,聯(lián)想到相似三角形,又聯(lián)想到“圓冪定理”而與圓有緣，如圖，取線段AC=a，在AC上取一點(diǎn)B，使AB=d，以BC為直徑畫⊙G，不妨假設(shè)b≥c，作割線AD=b，交⊙G于E，作GF⊥AD于F，由“圓冪定理”得 ACAB=AEAD，即 ad=bAE，所以AE= c.又因?yàn)锳G=AB+BC=d+（a-d）=（a+d）；同理AF=（b+c）. 在直角三角形△AGF中,AG﹥AF, 即a + d﹥b + c. 例3．在△A

4、BC中，若AB=2AC，試探討∠B的取值范圍. 分析：因?yàn)轭}設(shè)中有AB=2AC，都有A點(diǎn)公共點(diǎn)，所以易聯(lián)想到C點(diǎn)圍繞A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),與圓有緣.如圖，以A為圓心,以AC為半徑,構(gòu)造⊙A,因?yàn)锳B=2AC，則B是⊙A外一點(diǎn),則△ABC的頂點(diǎn)只能在⊙A上運(yùn)動(dòng) ( AB與⊙A的交點(diǎn)除外) ,由圓的切線的知識(shí)知:當(dāng)BC與⊙A相切時(shí), ∠B 取最大值.而當(dāng)BC與⊙A相切時(shí), ∠C=90,由條件 AB=2AC，得∠B=30.所以∠B的取值范圍是0＜∠B≤30. 例4．在△ABC中，若∠A、∠B、∠C都小于120試在△ABC內(nèi)作一點(diǎn)D，使DA+DB+DC最小. 分析:這是一道我們都很熟悉的問題,即“費(fèi)馬點(diǎn)”問

5、題，并且知道結(jié)論，當(dāng)∠ADB=∠ADC=∠BDC=120時(shí)，DA+DB+DC最小.(此處不作證明)可問題是我們?nèi)绾斡米鲌D工具去作呢？如果你聯(lián)想圓，與圓有緣,問題就簡(jiǎn)單了,如下圖. 分別以AB、AC為邊向△ABC外作等邊三角形△ABE，△ACF，再分別作這兩個(gè)等邊三角形△ABE，△ACF的外接圓⊙G、⊙H，設(shè)兩圓的交點(diǎn)為D，則D就是所要求作的點(diǎn).現(xiàn)在我們來說明為什么有∠ADB=∠ADC=∠BDC=120.在⊙G中, 因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形, 所以∠E=60,而四邊形AEBD內(nèi)接于⊙G,所以有∠E+∠ADB=180, 所以∠ADB=120；同理∠ADC=120,而∠ADB+∠ADC+∠BDC=360,所以∠BDC=120. 例5. 如圖，在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC，且AD=AE，若∠BAD=40，試求∠EDC的度數(shù). 分析:構(gòu)造兩個(gè)圓，設(shè)G、F為小圓與AB、BC的交點(diǎn)，連結(jié)AF，EF，EG， 易得弧GF等于弧DE，所以∠EFD=∠GEF， 因?yàn)椤螮DC=∠FED+∠EFD=∠FED+∠GEF=∠GED=∠GAD=∠BAD=20 從上面幾例你是否感覺到，這些問題因?yàn)榕c圓有緣, 不僅解法簡(jiǎn)單了,而且解法有趣了，解完后有一種快樂感覺。這樣的問題其實(shí)很多，只要留心注意，你一定可以發(fā)現(xiàn)很多。當(dāng)然文中若有不妥之處，還敬請(qǐng)不吝賜教。