蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件7.2空間幾何體的表面積和體積.ppt

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第2課時(shí)空間幾何體的表面積和體積,了解球、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式),【命題預(yù)測(cè)】1．表面積在高考中出現(xiàn)的頻率較高，多以填空題出現(xiàn)，在計(jì)算題或解答題中出現(xiàn)時(shí)，往往與其他知識(shí)相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，難度適中．2．體積在高考中是熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，要求立體思維能力強(qiáng)，空間想象力豐富，常常結(jié)合三角函數(shù)、面積等知識(shí)綜合考查，題型靈活多樣．,【應(yīng)試對(duì)策】1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積公式是由側(cè)面展開(kāi)圖得到的，不要死記硬背，計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)側(cè)面展開(kāi)圖的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算．注意區(qū)分所求的是側(cè)面積還是表面積，還要認(rèn)清所求的幾何體是柱、錐，臺(tái)中的哪一類．對(duì)棱柱、棱錐和棱臺(tái)的側(cè)面積公式的內(nèi)在聯(lián)系必須明確，這樣有利于認(rèn)識(shí)這三個(gè)幾何體的本質(zhì)，也有利于區(qū)分這三個(gè)幾何體．,2．在求解空間幾何體的表面積等問(wèn)題時(shí)，常將空間幾何體的表面展開(kāi)，化曲為直，將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，這是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法．研究柱、錐、臺(tái)表面積的關(guān)鍵是明確它們的平面展開(kāi)圖的形狀．認(rèn)識(shí)了側(cè)面展開(kāi)圖的形狀，自己就可以得出側(cè)面積公式了．對(duì)于能用公式直接求柱、錐、臺(tái)體與球的表面積的問(wèn)題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來(lái)解決．,3．求組合體的面積或體積，首先要弄清它是由哪些基本幾何體構(gòu)成，然后將其轉(zhuǎn)化為這些簡(jiǎn)單幾何體的表面積或體積之和．關(guān)于體積問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題；一是利用分割、拼補(bǔ)的技巧化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題；二是利用等積的技巧，利用體積作為中間量溝通有關(guān)元素之間的關(guān)系，從而完成計(jì)算．,【知識(shí)拓展】1．棱錐與平行于底面的截面的一個(gè)性質(zhì)棱錐與平行于底面的截面所構(gòu)成的小棱錐中，有如下比例性質(zhì)：＝對(duì)應(yīng)線段(如高、斜高、底面邊長(zhǎng)等)的平方比．,1．直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的概念，側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積平面展開(kāi)圖：一些簡(jiǎn)單的多面體可以沿著多面體的某些棱將它剪開(kāi)而成平面圖形，這個(gè)平面圖形叫做該多面體的平面展開(kāi)圖，展開(kāi)圖的面積稱為多面體的表面積(或全面積).,,,,直棱柱,正棱柱,正棱錐,,正棱臺(tái),,ch,,,,2.旋轉(zhuǎn)體的表面積公式(1)圓柱的側(cè)面積S＝(其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(2)圓錐的側(cè)面積S＝(其中r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(3)圓臺(tái)的側(cè)面積公式S＝(其中r′，r為上、下底面半徑，l為母線長(zhǎng))．(4)球的表面積公式S＝(其中R為球半徑)．,2πrl,πrl,π(r＋r′)l,4πR2,3．幾何體的體積公式(1)柱體的體積公式V＝(其中S為底面面積，h為高)．(2)錐體的體積公式V＝(其中S為底面面積，h為高)．(3)臺(tái)體的體積公式V＝(其中S′，S為上、下底面面積，h為高)．(4)球的體積公式V＝(其中R為球半徑)．,Sh,探究：對(duì)于不規(guī)則的幾何體應(yīng)如何求其體積？提示：對(duì)于求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法，轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決．雖說(shuō)在某些情況下，割補(bǔ)法優(yōu)于整體法，但是一般情況下，還是應(yīng)該先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行整體思考．,1．(2010栟茶中學(xué)學(xué)情分析)正方體中，連接相鄰兩個(gè)面的中心的連線可以構(gòu)成一個(gè)美麗的幾何體．若正方體的邊長(zhǎng)為1，則這個(gè)美麗的幾何體的體積為_(kāi)_______．答案：,2．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)為6π和4π的矩形，則圓柱的全面積為_(kāi)_______．答案：6π(4π＋3)或8π(3π＋1),3．已知某球的體積大小等于其表面積大小，則此球的半徑是________．解析：設(shè)球的半徑為R，則πR3＝4πR2，∴R＝3.答案：3,4．(2010江蘇連云港市高考模擬)在一個(gè)密封的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體．如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是________．答案：,1．多面體的展開(kāi)圖：(1)直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形．(2)正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形．(3)正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形．,2．旋轉(zhuǎn)體的展開(kāi)圖：(1)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，矩形的長(zhǎng)是底面圓周長(zhǎng)，寬是圓柱的母線長(zhǎng)．(2)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)，弧長(zhǎng)是圓錐的底面周長(zhǎng)．(3)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長(zhǎng)分別為圓臺(tái)的上、下底面周長(zhǎng)．,【例1】如圖，已知圓柱的高為80cm，底面半徑為10cm，軸截面上有P、Q兩點(diǎn)，且PA=40cm，B1Q=30cm，若一只螞蟻沿著側(cè)面從P點(diǎn)爬到Q點(diǎn)，問(wèn)螞蟻爬過(guò)的最短路徑是多少？思路點(diǎn)撥：把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，這樣就把求最短路徑轉(zhuǎn)化成了求展開(kāi)圖上線段的長(zhǎng)度．,解：將圓柱側(cè)面沿母線AA1展開(kāi)，得到右圖的矩形．所以A1B1=2πr=πr=10π(cm)．作QS⊥AA1于點(diǎn)S，在Rt△PQS中，PS=80-40-30=10(cm)，QS=A1B1=10π(cm)∴PQ=(cm)即螞蟻爬過(guò)的最短路徑是10cm.,變式1：如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a>b>c>0.求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C1的最短線路的長(zhǎng)．解：將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開(kāi)有下列三種可能，如下圖所示．,1．多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．2．組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理．,【例2】(2009福建)如右圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60，AB=2，AD=4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求證：AB⊥DE；(2)求三棱錐E—ABD的側(cè)面積．證明：(1)在△ABD中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60，∴BD=∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD.又∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.,(2)解：由(1)知AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，從而DE⊥BD，在Rt△DBE中，∵DB=2，DE=DC=AB=2，∴S△BDE=DBDE=2.又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE=BC=AD=4，∴S△ABE=ABBE=4，∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE=ADDE=4綜上，三棱錐E—ABD的側(cè)面積S=8+2.,如右圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)均為a，且∠A1AC=∠A1AB=60.(1)求證：四邊形BCC1B1為矩形；(2)求三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面積和體積．,變式2：,解：(1)證明：證法一：連結(jié)A1B、A1C，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD、A1D，由AB=AC=AA1，如右圖①，且∠A1AC=∠A1AB=60知△A1AB≌△A1AC，則A1B＝A1C，∴A1D⊥BC，又AD⊥BC.因此BC⊥平面A1AD，則BC⊥AA1，又BB1∥AA1，則BB1⊥BC，因此?BCC1B1是矩形．,證法二：如右圖②，取BC的中點(diǎn)D，作A1O⊥平面ABC由∠A1AB＝∠A1AC＝60知，垂足O∈AD.∵AB＝AC，則AD⊥BC，根據(jù)三垂線定理得AA1⊥BC，又BB1∥AA1，∴BB1⊥BC，即?BCC1B1為矩形．(2)如右圖②，作BE⊥AA1垂足為E，連結(jié)CE，∵∠EAB＝60，則E為AA1的中點(diǎn)，又△ABE≌△ACE，則CE⊥AA1，又BE＝CE＝AB＝a，則S側(cè)面積＝(BE＋CE＋BC)AA1＝(＋1)a2三棱柱的體積V＝S△BECAA1＝a3.,(1)計(jì)算多面體的體積，基礎(chǔ)仍是多面體中一些主要線段的關(guān)系，要求概念清楚，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系要明確，關(guān)鍵是正確地計(jì)算其底面面積和相應(yīng)的高．(2)在計(jì)算多面體體積時(shí)要注意割補(bǔ)法和等積變換的應(yīng)用．(3)計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積關(guān)鍵是計(jì)算半徑和高度．,【例3】圓臺(tái)的上、下底面面積分別為4和16，中截面把圓臺(tái)分成兩部分，試求這兩部分的體積之比．思路點(diǎn)撥：中截面把圓臺(tái)分成兩個(gè)圓臺(tái)，分別求出兩個(gè)圓臺(tái)的體積即可得出比值．,解：設(shè)這兩部分的體積分別為V1，V2，圓臺(tái)的高為2h，上、下底面的面積之比為，∴上、下底面的半徑之比為，∴截得圓臺(tái)的大圓錐的高為4h，設(shè)截得圓臺(tái)的大圓錐被圓臺(tái)上底面截下的小圓錐的體積為V，則，∴V1＝V.,變式3：如圖所示，三棱臺(tái)ABC—A1B1C1中，AB∶A1B1=1∶2，則三棱錐A1—ABC，B—A1B1C，C—A1B1C1的體積之比為.解析：設(shè)棱臺(tái)的高為h，S△ABC=S，則S△A1B1C1=4S.答案：1∶2∶4,【規(guī)律方法總結(jié)】1．應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過(guò)程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用．2．如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，在求其側(cè)面積或全面積時(shí)，應(yīng)對(duì)每一個(gè)側(cè)面的面積分別求解后再相加．,3．圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，兩邊為底面周長(zhǎng)和母線；圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，弧長(zhǎng)為底面周長(zhǎng)，半徑為母線長(zhǎng)；圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)，兩弧長(zhǎng)為兩底面周長(zhǎng)，腰為母線長(zhǎng)．,4．常用的幾個(gè)思想方法(1)還臺(tái)為錐的思想：這是處理臺(tái)體時(shí)常用的思想方法．(2)割補(bǔ)法：求不規(guī)則圖形面積或幾何體體積時(shí)常用．(3)等積變換法：充分利用三棱錐的任意一個(gè)面都可作為底面的特點(diǎn)，靈活求解三棱錐的體積．(4)截面法：尤其是關(guān)于旋轉(zhuǎn)體及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問(wèn)題，常畫出軸截面進(jìn)行分析求解.,【例4】如圖所示的△OAB繞x軸和y軸各旋轉(zhuǎn)一周，各自會(huì)產(chǎn)生怎樣的幾何體，分別計(jì)算其表面積.,【錯(cuò)因分析】解本題易出現(xiàn)的主要錯(cuò)誤有：(1)錯(cuò)誤判斷幾何體的形狀，如繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)漏掉了線段OB所產(chǎn)生的圓面，這樣計(jì)算時(shí)就少了這個(gè)圓的面積；(2)用錯(cuò)旋轉(zhuǎn)體的面積計(jì)算公式，特別是圓臺(tái)的側(cè)面積公式，導(dǎo)致運(yùn)算結(jié)果錯(cuò)誤．,【答題模板】解：繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體是一個(gè)上下底面半徑分別為2,3，高為3的圓臺(tái)，挖去了一個(gè)底面半徑為3，高為的3圓錐，如圖(1)所示，其表面積是圓臺(tái)的半徑為2的底面積、圓臺(tái)的側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積之和．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是，圓錐的母線長(zhǎng)是3，故其表面積S1＝π22＋π(2＋3)＋π33＝(4＋5＋9)π；繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體是一個(gè)大圓錐挖去了一個(gè)小圓錐，,如圖(2)所示，此時(shí)大圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為3，小圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為，這個(gè)空間幾何體的表面積是這兩個(gè)圓錐的側(cè)面積之和，故S2＝π33＋π3＝(9＋3)π.,旋轉(zhuǎn)體的面積公式圓柱：S全＝2πr2＋2πrh(r為底面半徑，h為高或母線長(zhǎng))；圓錐：S全＝πr2πrl(r為底面半徑，l為母線長(zhǎng))；圓臺(tái)：S全＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r為下底半徑，r為上底半徑，l為母線長(zhǎng))；球：S球＝4πR2(R為球的半徑)．在解決面積計(jì)算問(wèn)時(shí)，一要看準(zhǔn)計(jì)算的是全面積還是側(cè)面積，二要準(zhǔn)確地利用公式，防止出現(xiàn)誤用公式.,1．一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_(kāi)_______．解析：由球與長(zhǎng)方體的關(guān)系可知，球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即2R＝，從而S球＝4πR2＝14π.答案：14π,2．如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)等于b，一條側(cè)棱AA1和底面相鄰兩邊AB、AC都成45角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積．解：求斜棱柱的側(cè)面積一般有兩種方法：一是定義法；一是公式法．,∵AA1和底面AB、AC成等角，且為45角，∴A1在底面ABC上的射影在∠BAC的平分線AG上，又△ABC為正三角形，∴AG⊥BC.∵A1A在底面ABC上的射影在AG上，∴BC⊥A1A.又A1A∥B1B，∴B1B⊥BC，即側(cè)面B1BCC1為矩形．∴SB1BCC1＝B1BBC＝ab.又側(cè)面A1ABB1和側(cè)面A1ACC1都是平行四邊形，且全等，∴SA1ABB1＝SA1ACC1＝A1AABsin45＝ab，∴S側(cè)＝(＋1)ab.,