《陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第一章 疊加、疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化拓展資料素材 北師大版必修》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《陜西省吳堡縣吳堡中學高中數(shù)學 第一章 疊加、疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化拓展資料素材 北師大版必修（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
疊加、 疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化
已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式的方法大約分為兩類：一類是根據(jù)前幾項的特點歸納猜想出a的表達式，然后用數(shù)學歸納法證明；另一類是將已知遞推關(guān)系，用代數(shù)法、迭代法、換元法，或是轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列（等差或等比）的方法求通項．第一類方法要求學生有一定的觀察能力以及足夠的結(jié)構(gòu)經(jīng)驗，才能順利完成，對學生要求高．第二類方法有一定的規(guī)律性，只需遵循其特有規(guī)律方可順利求解．在教學中，我針對一些數(shù)列特有的規(guī)律總結(jié)了一些求遞推數(shù)列的通項公式的解題方法．
一、疊加相消．
類型一：形如a＝a+ f (n)， 其中f (n) 為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式（a）或可裂項成差的分式形
2、式．——可移項后疊加相消．
例1：已知數(shù)列｛a｝,a＝0,n∈N，a＝a＋（2n－1），求通項公式a．
解：∵a=a＋（2n－1）
∴a=a＋（2n－1） ∴a－a =1 、a－a=3 、…… a－a=2n－3
∴a= a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)=0＋1＋3＋5＋…＋(2n－3)
=[1＋(2n－3)]( n－1)=( n－1)2 n∈N
練習1：⑴.已知數(shù)列｛a｝,a=1, n∈N，a=a＋3 n ， 求通項公式a．
⑵.已知數(shù)列｛a｝滿足a＝3，，n∈N，求a．
二、疊乘相約．
類型二：形如.其中f (n) = （p≠0，m≠0
3、,b –c = km,k∈Z）或 =kn（k≠0）或= km( k ≠ 0, 0＜m且m ≠ 1)．
例2：已知數(shù)列｛a｝, a=1，a＞0,( n＋1) a2 －n a2＋aa=0，求a．
解：∵( n＋1) a2 －n a2＋aa=0 ∴ [(n＋1) a－na](a＋a)= 0
1 / 12
∵ a＞0 ∴ a＋a ＞0 ∴ (n＋1) a－na=0
∴
∴
練習2：⑴已知數(shù)列｛a｝滿足S= a( n∈N), S是{ a}的前n項和,a=1,求a．
⑵.已知數(shù)列｛a｝滿足a= 3 na( n∈N)，且a=1，求a．
三
4、、逐層迭代遞推．
類型三：形如a= f (a)，其中f (a)是關(guān)于a的函數(shù).——需逐層迭代、細心尋找其中規(guī)律．
例3：已知數(shù)列｛a｝，a=1, n∈N，a= 2a＋3 n ,求通項公式a．
解： ∵a= 2 a＋3 n
∴ a=2 a＋3 n-1 =2(2 a＋3 n-2)＋3 n-1 = 22(2 a＋3 n-3)＋23 n-2＋3 n-1
=……=2 n-2(2 a＋3 )＋2 n-33 2＋2 n-43 3＋2 n-53 4＋…＋223 n-3＋23 n-2＋3 n-1
=2 n-1＋2 n-23 ＋2 n-33 2＋2 n-43 3＋…＋223 n-3＋23 n-2
5、＋3 n-1
練習3:⑴.若數(shù)列｛a｝中，a=3，且a=a（n∈N），求通項a.
⑵.已知數(shù)列｛a｝的前n項和S滿足S=2a+，n∈N,求通項a．
四、運用代數(shù)方法變形，轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求解．
類型四：形如= ，（pq ≠ 0）．且的數(shù)列，——可通過倒數(shù)變形為基本數(shù)列問題．
當p = －q時，則有： 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列；
當p ≠ －q時，則有：．同類型五轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．
例4：若數(shù)列｛a｝中，a=1，a= n∈N，求通項a．
解： ∵
又 ∴ ，
∴ ∴ ∵
∴數(shù)列{ a}是首項為1，公差為的等差數(shù)列．
∴=1＋ ∴a= n∈
6、N
練習4：已知f (n) = ，數(shù)列{ a}滿足 a=1，a=f (a)，求a．
類型五：形如a＝pa+ q ,pq≠0 ，p、q為常數(shù)．
當p ＝1時，為等差數(shù)列；
當p ≠1時，可在兩邊同時加上同一個數(shù)x，即a+ x = pa+ q + x
a+ x = p(a+ )， 令x = ∴x = 時，有a+ x = p(a+ x )，
從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 {a+ } 求解．
例5：已知數(shù)列{a}中，a=1，a= a+ 1，n= 1、2、3、…，求通項a．
解：∵ a= a+ 1 a－2 =(a －2)
又∵a－2 = -1≠0 ∴數(shù)列{ a－2}首項為-1，公比
7、為的等比數(shù)列．
∴ a－2 = -1 即 a= 2 －2 n∈N
練習5：⑴.已知 a=1，a= 2 a+ 3 (n = 2、3、4…) ，求數(shù)列{a}的通項．
⑵. 已知數(shù)列｛a｝滿足a= ，a=，求a．
類型六：形如a＝pa+ f (n)，p≠0且 p為常數(shù)，f (n)為關(guān)于n的函數(shù)．
當p ＝1時，則 a＝a+ f (n) 即類型一．
當p ≠1時，f (n)為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式（a）或指數(shù)和多項式的混合形式．
⑴若f (n)為關(guān)于n的多項式（f (n) = kn + b或kn+ bn + c，k、b、c為常數(shù)），——可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列
8、．
例6：已知數(shù)列{ a}滿足a=1，a= 2a＋n，n∈N求a．
解：令a+ x[a(n+1)+ b(n+1) + c] = 2(a+ an+ bn + c)
即 a= 2 a+ (2a–ax)n+ (2b -2ax – bx)n +2c –ax –bx – cx 比較系數(shù)得： 令x = 1，得：
∴ a+ (n+1)+2(n+1) + 3 = 2(a+ n+2n + 3) ∵ a+1+21+3 = 7
令b= a+ n+2n + 3 則 b= 2b b= 7 ∴數(shù)列{ b}為首項為7，公比為2德等比數(shù)列
∴ b= 7 2 即 a+ n+2n + 3 =
9、7 2 ∴ a= 7 2－( n+2n + 3 ) n∈N
⑵若f (n)為關(guān)于n的指數(shù)形式（a）．
①當p不等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列；
②當p等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．
例7：（同例3）若a=1，a= 2 a+ 3，(n = 2、3、4…) ，求數(shù)列{a}的通項a．
解: ∵ a= 2 a+ 3 ∴ 令a+ x3= 2(a+x3) 得 a= 2 a－x3
令-x3= 3 x = -1 ∴ a－3= 2(a－3) 又 ∵ a－3 = - 2
∴數(shù)列{}是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列．
∴=-22 即a= 3-2 n∈N
例8：數(shù)列{ a}
10、中,a=5且a=3a+ 3-1 (n = 2、3、4…) 試求通項a．
解： a=3a+ 3-1 a 3
{}是公差為1的等差數(shù)列．
=+() = +() = n +
a= ( n∈N
⑶若f (n)為關(guān)于n的多項式和指數(shù)形式（a）的混合式，則先轉(zhuǎn)換多項式形式在轉(zhuǎn)換指數(shù)形式．例如上面的例8．
練習6:⑴.已知數(shù)列{a}中a= 1,a= 3 a+ n ,; 求{a}的通項．
⑵設a為常數(shù)，且a= 3－2 a (n∈N且n ≥ 2 )．
證明：對任意n ≥ 1，a= [3+ (-1)2] +(-1)2a．
類型七：形如a= p a+ q a( pq
11、≠ 0， p、q為常數(shù)且p+ 4q > 0 )，——可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．
例9: 已知數(shù)列{a}中a= 1, a= 2且 ,; 求{a}的通項．
解:令a+x a= (1+x) a+ 2 a a+x a= (1+x)( a+ a)
令x = x+ x – 2 = 0 x = 1或 -2
當x = 1時,a+ a=2(a+ a) 從而a+ a= 1 + 2 = 3
∴數(shù)列{ a+ a}是首項為3且公比為2的等比數(shù)列.
∴ a+ a= 3 …… …… ①
當x = - 2時, a- 2a= - (a-2a) , 而 a- 2a= 0
12、
∴ a- 2a= 0 …… …… ②
由①、②得:
a= 2 ,
練習7：⑴已知: a= 2, a= , ,(n = 1、2、3、……),求數(shù)列{ a}的通項．
⑵已知數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、……，根據(jù)規(guī)律求出該數(shù)列的通項．
五、數(shù)列的簡單應用.
例10:設棋子在正四面體ABCD的表面從一個頂點移向另外三個頂點時等可能的.現(xiàn)拋擲骰子,根據(jù)其點數(shù)決定棋子是否移動,若投出的點數(shù)是奇數(shù),則棋子不動；若投出的點數(shù)是偶數(shù),棋子移動到另外一個頂點.若棋子初始位置在頂點A，則:
13、
⑴投了三次骰子,棋子恰巧在頂點B的概率是多少?
⑵投了四次骰子,棋子都不在頂點B的概率是多少?
⑶投了四次骰子,棋子才到達頂點B的概率是多少？
分析：考慮最后一次投骰子分為兩種情況
①最后一次棋子動；②最后一次棋子不動．
解：
14、∵ 事件投一次骰子棋子不動的概率為；事件投一次骰子棋子動且到達頂點B的概率為 =．
⑴．投了三次骰子,棋子恰巧在頂點B分為兩種情況
①.最后一次棋子不動，即前一次棋子恰在頂點B；②.最后一次棋子動，且棋子移動到B點．
設投了i次骰子，棋子恰好在頂點B的概率為p，則棋子不在頂點B的概率為(1- p)．所以，投了i+1次骰子，棋子恰好在頂點B的概率：p= p+ (1- p) i = 1、2、3、4、……
∴ p= + p ∵ p= = ∴ p= ∴ p=
⑵．投了四次骰子,棋子都不在頂點B，說明前幾次棋子都不在B點，應分為兩種情況
①最后一次棋子不動；②最后一次棋子動，且不
15、到B點．
設投了i次骰子，棋子都不在頂點B的概率為,則投了i+1次骰子，棋子都不在頂點B的概率為：= + (1﹣) i = 1、2、3、4、…… 即：=
又∵= +(1﹣) = ∴ = ()
⑶．投了四次骰子,棋子才到達頂點B；說明前三次棋子都不在B點，最后一次棋子動且
到達頂點B．設其概率為P則：
P = = ()=
答：（略）．
例11：用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部磚塊的一半多一塊；第二層用去了剩下的一半多一塊，…，依次類推，每層都用去了上層剩下的一半多一塊.如果第九層恰好磚塊用完，那么一共用了多少塊磚？
分析：本題圍繞兩個量
16、即每層的磚塊數(shù)a和剩下的磚塊數(shù)b，關(guān)鍵是找出a和b的關(guān)系式，通過方程(組)求解．
解：設第i層所用的磚塊數(shù)為a，剩下的磚塊數(shù)為b(i = 1、2、3、4、…… )則b= 0，且設b為全部的磚塊數(shù)，依題意，得
a=b+ 1，a=b+ 1，…… a=b+ 1 … … … … ①
又 b= a+ b … … … … … ②
聯(lián)立①②得 b-b=b+ 1 即b=b- 1
∴ b+ 2 =(b+ 2) ∴ b+2 = ()(b+ 2 ) ∴ b+2 = 22 ∴ b= 1022
練習8：⑴十級臺階，可以一步上一級，也可
17、以一步上兩級；問上完十級臺階有多少種不同走法？
⑵. 三角形內(nèi)有n個點，由這n個點和三角形的三個頂點，這n + 3個點可以組成多少個不重疊(任意兩個三角形無重疊部分)的三角形？
⑶．甲、乙、丙、丁四人傳球，球從一人手中傳向另外三個人是等可能的.若開始時球在甲的手中．若傳了n次球，球在甲手中的概率為a；球在乙手中的概率為b.(n = 1、2、3、4、…… ).
①問傳了五次球，球恰巧傳到甲手中的概率a和乙手中的概率b分別是多少？
②若傳了n次球，試比較球在甲手中的概率a與球在乙手中的概率b的大小.
③傳球次數(shù)無限多時，球在誰手中的概率大？
參考答案
練習1：⑴. a=(
18、3 n-1) ⑵. a= 練習2：⑴. a= n -1 ⑵. a=
練習3：⑴. a= 3 (提示：可兩邊取對數(shù)) ⑵. a= [2+ (-1)]
練習4：a= 練習5：⑴ a= 2-3 ⑵ a=
練習6：⑴可得a+(n+1)+= 3(a+n +) 從而a=3-(n +) ⑵ (略)
練習7：⑴a= 3 - ， ⑵由已知得a= a+ a a=[()-()]
練習8：⑴∵a= a+ a， a= 1，a= 2，∴a= 89 ⑵∵a= a+ 2 ，a= 3 ∴a= 2n+1
⑶①∵a=(1 - a) b= (1 - b) a= 0 b= ∴a= ； b= .
②可解得a= - b= +
∴當n為奇數(shù)時， a<>b
③當n → ∞時，a→，b→ 故球在各人手中的概率一樣大．
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