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1、
反證法
一、教學(xué)目標(biāo)：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn)。
二、教學(xué)重點(diǎn)：了解反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn)
教學(xué)難點(diǎn)：正確理解、運(yùn)用反證法
三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合
四、教學(xué)過(guò)程
（一）、復(fù)習(xí)：反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn)。
反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。
用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)
2、歸謬；(3)結(jié)論。
反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。
歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類(lèi)型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。
（二）、探究新課
反證法是數(shù)學(xué)中非構(gòu)造性證明中的極
3、重要的方法。對(duì)于處理存在性問(wèn)題、否定性問(wèn)題、唯一性問(wèn)題和至多、至少性問(wèn)題，反證法具有特殊的優(yōu)越性。
例1、已知，求證：中，至少有一個(gè)數(shù)大于25。
證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即均不大于25，那么
- 1 - / 4
，
這與已知條件相矛盾。所以，中，至少有一個(gè)數(shù)大于25。
例2、求證：1，2，不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)。
證明：假設(shè)1，2，是公差為d的等差數(shù)列的第p，q，r項(xiàng)，則
，于是
。
因?yàn)閜，q，r均為整數(shù)，所以等式右邊是有理數(shù)，而等式左邊是無(wú)理數(shù)，二者不可能相等，推出矛盾。
所以，1，2，不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)。
例3、如圖所示，直線a平行于平面α
4、，β是過(guò)直線a的平面，平面α與β相交于直線b，求證：直線a平行于直線b。
證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“直線a不平行于直線b”。
由于直線a，b在同一平面β中，且直線a，b不平行。
故直線a，b相交，
設(shè)交點(diǎn)為A，A在直線b上，故A在平面α上。
所以，直線a與平面α相交于A。這與條件“直線a平行于平面α”矛盾。
因此，假設(shè)不成立，即“直線a平行于直線b”。
（三）、小結(jié)：反證法與直接證法是相對(duì)而言的，在證明過(guò)程中我們不能僵化的使用反證法。對(duì)于一個(gè)證明來(lái)說(shuō)，可能要交替地使用這兩種證法。
1.哪些命題適宜用反證法加以證明？籠統(tǒng)地說(shuō)，正面證明繁瑣或困難時(shí)宜用反證法；具體地講，當(dāng)所證
5、命題的結(jié)論為否定形式或含有“至多”、“至少”等不確定詞，此外，“存在性”、“唯一性”問(wèn)題.
2.歸謬是“反證法”的核心步驟，歸謬得到的邏輯矛盾，常見(jiàn)的類(lèi)型有哪些？歸謬包括推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、公式矛盾，或與已知條件、臨時(shí)假設(shè)矛盾，以及自相矛盾等各種情形。
(四)、練習(xí)：1、課本練習(xí)2。
2、（1）用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（ ）
(A) 假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；
(B) 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；
(C) 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；
(D) 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。
（2
6、）已知＝2，關(guān)于p＋q的取值范圍的說(shuō)法正確的是 （ ）
（A）一定不大于2 （B）一定不大于
（C）一定不小于 （D）一定不小于2
解析 用反證法可得（1）應(yīng)選（B） （2）應(yīng)選（A）
3、 用反證法證明命題“如果那么”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)____________.
解析：用反證法可得應(yīng)填 或
4、如果為無(wú)理數(shù)，求證是無(wú)理數(shù).
提示：假設(shè)為有理數(shù)，則可表示為（為整數(shù)），即.
由，則也是有理數(shù)，這與已知矛盾. ∴ 是無(wú)理數(shù).
（五）、作業(yè)：課本習(xí)題1-3： 1、5
補(bǔ)充題：對(duì)于直線l：y=kx+1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x－y=1的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對(duì)稱？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
證明：（反證法）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對(duì)稱，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）則
由 ④
由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤
由④知x1+x2= 代入⑤整理得：ak=－3與①矛盾。
故不存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對(duì)稱。
五、教后反思：
希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！
高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第1章 反證法 第二課時(shí)參考教案
