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1、
平面向量的線性運(yùn)算
例1 一輛汽車從點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100公里到達(dá)點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北走了200公里到達(dá)點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100公里到達(dá)點(diǎn)。
（1）作出向量，，；
（2）求。
分析：解答本題應(yīng)首先確立指向標(biāo)，然后再根據(jù)行駛方向確定出有關(guān)向量，進(jìn)而求解。
解析：（1）如圖所示。
（2）由題意易知，與方向相反，故與共線。
又，∴在四邊形中，且，
∴四邊形為平行四邊形。
故（公里）。
評(píng)注：準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn)。
例2 化簡(jiǎn)：。
分析：該例為一基礎(chǔ)題目，可
2、有多種解法。
解法1：原式
1 / 3
=
評(píng)注：該解法是將向量減法轉(zhuǎn)化為加法進(jìn)行化簡(jiǎn)的。
解法2：原式
=+
=
=
評(píng)注：本解法是利用，進(jìn)行化簡(jiǎn)的。
解法3：設(shè)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有
原式
=
3、 評(píng)注：本解法是利用關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)的。
例3 對(duì)于下列各種情況，各向量的終點(diǎn)的集合分別是什么圖形？
（1）把所有單位向量的起點(diǎn)平行移動(dòng)到同一點(diǎn)；
（2）把平行于直線的所有單位向量的起點(diǎn)平行移動(dòng)到直線的點(diǎn)；
（3）把平行于直線的所有向量的起點(diǎn)平行移動(dòng)到直線的點(diǎn)。
分析：數(shù)學(xué)中的向量是自由向量，可以重新選擇起點(diǎn)進(jìn)行平移，只要平移前后兩個(gè)向量相等即可。
解析：（1）是以點(diǎn)為圓心，以1個(gè)單位長(zhǎng)為半徑的圓；
（2）是直線上與的距離為1個(gè)單位長(zhǎng)的兩個(gè)點(diǎn)；
（3）是直線。
評(píng)注：本題是有關(guān)向量的平移變換、單位向量，以及集合等知識(shí)的綜合題。
例4 已知非零向量和不共線，欲使和共線，試確定實(shí)數(shù)的值。
分析：若與共線，則一定存在，使=（）。
解析：∵與共線，∴存在實(shí)數(shù)，使=（），則。
由于和不共線，∴，解得。
評(píng)注： 本題從正反兩方面運(yùn)用了向量數(shù)乘的幾何意義，利用共線得到關(guān)于的方程，用待定系數(shù)法解決問(wèn)題。
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