高考數(shù)學(xué)試題匯編:第7章 直線和圓的方程 第2節(jié)線性規(guī)劃

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1、 第七章 直線和圓的方程 二 線性規(guī)劃 【考點(diǎn)闡述】 用二元一次不等式表示平面區(qū)域.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題. 【考試要求】 (3)了解二元一次不等式表示平面區(qū)域. (4)了解線性規(guī)劃的意義,并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用. 【考題分類(lèi)】 (一)選擇題(共15題) 1.(安徽卷文8)設(shè)x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是 (A)3 (B) 4 (C) 6 (D)8 【答案】.C 【解析】不等式表示的區(qū)域是一個(gè)三角形,3個(gè)頂點(diǎn)是,目標(biāo)函數(shù)在取最大值6。 【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域,若為封

2、閉區(qū)域(即幾條直線圍成的區(qū)域)則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值,求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值. 2.(北京卷理7)設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若指數(shù)函數(shù)y=的圖像上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則a 的取值范圍是 (A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, ] 【答案】A. 解析:這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問(wèn)題,作出區(qū)域D的圖象,聯(lián)系指數(shù)函數(shù)的圖象,能夠看出,當(dāng)圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域的邊界點(diǎn)(2,9)時(shí),a可以取到最大值3,而顯然只要a大于1,圖象必然經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。 3.(福建卷理8)設(shè)不等

3、式組所表示的平面區(qū)域是,平面區(qū)域與關(guān)于直線對(duì)稱。對(duì)于中的任意點(diǎn)與中的任意點(diǎn),的最小值等于 A. B.4 C. D.2 - 2 - / 10 【答案】B 【解析】由題意知,所求的的最小值,即為區(qū)域中的點(diǎn)到直線的距離的最小值的兩倍,畫(huà)出已知不等式表示的平面區(qū)域,如圖所示, 可看出點(diǎn)(1,1)到直線的距離最小,故的最小值為 ,所以選B。 【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃以及兩個(gè)圖形間最小距離的求解、基本公式(點(diǎn)到直線的距離公式等)的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。 4.(福建卷文5)設(shè)x,y,且,則的最小值等于( ) A.2

4、 B.3 C.5 D.9 【答案】B 【解析】畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域如圖陰影所示, 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí),取得最小 值3,故選B。 【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃,在線性約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題,考查同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 5.(全國(guó)Ⅰ卷理3文3)若變量滿足約束條件則的最大值為 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 .B 【命題意圖】本小題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)、作圖、識(shí)圖能力及計(jì)算能力. 【解析】畫(huà)出可行域(如右圖),由圖

5、可知,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,-1)時(shí),z最大,且最大值為 . x A L0 A 6.(全國(guó)Ⅰ新卷文11)已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),點(diǎn)(x,y)在ABCD的內(nèi)部,則z=2x-5y的取值范圍是 (A)(-14,16) (B)(-14,20) (C)(-12,18) (D)(-12,20) 【答案】B 解析:由已知條件得,由得,所以當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,4)時(shí),最大,即取最小為;當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(0,)時(shí),最小,即取最大為20,又由于點(diǎn)在四邊形的內(nèi)部,故.

6、7.(全國(guó)Ⅱ卷理3文5)若變量滿足約束條件則的最大值為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題. 【解析】可行域是由構(gòu)成的三角形,可知目標(biāo)函數(shù)過(guò)C時(shí)最大,最大值為3,故選C. 8.(山東卷理10)設(shè)變量x、y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)z=3x-4y的最大值和最小值分別為 (A)3,-11 (B) -3, -11 (C)11, -3 (D)11,3 【答案】A 【解析】畫(huà)出平面區(qū)域如圖所示: 可知當(dāng)直線平移到點(diǎn)(

7、5,3)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值3;當(dāng)直線平移到點(diǎn)(3, 5)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值-11,故選A。 【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識(shí),畫(huà)出平面區(qū)域與正確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解答好本題的關(guān)鍵。 9.(上海卷文15)滿足線性約束條件的目標(biāo)函數(shù) 的最大值是( ) (A)1. (B). (C)2. (D)3. 解析:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B(1,1)時(shí),z最大值為2 10.(四川卷理7文8)某加工廠用某原料由車(chē)間加工出產(chǎn)品,由乙車(chē)間加工出產(chǎn)品.甲車(chē)間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)10小時(shí)可加工出7千克產(chǎn)品,每千克產(chǎn)品獲利40元.乙車(chē)間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí)

8、6小時(shí)可加工出4千克產(chǎn)品,每千克產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車(chē)間每天功能完成至多70多箱原料的加工,每天甲、乙車(chē)間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過(guò)480小時(shí),甲、乙兩車(chē)間每天獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為 (A)甲車(chē)間加工原料10箱,乙車(chē)間加工原料60箱 y 0 x 70 48 80 70 (15,55) (B)甲車(chē)間加工原料15箱,乙車(chē)間加工原料55箱 (C)甲車(chē)間加工原料18箱,乙車(chē)間加工原料50箱 (D)甲車(chē)間加工原料40箱,乙車(chē)間加工原料30箱 解析:設(shè)甲車(chē)間加工原料x(chóng)箱,乙車(chē)間加工原料y箱 則 目標(biāo)函數(shù)z=280x+300y 結(jié)合圖象可得:當(dāng)x=15,y=55時(shí)z最大 本題

9、也可以將答案逐項(xiàng)代入檢驗(yàn). 答案:B 11.(天津卷文2)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y的最大值為 (A)12 (B)10 (C)8 (D)2 【答案】B 【解析】畫(huà)出平面區(qū)域可知,當(dāng)直線z=4x+2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y取得最大值10,故選B。 【命題意圖】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 12.(浙江卷理7)若實(shí)數(shù),滿足不等式組且的最大值為9,則實(shí)數(shù) (A) (B) (C)1 (D)2 解析:將最大值轉(zhuǎn)化

10、為y軸上的截距,將m等價(jià)為斜率的倒數(shù),數(shù)形結(jié)合可知答案選C,本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組,以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想,屬中檔題 13.(浙江卷文7)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組合 ,則x+y的最大值為 (A)9 (B) (C)1 (D) 解析:將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距,可知答案選A,本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組,以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想,屬中檔題 14.(重慶卷理4)設(shè)變量x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值為 A.—2 B. 4 C.

11、 6 D. 8 【答案】C 解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B(3,0)的時(shí)候,z取得最大值6. 15.(重慶卷文7)設(shè)變量滿足約束條件則的最大值為 (A)0 (B)2 (C)4 (D)6 【答案】C 【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示, 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)B時(shí),在y軸上截距最小,z最大 由B(2,2)知4 (二)填空題(共6題) 1.(安徽卷理13)設(shè)滿足約束條件,若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8,則的最小值為_(kāi)_______。 【答案】4 【解析】不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形,4個(gè)頂點(diǎn)是 ,

12、易見(jiàn)目標(biāo)函數(shù)在取最大值8, 所以,所以,在時(shí)是等號(hào)成立。所以的最小值為4. 【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域,若為封閉區(qū)域(即幾條直線圍成的區(qū)域)則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值,求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入得,要想求的最小值,顯然要利用基本不等式. 2.(北京卷文11)若點(diǎn)p(m,3)到直線的距離為4,且點(diǎn)p在不等式<3表示的平面區(qū)域內(nèi),則m = 。 3.(湖北卷理12文12)已知,式中變量,滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)__________. 【答案】5 【解析】依題意,畫(huà)出可行域(如圖示), 則對(duì)于目標(biāo)函數(shù)y=2x-z, 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)A(2,-1)時(shí),

13、 z取到最大值,. 4.(遼寧卷理14文15)已知且,則的取值范圍是_______(答案用區(qū)間表示) 5.(陜西卷理14)鐵礦石A和B的含鐵率a ,冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的的排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如下表: a B(萬(wàn)噸) C(百萬(wàn)元) A 50% 1 3 B 70% 0.5 6 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬(wàn)噸)鐵,若要求的排放量不超過(guò)2(萬(wàn)噸)則購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的最少費(fèi)用為 (萬(wàn)元) 【答案】15 【解析】設(shè)鐵礦石購(gòu)買(mǎi)了萬(wàn)噸,鐵礦石購(gòu)買(mǎi)了萬(wàn)噸,購(gòu)買(mǎi)鐵礦石的費(fèi)用為百萬(wàn)元,則由題設(shè)知,本題即求實(shí)數(shù)滿足約束條件,即(*)時(shí),的最小值.

14、 作不等式組(*)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,如圖陰影部分所示.現(xiàn)讓直線,即平移分析即知,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最小值. 又解方程組得點(diǎn)坐標(biāo)為. 故. 6.(陜西卷文14)設(shè)x,y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的最大值為 . 【答案】5 (三)解答題(共1題) 1.(廣東卷理19文19)某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐。已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物6個(gè)單位蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C;一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外,該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物,42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C. 如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元,那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求,并且花費(fèi)最少,應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐? 解:設(shè)該兒童分別預(yù)訂個(gè)單位的午餐和晚餐,共花費(fèi)元,則。 可行域?yàn)? 即 作出可行域如圖所示: 經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),當(dāng)時(shí),花費(fèi)最少,為元. 希望對(duì)大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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