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1、
例談回歸分析的應(yīng)用
在解許多實際應(yīng)用問題時，運用回歸分析的基本思想，通過構(gòu)建回歸模型去刻畫解釋變量與預(yù)報變量的關(guān)系，并利用模型，對解釋變量的某個值去預(yù)測相應(yīng)預(yù)報變量的某個值，從而使問題得到解決．
建立回歸模型解實際問題的步驟是：
（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量；
?。?）畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系；
?。?）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型，即擬合直線或擬合曲線；
?。?）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)，從而求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式；
?。?）利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進行預(yù)測和控制
2、，以便為決策提供依據(jù)．
下面舉例說明．
例1 某商場經(jīng)營一批進價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價元與日銷售量臺之間有如下關(guān)系：
35
40
45
50
56
41
28
11
?。?）與是否具有線性相關(guān)關(guān)系？如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程；
（2）設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為元，根據(jù)（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式并預(yù)測當銷售單價為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．
解析：（1）散點圖如右圖所示，并從圖中可以看出，
這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關(guān)．
設(shè)回歸直線為，則由公式求
得，．
3、∴；
（2）依題意有，
∴當時，有最大值約為．
即預(yù)測銷售單價為元時，才能獲得最大日銷售利潤．
1 / 3
點評：本題主要考查構(gòu)建線性回歸模型在解決實際問題中的應(yīng)用．
例2 某國從1790年至1950年人口數(shù)據(jù)資料：
時間
1790
1800
1810
1820
1830
1840
1850
1860
1870
1880
1890
1900
1910
1920
1930
1940
1950
人口
（百萬）
3.929
5.308
7.24
9.368
12.866
17.069
23.182
31.43
4、3
38.558
50.156
62.948
75.995
91.972
105.711
122.775
131.669
150.697
試利用上述資料預(yù)測該國1980年的人口數(shù)（假設(shè)該國政治、社會、經(jīng)濟環(huán)境穩(wěn)定，且人口數(shù)相對于時間是連續(xù)的）．
分析：以軸代表年度，軸代表人口數(shù)，建立直角坐標系，畫出散點圖（略），并觀察散點圖可以發(fā)現(xiàn)，從1890年以后散點近似分布在一條直線上；而從散點圖的整體趨勢來看，也可以認為散點近似分布在一條拋物線上，故可采用線性回歸模型擬合，或采用二次函數(shù)模型擬合．
解法一：由散點圖可以看出，1890年以后散點大致分布在一條直線上，設(shè)線
5、性回歸直線方程為，由公式求得，
即．
∴當時，，即1980年該國人口預(yù)測為194.859百萬人．
解法二：從散點的整體趨勢看，散點近似分布在一條以直線為對稱軸，以點（1790，3.929）為頂點的拋物線上，再任意選一點（1890，62.948）確定拋物線方程為．
∴當時，，即該國人口預(yù)測為216.919百萬人．
點評：本題主要考查重視對信息、圖表的分析，提取，加工和處理能力．兩種解法，由于考慮問題和觀察角度不同，所得到結(jié)論和答案也不相同，線性回歸模型是在依據(jù)部分已知數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上作出的，因此精確度比較差；而二次函數(shù)模型是根據(jù)全部已知數(shù)據(jù)的分布趨勢擬合的，因而有較高的精確度．當然，同學們可以進一步利用回歸分析的方法，通過利用相關(guān)指數(shù)來比較兩個模型的擬合效果．
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