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1、
導(dǎo)數(shù)的幾何意義在解題中的應(yīng)用
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減、函數(shù)變化快慢、作曲線切線問(wèn)題和求函數(shù)最值問(wèn)題的最一般、最有效的工具.函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率.下面我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決具體的函數(shù)問(wèn)題.
例1. 已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax,x∈R,且曲線y=f(x)的切線的斜率的最小值為-1.
(1)求a的值；
(2)求f(x)在x=1處的切線方程；
(3)若直線l過(guò)原點(diǎn)，且與曲線y= f(x)相切，求直線l的斜率k的值．
【思路點(diǎn)撥】首先由“斜率的最小值為-1”求出解析式，再根據(jù)切線方程的求法列
2、方程，求出k的值．
【解】(1)∵＝3(x-1)2+a-3
∴切線斜率的最小值為(1)=a-3=-1，∴a=2,
(2)∵(x)=3x2-6x+2，
∴曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率為(1)＝-1，
∴切線方程為y=-1(x-1)+13-312+21，即y=-x+1.
(3)∵y=x3-3x2+2x，
∴=3x2-6x＋2．
∴直線和曲線均過(guò)原點(diǎn)，
當(dāng)原點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí)，切線斜率k==2,
當(dāng)原點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0)，其中x0≠0,則切線的斜率k=．
- 1 - / 3
綜上所述,k=2或．
【方法技巧】(1)需要準(zhǔn)確理解在已知曲線上某點(diǎn)處的
3、切線的兩層含義：一是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率；二是該點(diǎn)坐標(biāo)滿足已知曲線的方程．（2)當(dāng)某點(diǎn)不在曲線上求過(guò)此點(diǎn)的切線問(wèn)題時(shí)，要先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義表示出切線方程，再把已知點(diǎn)代入切線方程，從而得出所求方程．(3)當(dāng)不能確定曲線上的點(diǎn)(x0,f(x0))是否為切點(diǎn)時(shí)，要注意分(x0,f(x0)) 是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論．
例2．已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=x2+a(a為常數(shù)),直線與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且與函數(shù)f(x)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.求直線的方程及a的值.
【思路點(diǎn)撥】由直線與函數(shù)f(x)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,可利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f(x)在該點(diǎn)切
4、線的斜率,利用點(diǎn)斜式求出直線的方程;因?yàn)橹本€與函數(shù)g(x)的圖象相切,所以與g(x)有且只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)可將直線代入g(x),通過(guò)Δ=0,求出a的值.
【解】由f′(x)|x=1=1,知kl=1,切點(diǎn)為(1,f(1)),即(1,0),所以直線的方程為y=x-1.
直線與y=g(x)的圖象相切,等價(jià)于方程組只有一解,即方程x2-x+(1+a)=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,
∴Δ=1-4(1+a)=0.∴a=-.
【方法技巧】本題通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的切線、利用方程的思想判斷函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)問(wèn)題,考查了學(xué)生的應(yīng)用能力及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.
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