陜西省吳堡縣吳堡中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第三章 基本不等式教案1 北師大版必修

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1、 基本不等式 （1）教學(xué)目標(biāo) (a)知識(shí)與技能：理解兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方和不小于它們之積的2倍的不等式的證明；理解兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的證明以及它的幾何解釋 (b)過(guò)程與方法 ：本節(jié)學(xué)習(xí)是學(xué)生對(duì)不等式認(rèn)知的一次飛躍。要善于引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面深入地探究不等式的證明，從而進(jìn)一步突破難點(diǎn)。變式練習(xí)的設(shè)計(jì)可加深學(xué)生對(duì)定理的理解，并為以后實(shí)際問(wèn)題的研究奠定基礎(chǔ)。基本不等式的證明要注重嚴(yán)密性，老師要幫助學(xué)生分析每一步的理論依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)品質(zhì) (c)情感與價(jià)值：培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的邏輯推理能力，并通過(guò)不等式的幾何解釋?zhuān)S富學(xué)生數(shù)形結(jié)合的想象力 （2）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

2、教學(xué)重點(diǎn)：基本不等式的證明和幾何解釋 教學(xué)難點(diǎn)：理解“當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵 （3）學(xué)法與教學(xué)用具 先讓學(xué)生觀察常見(jiàn)的圖形，通過(guò)面積的直觀比較抽象出基本不等式。從生活中實(shí)際問(wèn)題還原出數(shù)學(xué)本質(zhì)，可積極調(diào)動(dòng)地學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。定理的證明要留給學(xué)生充分的思考空間，讓他們自主探究，通過(guò)類(lèi)比得到答案 投影儀（多媒體教室） （4）教學(xué)設(shè)想 1、設(shè)置情境 (投影出圖3.4-1)同學(xué)們,這是北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，大家想一想,你能通過(guò)這個(gè)簡(jiǎn)單的風(fēng)車(chē)造型中得到一些相等和不等關(guān)系嗎? 提問(wèn)1:我們把“風(fēng)車(chē)”造型抽象成圖3.4-2.在正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.

3、設(shè)直角三角形的長(zhǎng)為x、y，那么正方形的邊長(zhǎng)為多少？面積為多少呢？ 生答：， 提問(wèn)2：那4個(gè)直角三角形的面積和呢？ 生答：2xy 提問(wèn)3：好，根據(jù)觀察4個(gè)直角三角形的面積和正方形的面積，我們可得容易得到一個(gè)不等式， 1 / 5 2xy。什么時(shí)候這兩部分面積相等呢？ 生答：當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即x=y時(shí)，正方形EFGH變成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有=2xy 2、新課講授 （1）一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù) x、y，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立。 提問(wèn)4：你能給出它的證明嗎？ (學(xué)生嘗試證明后口答,老師板書(shū)) 證明: -=, 當(dāng)時(shí)>0 ,當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立。 所以

4、 即 ，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立。 （2） 設(shè)x=,y=,則由這個(gè)不等式可以得出下列結(jié)論： 如果a,b都是非負(fù)數(shù)，那么，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。 我們稱(chēng)上述不等式為基本不等式， 其中稱(chēng)為a,b的算術(shù)平均數(shù)，為a,b的幾何平均數(shù)。因此，基本不等式，又被稱(chēng)為均值不等式。 （3） 基本不等式的一種幾何解釋。 如圖1所示,AB是圓O的直徑，AC=a, CB=b,過(guò)點(diǎn)C作交圓O上半圓于D， 連接AD，BD，由射影定理可知：

5、 CD=，而OD=， 因?yàn)镺DCD 所以 當(dāng)且僅當(dāng)C于O重合，即a=b時(shí)，等號(hào)成立。 （4） 應(yīng)用 例1 設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式. 證明 因?yàn)閍,b 均為正數(shù)，由基本不等式，可知 也即，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。 下面給出這個(gè)不等式的幾何解釋。

6、 如上圖，AB是圓O的直徑，AC=a, CB=b,過(guò)點(diǎn)C作交圓O上半圓于D，過(guò)點(diǎn)C 作于E， 在ＲｔＯＣＤ中，由射影定理可知： 　　　　　　　　?。模茫玻剑模牛希? 　　　　　　　　即　　　DE=== 由DCDE ，可得 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。 3. 學(xué)生思考交流 基本不等式的的幾種敘述。 （學(xué)生交流完成） 4. 課堂練習(xí) 課本90頁(yè)練習(xí)題 5. 課時(shí)小結(jié) 1.兩個(gè)重要的不等式 2.基本不等式的聯(lián)系和理解 3.對(duì)基本不等式和例1及練習(xí)題的總結(jié) 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。 6. 課后作業(yè) 1.課本94頁(yè)A 組3和B組1題 2.預(yù)習(xí)3.2節(jié) 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！