《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第二章-拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射-學(xué)習(xí)筆記(總41頁)

《《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第二章-拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射-學(xué)習(xí)筆記(總41頁)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)》第二章-拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射-學(xué)習(xí)筆記(總41頁)（40頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2章　度量空間與連續(xù)映射 從數(shù)學(xué)分析中已經(jīng)熟知單變量和多變量的連續(xù)函數(shù)，它們的定義域和值域都是歐氏空間（直線，平面或空間等等）或是其中的一部分．在這一章中我們首先將連續(xù)函數(shù)的定義域和值域主要特征抽象出來用以定義度量空間，將連續(xù)函數(shù)的主要特征抽象出來用以定義度量空間之間的連續(xù)映射（參見2.1）．然后將兩者再度抽象，給出拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射（參見2.2）．隨后再逐步提出拓?fù)淇臻g中的一些基本問題如鄰域，閉包，內(nèi)部，邊界，基和子基，序列等等． 2.1　度量空間與連續(xù)映射 本節(jié)重點(diǎn)：掌握拓?fù)鋵W(xué)中度量的概念及度量空間中的連續(xù)映射的概念． 注意區(qū)別：數(shù)學(xué)分析中度量、連續(xù)映射

2、的概念與本節(jié)中度量、連續(xù)映射的概念． 注意，在本節(jié)的證明中,應(yīng)細(xì)細(xì)體會(huì)證明的方法． 首先讓我們回憶一下在數(shù)學(xué)分析中學(xué)習(xí)過的連續(xù)函數(shù)的定義．函數(shù)f：R→R稱為在點(diǎn)∈R處是連續(xù)的，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)ε＞0，存在實(shí)數(shù)δ＞0，使得對(duì)于任何x∈R，當(dāng)|x-|<δ時(shí),有|f(x)-f()|<ε.在這個(gè)定義中只涉及兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的距離（即兩個(gè)實(shí)數(shù)之差的絕對(duì)值）這個(gè)概念；為了驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處的連續(xù)性往往只要用到關(guān)于上述距離的最基本的性質(zhì)，而與實(shí)數(shù)的其它性質(zhì)無關(guān)，關(guān)于多元函數(shù)的連續(xù)性情形也完全類似．以下，我們從這一考察出發(fā)，抽象出度量和度量空間的概念. 定義2.1.1　設(shè)X是一個(gè)集合，ρ：XX

3、→R．如果對(duì)于任何x，y，z∈X，有 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0當(dāng)且僅當(dāng)x=y； （2）(對(duì)稱性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 則稱ρ是集合X的一個(gè)度量． 如果ρ是集合X的一個(gè)度量，稱（X，ρ）是一個(gè)度量空間，或稱X是一個(gè)對(duì)于ρ而言的度量空間．有時(shí)，或者度量ρ早有約定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，這時(shí)我們稱X是一個(gè)度量空間．此外，對(duì)于任意兩點(diǎn)x，y∈X，實(shí)數(shù)ρ(x，y)稱為從點(diǎn)x到點(diǎn)y的距離． 著重理解：度量的本質(zhì)是什么？ 例2.1.1　實(shí)數(shù)空間R． 對(duì)于實(shí)數(shù)集合R

4、，定義ρ：RR→R如下：對(duì)于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易驗(yàn)證ρ是R的一個(gè)度量，因此偶對(duì)（R，ρ）是一個(gè)度量空間．這個(gè)度量空間特別地稱為實(shí)數(shù)空間或直線．這里定義的度量ρ，稱為R的通常度量，并且常常略而不提，逕稱R為實(shí)數(shù)空間．（今后我們說實(shí)數(shù)空間，均指具有通常度量的實(shí)數(shù)空間．） 　　 例2.1.2　n維歐氏空間． 對(duì)于實(shí)數(shù)集合R的n重笛卡兒積 ＝RR…R 定義ρ：→R如下：對(duì)于任意x=（）, y=， 令 ρ（x，y）＝ 容易驗(yàn)證（詳見課本本節(jié)最后部分的附錄）ρ是的一個(gè)度量，因此偶對(duì)(，ρ)是一個(gè)度量空間．這個(gè)度量空間特別地稱為n維歐氏空間．這里定義的度量ρ，稱

5、為的通常度量，并且常常略而不提，逕稱為n維歐氏空間．2維歐氏空間通常稱為歐氏平面或平面．（今后說通常度量，均指滿足這種公式的度量） 　　 例2.1.3　Hilbert空間H． 記H為平方收斂的所有實(shí)數(shù)序列構(gòu)成的集合，即 H＝{x=()|<∞} 定義ρ如下：對(duì)于任意 x＝（），y＝（）∈H 令ρ(x,y)= 說明這個(gè)定義是合理的（即驗(yàn)證<∞）以及驗(yàn)證ρ是H的一個(gè)度量，均請(qǐng)參見課本本節(jié)最后部分的附錄．偶對(duì)（H，ρ）是一個(gè)度量空間．這個(gè)度量空間特別地稱為Hilbert空間．這里定義的度量ρ稱為H的通常度量，并且常常略而不提，逕稱H為Hilbert空間． 　　 例2.1.4　離

6、散的度量空間． 設(shè)（X，ρ）是一個(gè)度量空間．稱（X，ρ）是離散的，或者稱ρ是X的一個(gè)離散度量，如果對(duì)于每一個(gè)x∈X，存在一個(gè)實(shí)數(shù)＞0使得ρ（x，y）＞對(duì)于任何y∈X，x≠y，成立． 例如我們假定X是一個(gè)集合，定義ρ：XX→R使得對(duì)于任何 x，y∈X，有 ρ(x,y)= 容易驗(yàn)證ρ是X的一個(gè)離散的度量，因此度量空間（X，ρ）是離散的． 通過這幾個(gè)例子，可知，度量也是一種映射，但它的象空間是實(shí)數(shù)． 離散的度量空間或許是我們以前未曾接觸過的一類空間，但今后會(huì)發(fā)現(xiàn)它的性質(zhì)是簡(jiǎn)單的． 定義2.1.2　設(shè)（X，ρ）是一個(gè)度量空間，x∈X．對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ε＞0，集合 {y∈X|ρ（

7、x，y）<ε} 記作B（x，ε），或，稱為一個(gè)以x為中心以ε為半徑的球形鄰域,簡(jiǎn)稱為x的一個(gè)球形鄰域，有時(shí)也稱為x的一個(gè)ε鄰域． 此處的球形鄰域是球狀的嗎？ 定理2.1.1　度量空間（X，ρ）的球形鄰域具有以下基本性質(zhì)： （1）每一點(diǎn)x∈X,至少有一個(gè)球形鄰域，并且點(diǎn)x屬于它的每一個(gè)球形鄰域； （2）對(duì)于點(diǎn)x∈X的任意兩個(gè)球形鄰域，存在x的一個(gè)球形鄰域同時(shí)包含于兩者； (3) 如果y∈X屬于x∈X的某一個(gè)球形鄰域，則y有一個(gè)球形鄰域包含于x的那個(gè)球形鄰域． 證明:（1）設(shè)x∈X．對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)ε＞0，B（x，ε）是x的一個(gè)球形鄰域，所以x至少有一個(gè)球形鄰域；由于ρ（x，x）

8、=0，所以x屬于它的每一個(gè)球形鄰域． (2)如果B（x，）和B（x，）是x∈X的兩個(gè)球形鄰域，任意選取實(shí)數(shù) ε＞0，使得ε＜min{ }，則易見有 B（x，ε）B（x，）∩B（x，） 即B（x，ε）滿足要求． （3）設(shè)y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y）．顯然．＞0．如果z∈B（y，），則 ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x）＜+ρ（y，x）=ε 所以z∈B（x，ε）．這證明B（y，）B（x，ε）． 定義2.1.3　設(shè)A是度量空間X的一個(gè)子集．如果A中的每一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于A（即對(duì)于每一個(gè)a∈A，存在實(shí)數(shù)ε＞0使得B（a，ε）A，則稱A是度量空間X中的一個(gè)

9、開集． 注意：此處的開集僅是度量空間的開集． 例2.1.5　實(shí)數(shù)空間R中的開區(qū)間都是開集． 設(shè)a，b∈R，a＜b．我們說開區(qū)間 （a，b）={x∈R|a＜x＜b} 是R中的一個(gè)開集．這是因?yàn)槿绻鹸∈（a，b），若令 ε＝min{x-a，b-x}， 則有B（x，ε）（a，b）．也同樣容易證明無限的開區(qū)間 （a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b} （-∞,∞）＝R 都是R中的開集．然而閉區(qū)間 [a，b]={x∈R|a≤x≤b} 卻不是R中的開集．因?yàn)閷?duì)于a∈[a，b]而言，任何 ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．類似地，半開半閉的區(qū)間 （

10、a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b} 無限的閉區(qū)問 [a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b} 都不是R中的開集． 定理2.1.2　度量空間X中的開集具有以下性質(zhì)： （1）集合X本身和空集都是開集； （2）任意兩個(gè)開集的交是一個(gè)開集； （3）任意一個(gè)開集族（即由開集構(gòu)成的族）的并是一個(gè)開集． 證明　根據(jù)定理2.1.1 （1）X中的每一個(gè)元素x都有一個(gè)球形鄰域，這個(gè)球形鄰域當(dāng)然包含在X中，所以X滿足開集的條件；空集中不包含任何一個(gè)點(diǎn)，也自然地可以認(rèn)為它滿足開集的條件． （2）設(shè)U和V是X中的兩個(gè)開集．如果x∈U∩V，

11、則存在x的一個(gè)球形鄰域B（x，）包含于U，也存在x的一個(gè)球形鄰域B（x，）包含于V．根據(jù)定理，x有一個(gè)球形鄰域B（x，ε）同時(shí)包含于B（x，）和B（x，），因此 B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V 由于U∩V中的每一點(diǎn)都有一個(gè)球形鄰域包含于U∩V，因此U∩V是一個(gè)開集． （3）設(shè)*Α是一個(gè)由X中的開集構(gòu)成的子集族．如果，則存在∈*A使得x∈由于是一個(gè)開集，所以x有一個(gè)球形鄰域包含于，顯然這個(gè)球形鄰域也包含于．這證明是X中的一個(gè)開集． 此外，根據(jù)定理，每一個(gè)球形鄰域都是開集． 　　 球形鄰域與開集有何聯(lián)系？ 為了討論問題的方便，我們將球形鄰域的概念稍稍作一點(diǎn)推廣． 定義

12、2.1.4　設(shè)x是度量空間X中的一個(gè)點(diǎn)，U是X的一個(gè)子集．如果存在一個(gè)開集V滿足條件：x∈VU，則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域． 下面這個(gè)定理為鄰域的定義提供了一個(gè)等價(jià)的說法，并且表明從球形鄰域推廣為鄰域是自然的事情． 定理2.1.3　設(shè)x是度量空間X中的一個(gè)點(diǎn)．則X的子集U是x的一個(gè)鄰域的充分必要條件是x有某一個(gè)球形鄰域包含于U． 證明 如果U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域，根據(jù)鄰域的定義存在開集V使得 x∈VU，又根據(jù)開集的定義，x有一個(gè)球形鄰域包含于V，從而這個(gè)球形鄰域也就包含于U．這證明U滿足定理的條件． 反之，如果U滿足定理中的條件，由于球形鄰域都是開集，因此U是x的鄰域． 現(xiàn)在我們把數(shù)

13、學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)的概念推廣為度量空間之間的連續(xù)映射． 定義2.1.5　設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f:X→Y，以及∈X如果對(duì)于f()的任何一個(gè)球形鄰域B（f(),ε），存在的某一個(gè)球形鄰域B（，δ），使得f(B（，δ）)B（f（），ε），則稱映射在點(diǎn)處是連續(xù)的． 如果映射f在X的每一個(gè)點(diǎn)x∈X處連續(xù)，則稱f是一個(gè)連續(xù)映射． 以上的這個(gè)定義是數(shù)學(xué)分析中函數(shù)連續(xù)性定義的純粹形式推廣．因?yàn)槿绻O(shè)ρ和分別是度量空間X和Y中的度量，則f在點(diǎn)處連續(xù)，可以說成：對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ε＞0，存在實(shí)數(shù)δ＞0使得對(duì)于任何x∈X只要ρ（x，）＜δ（即x∈B（,δ）便有 (f(x),f())＜ε.（即f(x)

14、∈B（f()，ε））． 下面的這個(gè)定理是把度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射的出發(fā)點(diǎn)． 定理2.1.4　設(shè)X和Y是兩個(gè)度量空間，f：X→Y以及∈X．則下述條件（1）和（2）分別等價(jià)于條件（1）*和（2）*： （1）f在點(diǎn)處是連續(xù)的； （1）*f()的每一個(gè)鄰域的原象是的一個(gè)鄰域； （2）f是連續(xù)的； （2）*Y中的每一個(gè)開集的原象是X中的一個(gè)開集． 證明　條件（1）蘊(yùn)涵（1）*：設(shè)（1）成立．令U為f（）的一個(gè)鄰域．根據(jù)定理2.1.3，f（）有一個(gè)球形鄰域B（f（），ε）包含于U．由于f在點(diǎn)處是連續(xù)的，所以有一個(gè)球形鄰域 B（，δ）使

15、得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f（），ε）（U），所以 B（，δ）（U），這證明（U）是的一個(gè)鄰域． 條件（1）*蘊(yùn)涵（1）．設(shè)條件（1）*成立．任意給定f（）的一個(gè)鄰域B（f(),ε），則（B（f()，ε）是的一個(gè)鄰域．根據(jù)定理2.1.3，有一個(gè)球形鄰域B（，δ）包含于 （B（f（），ε）． 因此f（B（，δ））B（f（），ε）．這證明f在點(diǎn)處連續(xù)． 條件（2）蘊(yùn)涵（2）*．設(shè)條件（2）成立．令V為Y中的一個(gè)開集， U＝（V）．對(duì)于每一個(gè)x∈U，我們有f（x）∈V．由于V是一個(gè)開集，所以V是f（x）的一個(gè)鄰域．由于f在每一點(diǎn)處都連續(xù)，故根據(jù)（1）*，U是x的一個(gè)鄰域．

16、于是有包含x的某一個(gè)開集Ux使得UxU．易見U＝∪x∈UUx．由于每一個(gè)Ux都是開集，根據(jù)定理2.1.2，U是一個(gè)開集． 條件（2）*蘊(yùn)涵（2）．設(shè)（2）*成立，對(duì)于任意x∈X，設(shè)U是f（x）的一個(gè)鄰域，即存在包含f（x）的一個(gè)開集V U．從而x∈（V）（U）．根據(jù)條件（2）*，（V）是一個(gè)開集，所以（U）是x的一個(gè)鄰域，對(duì)于x而言，條件（1）*成立，于是f在點(diǎn)x處連續(xù)．由于點(diǎn)x是任意選取的，所以f是一個(gè)連續(xù)映射． 從這個(gè)定理可以看出：度量空間之間的一個(gè)映射是否是連續(xù)的，或者在某一點(diǎn)處是否是連續(xù)的，本質(zhì)上只與度量空間中的開集有關(guān)（注意，鄰域是通過開集定義的）．這就導(dǎo)致我們甩開度量這個(gè)概念，

17、參照度量空間中開集的基本性質(zhì)（定理 作業(yè)： 　　P47 2.2　拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射 本節(jié)重點(diǎn): 拓?fù)渑c拓?fù)淇臻g的概念,并在此空間上建立起來的連續(xù)映射的概念. 注意區(qū)別: 拓?fù)淇臻g的開集與度量空間開集的異同；連續(xù)映射概念的異同. 現(xiàn)在我們遵循前一節(jié)末尾提到的思路，即從開集及其基本性質(zhì)（定理 定義2.2.1　設(shè)X是一個(gè)集合，τ是X的一個(gè)子集族．如果τ滿足如下條件： （l）X，∈τ ； （2）若A，B∈T　，則A∩B∈τ ； （3）若 則稱τ是X的一個(gè)拓?fù)洌? 如果τ是集合X的一個(gè)拓?fù)?，則稱偶對(duì)（X，τ）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，或稱集合X是一個(gè)相對(duì)于拓?fù)洇佣?/p>

18、的拓?fù)淇臻g；此外T的每一個(gè)元素都叫做拓?fù)淇臻g（X，τ）或（X）中的一個(gè)開集．即：A∈τA是開集. （此定義與度量空間的開集的性質(zhì)一樣嗎？留給大家思考） 經(jīng)過簡(jiǎn)單的歸納立即可見，以上定義中的條件（2）蘊(yùn)涵著：有限多個(gè)開集的交仍是開集，條件（3）蘊(yùn)涵著：任意多個(gè)開集的并仍是開集． 現(xiàn)在首先將度量空間納入拓?fù)淇臻g的范疇． 定義2.2.2　設(shè)（X，ρ）是一個(gè)度量空間令為由X中的所有開集構(gòu)成的集族．根據(jù)定理2.1.2，（X，）是X的一個(gè)拓?fù)洌覀兎Q為X的由度量ρ誘導(dǎo)出來的拓?fù)洌送馕覀兗s定：如果沒有另外的說明，我們提到度量空間（X，ρ）的拓?fù)鋾r(shí)，指的就是拓?fù)洌辉诜Q度量空間（X，ρ）為拓?fù)?/p>

19、空間時(shí)，指的就是拓?fù)淇臻g（X，） 因此，實(shí)數(shù)空間R，n維歐氏空間（特別，歐氏平面），Hilbert空間H都可以叫做拓?fù)淇臻g，它們各自的拓?fù)浔闶怯衫?.1.1，例 例2.2.1　平庸空間． 設(shè)X是一個(gè)集合．令T ={X，}．容易驗(yàn)證，T 是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的平庸拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇臻g（X，T）為一個(gè)平庸空間．在平庸空間（X，T）中，有且僅有兩個(gè)開集，即X本身和空集． 例2.2.2　離散空間． 設(shè)X是一個(gè)集合．令T =P（X），即由X的所有子集構(gòu)成的族．容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的離散拓?fù)?；并且我們稱拓?fù)淇臻g（X，T）為一個(gè)離散空間.在離散空間（X，T）中，

20、X的每一個(gè)子集都是開集． 例2.2.3　設(shè)X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}． 容易驗(yàn)證，T是X的一個(gè)拓?fù)洌虼耍╔，T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g．這個(gè)拓?fù)淇臻g既不是平庸空間又不是離散空間． 例2.2.4　有限補(bǔ)空間． 設(shè)X是一個(gè)集合．首先我們重申：當(dāng)我們考慮的問題中的基礎(chǔ)集自明時(shí)，我們并不每次提起．因此在后文中對(duì)于X的每一個(gè)子集A，它的補(bǔ)集X－A我們寫為．令 T ={U X|是X的一個(gè)有限子集}∪{} 先驗(yàn)證T是X的一個(gè)拓?fù)洌? （1）X∈T (因?yàn)?)；另外，根據(jù)定義便有∈T． （2）設(shè)A，B∈T如果A和B之中有一個(gè)是空集，則A∩B∈T,假定A

21、和B都不是空集．這時(shí) 是X的一個(gè)有限子集，所以A∩B∈T ． （3）設(shè)．令,顯然有 　　 如果，則 　　 設(shè)任意選?。@時(shí)是X的一個(gè)有限子集，所以 根據(jù)上述（1），（2）和（3），P是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的有限補(bǔ)拓?fù)洌負(fù)淇臻g（X，P）稱為一個(gè)有限補(bǔ)空間． 例2.2.5　可數(shù)補(bǔ)空間． 設(shè)X是一個(gè)集合．令 T ={U X|是X的一個(gè)可數(shù)子集}∪{} 通過與例 是X的一個(gè)拓?fù)?，稱之為X的可數(shù)補(bǔ)拓?fù)洌負(fù)淇臻g（X，T ）稱為一個(gè)可數(shù)補(bǔ)空間． 一個(gè)令人關(guān)心的問題是拓?fù)淇臻g是否真的要比度量空間的范圍更廣一點(diǎn)？換句話就是問：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g的拓?fù)涠伎梢杂赡骋粋€(gè)度量誘導(dǎo)出來？

22、 定義2.2.3　設(shè)（X，P）是一個(gè)拓?fù)淇臻g．如果存在X的一個(gè)度量ρ使得拓?fù)銹即是由度量ρ誘導(dǎo)出來的拓?fù)?，則稱（X，P）是一個(gè)可度量化空間． 根據(jù)這個(gè)定義，前述問題即是：是否每一個(gè)拓?fù)淇臻g都是可度量化空間？從2．1中的習(xí)題2和3可以看出，每一個(gè)只含有限個(gè)點(diǎn)的度量空間作為拓?fù)淇臻g都是離散空間．然而一個(gè)平庸空間如果含有多于一個(gè)點(diǎn)的話，它肯定不是離散空間，因此它不是可度量化的；例，但不是離散空間，也不是可度量化的．由此可見，拓?fù)淇臻g是比可度量空間的范圍要廣泛．進(jìn)一步的問題是滿足一些什么條件的拓?fù)淇臻g是可度量化的？這是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)中的重要問題之一，以后我們將專門討論． 現(xiàn)在我們來將度

23、量空間之間的連續(xù)映射的概念推廣為拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射． 定義2.2.4　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y．如果Y中每一個(gè)開集U的原象（U）是X中的一個(gè)開集，則稱f是X到Y(jié)的一個(gè)連續(xù)映射，或簡(jiǎn)稱映射f連續(xù)． 按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射，明顯是受到了2．1中的定理，如果f:X→Y是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)連續(xù)映射，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)連續(xù)映射，反之亦然．（按照約定，涉及的拓?fù)洚?dāng)然都是指誘導(dǎo)拓?fù)洌? 下面的這個(gè)定理盡管證明十分容易，但所指出的卻是連續(xù)映射的最重要的性質(zhì)． 定理2.2.1　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 （1）恒同映射：:X→X是一個(gè)

24、連續(xù)映射； （2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是連續(xù)映射，則 gof:X→Z也是連續(xù)映射． 證明（l），所以連續(xù)． 　?。?）設(shè)f:X→Y,g:Y→Z都是連續(xù)映射 　　 　　這證明gof連續(xù)． 在數(shù)學(xué)科學(xué)的許多學(xué)科中都要涉及兩類基本對(duì)象．如在線性代數(shù)中我們考慮線性空間和線性變換，在群論中我們考慮群和同態(tài)，在集合論中我們考慮集合和映射，在不同的幾何學(xué)中考慮各自的圖形和各自的變換等等．并且對(duì)于后者都要提出一類來予以重視，例如線性代數(shù)中的（線性）同構(gòu)，群論中的同構(gòu)，集合論中的—一映射，以及初等幾何學(xué)中的剛體運(yùn)動(dòng)（即平移加旋轉(zhuǎn)）等等． 我們現(xiàn)在已經(jīng)提出了兩類基本對(duì)象，即拓?fù)淇臻g

25、和連續(xù)映射．下面將從連續(xù)映射中挑出重要的一類來給予特別的關(guān)注． 定義2.2.5　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g．如果f：X→Y是一個(gè)—一映射，并且f和：Y→X都是連續(xù)的，則稱f是一個(gè)同胚映射或同胚． 定理2.2.2　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 （1）恒同映射：X→X是一個(gè)同胚； （2）如果f：X→Y是一個(gè)同胚，則：Y→X也是一個(gè)同胚； （3）如果f：X→Y和g：Y→Z都是同胚，則gof：X→Z也是一個(gè)同胚． 證明　以下證明中所涉及的根據(jù)，可參見定理2.2.1，定理 l．5．3和定理1．5．4． （l）是一個(gè)—一映射，并且，都是連續(xù)的，從而是同胚． （2）設(shè)f：X→Y是一個(gè)同胚

26、．因此f是一個(gè)—一映射，并且f和 都是連續(xù)的．于是也是一個(gè)—一映射并且和也都是連續(xù)的，所以也是一個(gè)同胚． （3）設(shè)f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g和都是連續(xù)的．因此gof也是—一映射，并且gof和都是連續(xù)的．所以gof是一個(gè)同胚． 定義2.2.6　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g．如果存在一個(gè)同胚f：X→Y，則稱拓?fù)淇臻gX與拓?fù)淇臻gY是同胚的，或稱X與Y同胚，或稱X同胚于Y． 粗略地說，同胚的兩個(gè)空間實(shí)際上便是兩個(gè)具有相同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的空間． 定理2.2.3　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 （1）X與X同胚； （2）如來X與Y同胚，則Y與X同胚； （3）如

27、果X與Y同胚，Y與Z同胚，則X與Z同胚． 證明從定理 根據(jù)定理2.2.3，我們可以說：在任意給定的一個(gè)由拓?fù)淇臻g組成的族中，兩個(gè)拓?fù)淇臻g是否同胚這一關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系．因而同胚關(guān)系將這個(gè)拓?fù)淇臻g族分為互不相交的等價(jià)類，使得屬于同一類的拓?fù)淇臻g彼此同胚，屬于不同類的拓?fù)淇臻g彼此不同胚． 拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)P，如果為某一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則必為與其同胚的任何一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有，則稱此性質(zhì)P是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)．換言之，拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)． 拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)． 至此我們已經(jīng)做完了將數(shù)學(xué)分析中我們熟知的歐氏空間和歐氏空間之間的連續(xù)函數(shù)的概

28、念，經(jīng)由度量空間和度量空間之間的連續(xù)映射，一直抽象為拓?fù)淇臻g和拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射這樣一個(gè)在數(shù)學(xué)的歷史上經(jīng)過了很長的一段時(shí)期才完成的工作．在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中對(duì)所研究的問題不斷地加以抽象這種做法是屢見不鮮的，但每一次的抽象都是把握住舊的研究對(duì)象（或其中的某一個(gè)方面）的精粹而進(jìn)行的一次提升，是一個(gè)去粗取精的過程．也正因?yàn)槿绱?，新的概念和理論往往有更多的包容? 拓?fù)鋵W(xué)無疑也是如此，一方面它使我們對(duì)“空間”和“連續(xù)”有更為純正的認(rèn)識(shí)，另一方面也包含了無法列入以往的理論中的新的研究對(duì)象（特別是許多無法作為度量空間處理的映射空間）．這一切讀者在學(xué)習(xí)的過程中必然會(huì)不斷地加深體會(huì)． 作業(yè)： P55

29、 2,5,6,8,9,10 2.3　鄰域與鄰域系 本節(jié)重點(diǎn)： 掌握鄰域的概念及鄰域的性質(zhì)； 掌握連續(xù)映射的兩種定義； 掌握證明開集與鄰域的證明方法（今后證明開集常用定理 我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中定義映射的連續(xù)性是從“局部”到“整體”的，也就是說先定義映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性，然后再定義這個(gè)映射本身的連續(xù)性．然而對(duì)于拓?fù)淇臻g的映射而言，先定義映射本身的連續(xù)性更為方便，所以我們先在2.2中做好了；現(xiàn)在輪到給出映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的定義了．在定理，為此只要有一個(gè)適當(dāng)?shù)姆Q之為“鄰域”的概念，而在2.1中定義度量空間的鄰域時(shí)又只用到“開集”．因此我們先在拓?fù)淇臻g中建立鄰域的概念然后再給出

30、映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念，這些概念的給出一點(diǎn)也不會(huì)使我們感到突然． 定義2.3.1　設(shè)（X，P)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x∈X．如果U是X的一個(gè)子集，滿足條件：存在一個(gè)開集V∈P使得x∈VU，則稱U是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域．點(diǎn)x的所有鄰域構(gòu)成的x的子集族稱為點(diǎn)x的鄰域系．易見，如果U是包含著點(diǎn)x的一個(gè)開集，那么它一定是x的一個(gè)鄰域，于是我們稱U是點(diǎn)x的一個(gè)開鄰域． 首先注意，當(dāng)我們把一個(gè)度量空間看作拓?fù)淇臻g時(shí)（這時(shí)，空間的拓?fù)涫怯啥攘空T導(dǎo)出來的拓?fù)洌?，一個(gè)集合是否是某一個(gè)點(diǎn)的鄰域，無論是按2.1中的定義或者是按這里的定義，都是一回事． 定理2.3.1　拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集U是開集的充分必要條

31、件是U是它的每一點(diǎn)的鄰域，即只要x∈U，U便是x的一個(gè)鄰域． 證明　定理中條件的必要性是明顯的．以下證明充分性．如果U是空集，當(dāng)然U是一個(gè)開集．下設(shè)U≠．根據(jù)定理中的條件， 使得 故U=，根據(jù)拓?fù)涞亩x，U是一個(gè)開集． 定理 　　 定理2.3.2　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．記為點(diǎn)x∈X的鄰域系．則： 　?。?）對(duì)于任何x∈X，≠；并且如果U∈，則x∈U； 　　（2）如果U，V∈，則U∩V∈； 　　（3）如果U∈并且UV，則V∈； 　?。?）如果U∈，則存在V∈滿足條件：(a)VU和(b)對(duì)于任何y∈V，有V∈． 證明（1）X,X∈P,∴X∈,∴≠且由定義,如果 U∈，則x∈U

32、 （2）設(shè)U，V∈．則存在U．∈P和∈P使得和成立．從而我們有,T,∴U∩V∈ （3）設(shè)U∈，并且 （4）設(shè)U∈．令V∈P滿足條件．V已經(jīng)滿足條件（a），根據(jù)定理2.3.1，它也滿足條件（b）． 以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發(fā)來建立拓?fù)淇臻g理論，這種做法在點(diǎn)集拓?fù)浒l(fā)展的早期常被采用．這種做法也許顯得自然一點(diǎn)，但不如現(xiàn)在流行的從開集概念出發(fā)定義拓?fù)鋪淼煤?jiǎn)潔． 定理2.3.3　設(shè)X是一個(gè)集合．又設(shè)對(duì)于每一點(diǎn)x∈X指定了x的一個(gè)子集族，并且它們滿足定理，子集族恰是點(diǎn)x在拓?fù)淇臻g（X，P)中的鄰域系．(證明略) 現(xiàn)在我們來將度量空間之間的連續(xù)映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性的概念推

33、廣到拓?fù)淇臻g之間的映射中去． 定義2.3.2　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y，x∈X．如果 f（x）∈Y的每一個(gè)鄰域U的原象（U）是x∈X的一個(gè)鄰域，則稱映射f是一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射，或簡(jiǎn)稱映射f在點(diǎn)x處連續(xù)． 與連續(xù)映射的情形一樣，按這種方式定義拓?fù)淇臻g之間的映射在某一點(diǎn)處的連續(xù)性也明顯地是受到了2.1中的定理，如果f: X→Y是從度量空間X到度量空間Y的一個(gè)映射，它在某一點(diǎn)x∈X處連續(xù)，那么它也是從拓?fù)淇臻gX到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)在點(diǎn)x處連續(xù)的映射；反之亦然． 這里我們也有與定理 定理2.3.4　設(shè)X，Y和Z都是拓?fù)淇臻g．則 （1）恒同映射：X→X在每一點(diǎn)x∈X處連

34、續(xù)； （2）如果f：X→Y在點(diǎn)x∈X處連續(xù)，g：Y→Z在點(diǎn)f（x）處連續(xù)，則gof：X→Z在x處連續(xù)． 證明請(qǐng)讀者自己補(bǔ)上． 以下定理則建立了“局部的”連續(xù)性概念和“整體的”連續(xù)性概念之間的聯(lián)系． 定理2.3.5　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f：X→Y．則映射f連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一點(diǎn)x∈X，映射f在點(diǎn)x處連續(xù)． 證明必要性：設(shè)映射f連續(xù)， 這證明f在點(diǎn)X處連續(xù)． 充分性：設(shè)對(duì)于每一點(diǎn)x∈X，映射f在點(diǎn)x處連續(xù)． 這就證明了f連續(xù)． 作業(yè): 掌握證明一個(gè)子集是鄰域的方法,掌握證明一個(gè)映射是否連續(xù)的方法． 2.4　導(dǎo)集，閉集，閉包 本節(jié)重點(diǎn)： 熟練

35、掌握凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、閉集、閉包的概念； 區(qū)別一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉包的概念上的不同； 掌握一個(gè)點(diǎn)屬于導(dǎo)集或閉集或閉包的充要條件； 掌握用“閉集”敘述的連續(xù)映射的充要條件． 如果在一個(gè)拓?fù)淇臻g中給定了一個(gè)子集，那么拓?fù)淇臻g中的每一個(gè)點(diǎn)相對(duì)于這個(gè)子集而言“處境”各自不同，因此可以對(duì)它們進(jìn)行分類處理． 定義2.4.1　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX．如果點(diǎn)x∈X的每一個(gè)鄰域U中都有A中異于x的點(diǎn)，即U∩（A-{x}）≠，則稱點(diǎn)x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)或極限點(diǎn)．集合A的所有凝聚點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為A的導(dǎo)集，記作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚點(diǎn)，即存在x的一個(gè)鄰域U使得U∩（A-{x}）＝，則稱

36、x為A的一個(gè)孤立點(diǎn)． 即:(牢記) 　　 在上述定義之中，凝聚點(diǎn)、導(dǎo)集、以及孤立點(diǎn)的定義無一例外地都依賴于它所在的拓?fù)淇臻g的那個(gè)給定的拓?fù)洌虼耍?dāng)你在討論問題時(shí)涉及了多個(gè)拓?fù)涠终劦侥硞€(gè)凝聚點(diǎn)時(shí)，你必須明確你所談的凝聚點(diǎn)是相對(duì)于哪個(gè)拓?fù)涠裕蝗菰S產(chǎn)生任何混淆．由于我們將要定義的許多概念絕大多數(shù)都是依賴于給定拓?fù)涞?，因此類似于這里談到的問題今后幾乎時(shí)時(shí)都會(huì)發(fā)生，我們不每次都作類似的注釋，而請(qǐng)讀者自己留心． 某些讀者可能已經(jīng)在諸如歐氏空間中接觸過剛剛定義的這些概念，但絕不要以為對(duì)歐氏空間有效的性質(zhì)，例如歐氏空間中凝聚點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)一般的拓?fù)淇臻g都有效．以下兩個(gè)例子可以幫助讀者澄清某些不正

37、確的潛在印象． 例2.4.1　離散空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集． 設(shè)X是一個(gè)離散空間，A是X中的一個(gè)任意子集．由于X中的每一個(gè)單點(diǎn)集都是開集，因此如果x∈X，則X有一個(gè)鄰域{x}，使得，以上論證說明，集合A沒有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，從而A的導(dǎo)集是空集，即d（A）＝． 例2.4.2　平庸空間中集合的凝聚點(diǎn)和導(dǎo)集． 設(shè)X是一個(gè)平庸空間，A是X中的一個(gè)任意子集．我們分三種情形討論： 第1種情形：A=．這時(shí)A顯然沒有任何一個(gè)凝聚點(diǎn)，亦即 d（A）=．（可以參見定理 第2種情形：A是一個(gè)單點(diǎn)集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，點(diǎn)x只有惟一的一個(gè)鄰域X，這時(shí)，所以；因此x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)，即x∈d

38、（A）．然而對(duì)于的惟一鄰域X有：所以 d（A）=X-A． 第3種情形：A包含點(diǎn)多于一個(gè)．請(qǐng)讀者自己證明這時(shí)X中的每一個(gè)點(diǎn)都是A的凝聚點(diǎn)，即d（A）＝X． 定理2.4.1　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX．則 　?。╨）d（）=； 　?。?）AB蘊(yùn)涵d（A）d（B）； 　　（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）； 　　（4）d（d（A））A∪d（A）． 證明?。?）由于對(duì)于任何一點(diǎn)x∈X和點(diǎn)x的任何一個(gè)鄰域U， 　　有U∩ 　?。?）設(shè)AB．如果． 　　這證明了d（A）d（B）． 　　（3）根據(jù)（2），因?yàn)锳，BA∪B，所以有d（A），d（B）d（A∪B），從而d（A）∪d（

39、B）d（A∪B）． 　　另一方面，如果 　　 綜上所述，可見（3）成立．(這是證明一個(gè)集合包含于另一個(gè)集合的另一方法:要證,只要證即可．) 　　（4）設(shè)： 即（4）成立． 定義2.4.2　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX．如果A的每一個(gè)凝聚點(diǎn)都屬于A，即d（A）A，則稱A是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)閉集． 例如，根據(jù)例，離散空間中的任何一個(gè)子集都是閉集，而平庸空間中的任何一個(gè)非空的真子集都不是閉集． 定理2.4.2　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，AX．則A是一個(gè)閉集，當(dāng)且僅當(dāng)A的補(bǔ)集是一個(gè)開集． 證明　必要性：設(shè)A是一個(gè)閉集 　　 　　充分性：設(shè)： 　　 　　即A是一個(gè)閉集．

40、 例2.4.3　實(shí)數(shù)空間R中作為閉集的區(qū)間． 設(shè)a，b∈R，a＜b．閉區(qū)間[a，b]是實(shí)數(shù)空間R中的一個(gè)閉集，因?yàn)閇a，b]的補(bǔ)集=（-∞，a）∩（b，∞）是一個(gè)開集． 同理，（-∞，a]，[b，∞）都是閉集，（-∞，∞）＝R顯然更是一個(gè)閉集．然而開區(qū)間（a，b）卻不是閉集，因?yàn)閍是（a，b）的一個(gè)凝聚點(diǎn)，但a（a，b）．同理區(qū)間（a，b]，[a，b），（-∞，a）和（b，∞）都不是閉集． 定理2.4.3　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．記F為所有閉集構(gòu)成的族．則： 　?。?）X，∈F 　?。?）如果A，B∈F，則AUB∈F 　?。◤亩绻? 　　（3）如果≠ 在此定理的第（3）條中，

41、我們特別要求≠的原因在于當(dāng) =時(shí)所涉及的交運(yùn)算沒有定義． 證明　根據(jù)定理2.4.2，我們有T={|U∈F}其中，T為X的拓?fù)洌? 　?。?）∵X，∈T，∴ 　?。?）若A、B∈F ，則 　?。?）令： 　　 　　定理證明完成． 總結(jié)：（1）有限個(gè)開集的交是開集，任意個(gè)開集的并是開集．其余情形不一定． （2）有限個(gè)閉集的并是閉集，任意個(gè)閉集的交是閉集．其余情形不一定． 定義2.4.3　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,AX,集合A與A的導(dǎo)集d(A)的并A∪d(A)稱為集合A的閉包,記作或 容易看出,(注意:與x∈d(A)的區(qū)別) 定理2.4.4　拓?fù)淇臻gX的子集A是閉集的充要條

42、件是A= 證明:定理成立是因?yàn)?集合A為閉集當(dāng)且僅當(dāng)d(A)A而這又當(dāng)且僅當(dāng)A=A∪d(A) 定理2.4.5　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,則對(duì)于任意A,B∈X,有： 　　 證明（1）成立是由于是閉集． 　?。?）成立是根據(jù)閉包的定義． 　?。?）成立是因?yàn)? 　　 　　（4）成立是因?yàn)? 　　 　　 ＝A∪d（A）∪d（d（A)) 　　 ＝A∪d（A）= 在第（3）條和第（4）條的證明過程中我們分別用到了定理 定理2.4.6　拓?fù)淇臻gX的任何一個(gè)子集A的閉包都是閉集． 證明根據(jù)定理 定理2.4.7　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，F(xiàn)是由空間X中所有的閉某構(gòu)成的族，則對(duì)于X

43、的每一個(gè)子集A，有 　　 即集合A的閉包等于包含A的所有閉集之交． 證明　因?yàn)锳包含于，而后者是一個(gè)閉集，由定理 有 另一方面，由于是一個(gè)閉集，并且，所以 (“交”包含于形成交的任一個(gè)成員) 綜合這兩個(gè)包含關(guān)系，即得所求證的等式． 由定理，X是一個(gè)包含著A的閉集，它又包含于任何一個(gè)包含A的閉集之中，在這種意義下我們說：一個(gè)集合的閉包乃是包含著這個(gè)集合的最小的閉集． 在度量空間中，集合的凝聚點(diǎn)，導(dǎo)集和閉包都可以通過度量來刻畫． 定義2.4.5　設(shè)（X，ρ)一個(gè)度量空間．X中的點(diǎn)x到X的非空子集A的距離ρ（x，A）定義為 　　 ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈

44、A} 根據(jù)下確界的性質(zhì)以及鄰域的定義易見：ρ（x，A）＝0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意實(shí)數(shù)ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，換言之即是：對(duì)于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而這又等價(jià)于：對(duì)于x的任何一個(gè)鄰域U有U∩A≠，應(yīng)用以上討論立即得到． 定理2.4.9　設(shè)A是度量空間（X，ρ）中的一個(gè)非空子集．則 　　（1）x∈d（A）當(dāng)且僅當(dāng)ρ（x，A-{x}）=0； 　?。?）x∈當(dāng)且僅當(dāng)ρ（x，A）＝0． 以下定理既為連續(xù)映射提供了等價(jià)的定義，也為驗(yàn)證映射的連續(xù)性提供了另外的手段． 定理　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y．則以下條件等價(jià)： （l）f是一個(gè)連續(xù)映射； （2）

45、Y中的任何一個(gè)閉集B的原象(B)是一個(gè)閉集； （3）對(duì)于X中的任何一個(gè)子集A，A的閉包的象包含于A的象的閉包，即 　?。? (4)對(duì)于Y中的任何一個(gè)子集B，B的閉包的原象包含B的原象的閉包，即 　?。? 證明?。?）蘊(yùn)涵（2）．設(shè)BY是一個(gè)閉集．則 是一個(gè)開集，因此根據(jù)（1），是X中的一個(gè)開集，因此 (B)是X中的一個(gè)閉集． 　　(2)蘊(yùn)涵（3）設(shè)AX．由于f（A）， 　　根據(jù)（2），成立． 　　(3)蘊(yùn)涵(4)設(shè)AY集合(B)X應(yīng)用（3）即得 　　 　?。?）蘊(yùn)涵（l）．設(shè)U是Y中的一個(gè)開集．則是Y中的一個(gè)閉集．對(duì)此集合應(yīng)用（4） 可見: 　　． 總結(jié)一下,到目

46、前為止,證明映射連續(xù)的方法有幾種?證明一個(gè)子集是開集,閉集的方法有幾種?如何證明一個(gè)點(diǎn)是某個(gè)子集的凝聚點(diǎn)? 　 作業(yè): 　　P69 1．2 2.6 　基與子基 本節(jié)重點(diǎn)： 掌握基與子基的概念，點(diǎn)的鄰域與基之間的關(guān)系； 掌握基、子基與開集的關(guān)系； 掌握如何用基表示開集． 　　 在討論度量空間的拓?fù)涞臅r(shí)候，球形鄰域起著基本性的重要作用．一方面，每一個(gè)球形鄰域都是開集，從而任意多個(gè)球形鄰域的并也是開集；另一方面，假設(shè)U是度量空間X中的一個(gè)開集．則對(duì)于每一個(gè)x∈U有一個(gè)球形鄰域B（x，ε）U，因此．這就是說，一個(gè)集合是某度量空間中的一個(gè)開集當(dāng)且僅當(dāng)它是這個(gè)度量

47、空間中的若干個(gè)球形鄰域的并．因此我們可以說，度量空間的拓?fù)涫怯伤乃械那蛐梧徲蛲ㄟ^集族求并這一運(yùn)算“產(chǎn)生”出來的．留意了這個(gè)事實(shí)，下面在拓?fù)淇臻g中提出“基”這個(gè)概念就不會(huì)感到突然了． 定義2.6.1　設(shè)（X，T）是一個(gè)拓?fù)淇臻g，B是T的一個(gè)子族．如果T中的每一個(gè)元素（即拓?fù)淇臻gX中的每一個(gè)開集）是B中某些元素的并，即對(duì)于每一個(gè)U∈T，存在使得 　　 則稱B是拓?fù)銽的一個(gè)基，或稱B是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基． 按照本節(jié)開頭所作的論證立即可得： 定理2.6.1　一個(gè)度量空間中的所有球形鄰域構(gòu)成的集族是這個(gè)度量空間作為拓?fù)淇臻g時(shí)的一個(gè)基． 特別地，由于實(shí)數(shù)空間R中所有開區(qū)間構(gòu)成的族

48、就是它的所有球形鄰域構(gòu)成的族，因此所有開區(qū)間構(gòu)成的族是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)基． 至于離散空間，它有一個(gè)最簡(jiǎn)單的基，這個(gè)基由所有的單點(diǎn)子集構(gòu)成． 下面的定理為判定某一個(gè)開集族是否是給定的拓?fù)涞囊粋€(gè)基提供了一個(gè)易于驗(yàn)證的條件． 定理2.6.2　設(shè)B是拓?fù)淇臻g（X，T）的一個(gè)開集族（即），則B是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)x∈X和x的每一個(gè)鄰域． 證明　設(shè)B是X的一個(gè)基，則 　　根據(jù)基的定義， 可知存在 這證明B滿足定理中的條件． 另一方面，設(shè)定理中的條件成立．如果U是X中的一個(gè)開集，則對(duì)于每一個(gè)x∈U， 　　 因此，U是B中某些元素之并，從而B是X的一個(gè)基． 在度量空

49、間中，通過球形鄰域確定了度量空間的拓?fù)?，這個(gè)拓?fù)湟匀w球形鄰域構(gòu)成的集族作為基．是否一個(gè)集合的每一個(gè)子集族都可以確定一個(gè)拓?fù)湟运鼮榛?？答案是否定的．以下定理告訴我們一個(gè)集合的什么樣的子集族可以成為它的某一個(gè)拓?fù)涞幕? 定理2.6.3　設(shè)X是一個(gè)集合，B是集合X的一個(gè)子集族（即 BP(X))．如果B滿足條件： 　?。?）； 　?。?）如果,則對(duì)于任何 　　則X的子集族 　　T＝{UX|存在使得} 是集合X的惟一的一個(gè)以B為基的拓?fù)?；反之，如果X的一個(gè)子集族B是X的某一個(gè)拓?fù)涞幕?，則B一定滿足條件（l）和（2）． 　　值得注意的是，如果集合X的子集族B滿足條件：對(duì)于任意 ∈B,有

50、∈B．這時(shí)，B必然滿足條件（2）．這種情形經(jīng)常遇到． 證明　設(shè)X的子集族B滿足條件（l）和（2）．我們先驗(yàn)證定理中給出的T是X的一個(gè)拓?fù)洌? 　　（1）根據(jù)條件（1），X∈T；由于,而B 所以∈T． 　?。?）我們先驗(yàn)證：如果∈B，則∈T這是因?yàn)楦鶕?jù)條件（2），對(duì)于每一個(gè)x∈,存在, 　　由于 現(xiàn)在設(shè) 　　 成立．因此 　　 　　根據(jù)前說，上式中最后那個(gè)并集中的每一項(xiàng)都是B中某些元素之并，所以也是B中某些元素之并，因此 　?。?）設(shè)則 以上證明了T是集合X的一個(gè)拓?fù)洌鶕?jù)T的定義立即可見B是拓?fù)銽的一個(gè)基． 　　假設(shè)集合X還有一個(gè)拓?fù)湟訠為它的一個(gè)基．根據(jù)基的定義，任何一

51、個(gè)A必為B中某些元素的并，所以A∈T 這證明T,另一方面，由于B,所以如果A∈T則A是B中的某些元素之并，因此也是 中某些元素之并；由于是一個(gè)拓?fù)?，所以A∈這又證明了T．因此T=．這說明以B為基的拓?fù)涫俏┮坏模? 最后證明定理的后半段．設(shè)B是X的某一個(gè)拓?fù)銽*的一個(gè)基．由 X∈T*可知X必為B中的某些元素的并，故必為集族B之并．因此（1）成立．設(shè)和x∈．由于BT*．是x的一個(gè)開鄰域，根據(jù)定理2.6.2，存在使得 　　,這證明條件（2）成立． 在定義基的過程中我們只是用到了集族的并運(yùn)算，如果再考慮集合的有限交運(yùn)算（注意拓?fù)渲皇菍?duì)有限交封閉的，所以只考慮有限交），便得到“子基”這個(gè)概念．

52、 定義2.6.2　設(shè)（X，T)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，是T的一個(gè)子族．如果的所有非空有限于族之交構(gòu)成的集族，即 　　 是拓?fù)銽的一個(gè)基，則稱集族 是拓?fù)銽的一個(gè)子基，或稱集族是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子基． 例2.6.2　實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子基． 實(shí)數(shù)集合R的一個(gè)子集族 ={(a,∞)|a∈R}∪{(-∞,b)|b∈R} 是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)子基．這是因?yàn)槭菍?shí)數(shù)空間的一個(gè)開集族，并且的每一個(gè)有限非空子族之交的全體構(gòu)成的集族恰好就是所有有限開區(qū)間構(gòu)成的族并上再并上{}，顯然它是實(shí)數(shù)空間R的一個(gè)基． 　　 定理2.6.4　設(shè)X是一個(gè)集合，是X的一個(gè)子集族（即 P(X))．如果則X有惟一的一個(gè)拓?fù)銽

53、以為子基．并且若令 　　 則 證明　令B和T如定理中．容易驗(yàn)證B滿足定理，因此根據(jù)該定理，B是T的一個(gè)基，所以 是T的一個(gè)子基． 如果是X的一個(gè)拓?fù)洌詾橐粋€(gè)子基，則根據(jù)子基的定義，以B為基．根據(jù)定理，我們有 =T 映射的連續(xù)性可以通過基或子基來驗(yàn)證．一般說來，基或子基的基數(shù)不大于拓?fù)涞幕鶖?shù)，所以通過基或子基來驗(yàn)證映射的連續(xù)性，有時(shí)可能會(huì)帶來很大的方便． 定理2.6.5　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y．則以下條件等價(jià)： 　?。╨）f連續(xù)； 　?。?）拓?fù)淇臻gY有一個(gè)基B，使得對(duì)于任何一個(gè)B∈B，（B）是X中的一個(gè)開集； 　　（3）Y有一個(gè)子基,使得對(duì)于任何一個(gè)S∈

54、原象(S)是X中的一個(gè)開集． 　　證明　條件（l）蘊(yùn)涵（3）是顯然的，因?yàn)閅的拓?fù)浔旧肀闶荵的一個(gè)子基． 　　條件（3）蘊(yùn)涵（2）．設(shè)是Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)子基,滿足（3）中的要求．根據(jù)定義， 　　 是Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)基． 　　對(duì)于任何,i＝1，2，…，n，其中n∈，我們有 　　 　　它是X中n∈個(gè)開集之交，因此是X中的一個(gè)開集． 　　條件（2）蘊(yùn)涵（1）．設(shè)B是Y的拓?fù)涞囊粋€(gè)基，它滿足（2）中的要求．如果U是Y中的一個(gè)開集，則 　　 是X中一族開集之并，所以是X中的一個(gè)開集．這證明f連續(xù)． 　　對(duì)于局部情形，也有類似于基和子基的概念． 定義2.6.3　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，

55、x∈X．記為x的鄰域系．的子族如果滿足條件：對(duì)于每一個(gè)U∈，存在V∈，使得 VU，則稱是點(diǎn)x的鄰域系的一個(gè)基，或簡(jiǎn)稱為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域基． 的子族如果滿足條件：每一個(gè)有限非空子族之交的全體構(gòu)成的集族，即是x的一個(gè)鄰域基，則稱此是點(diǎn)x的鄰域系的一個(gè)子基，或簡(jiǎn)稱為點(diǎn)x的一個(gè)鄰域子基． 　　顯然，在度量空間中以某一個(gè)點(diǎn)為中心的全體球形鄰域是這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域基；以某一個(gè)點(diǎn)為中心的全體以有理數(shù)為半徑的球形鄰域也是這個(gè)點(diǎn)的一個(gè)鄰域基． 　　鄰域基和鄰域子基的概念可以用來驗(yàn)證映射在一點(diǎn)處的連續(xù)性． 定理2.6.6　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y，x∈X． 　　則以下條件等價(jià)： 　?。?）f在

56、點(diǎn)x處連續(xù)； 　　（2）f(x)有一個(gè)鄰域基，使得對(duì)于任何V∈；，原象(V)是x的一個(gè)鄰域； 　?。?）f(x)有一個(gè)鄰域子基 ，使得對(duì)于任何W∈，原象(W)是x的一個(gè)鄰域． 　　證明(略) 　　 基與鄰域基,子基與鄰域子基有以下關(guān)聯(lián)． 定理2.6.7　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x∈X．則 　?。?）如果B是X的一個(gè)基，則 　　={B∈B|x∈B} 　　是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域基； 　?。?）如果是X的一個(gè)子基，則 　　={S∈|x∈S} 　　是點(diǎn)x的一個(gè)鄰域子基． 　　證明(略) 　 作業(yè)： 　　P82 1．4．7 2.7 拓?fù)淇臻g中的序列 本節(jié)重點(diǎn):

57、 掌握拓?fù)淇臻g中序列的概念,及極限點(diǎn)的概念； 掌握數(shù)學(xué)分析中的序列的性質(zhì)與拓?fù)淇臻g中的序列的性質(zhì)有何不同； 掌握不可數(shù)集中序列的特性； 掌握點(diǎn)集的凝聚點(diǎn)與序列的極限點(diǎn)的關(guān)系． 在讀者熟知的數(shù)學(xué)分析課程中，往往用序列收斂的概念作為出發(fā)點(diǎn)來刻畫集合的凝聚點(diǎn)，函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性等等．在這一節(jié)我們便會(huì)看到這種做法在一般的拓?fù)淇臻g中并不可行；而要使得它變?yōu)榭尚械模瑒t要對(duì)拓?fù)淇臻g加以適當(dāng)?shù)南拗疲覀儗碓傺芯窟@種限制加到什么程度為合適． 定義2.7.1　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．每一個(gè)映射S:→X，叫做X中的一個(gè)序列．我們常將序列S記作；或者．，或者干脆記作，其中．有時(shí)我們也將記號(hào)簡(jiǎn)化為{

58、}，但這時(shí)要警惕不要與單點(diǎn)集相混． 拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列實(shí)際上就是在X中按先后次序取到的一串點(diǎn)，這些點(diǎn)可能重復(fù)．因此一個(gè)序列 可以僅由有限個(gè)點(diǎn)組成，當(dāng)這個(gè)集合是單點(diǎn)集時(shí)，我們稱序列為一個(gè)常值序列． 定義2.7.2　設(shè)是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列，x∈X．如果對(duì)于x的每一個(gè)鄰域U，存在M∈,使得當(dāng)i＞M時(shí)有xi∈U，則稱點(diǎn)x是序列 ，的一個(gè)極限點(diǎn)（或極限），也稱為序列收斂于x，記作 　　 lim＝x或→x(i→∞) 如果序列至少有一個(gè)極限，則稱這個(gè)序列是一個(gè)收斂序列． 拓?fù)淇臻g中序列的收斂性質(zhì)與以前我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中熟悉的有很大的差別．例如，容易驗(yàn)證平庸空間中任何一個(gè)序列都收斂，并且收

59、斂于這個(gè)空間中的任何一個(gè)點(diǎn)．這時(shí)極限的惟一性當(dāng)然無法保證了． 定義2.7.3　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，S,：→X是X中的兩個(gè)序列．如果存在一個(gè)嚴(yán)格遞增的映射N：→(即對(duì)于任意 ，如果，則有N（）＜N（)，使得 ＝SoN，則稱序列是序列S的一個(gè)子序列． 假如我們將此定義中的序列S記作那么序列自然可以記作，也就是說，序列第i個(gè)點(diǎn)恰是序列第N（i）個(gè)點(diǎn)． 我們已經(jīng)看到，我們以前熟悉的序列的性質(zhì)有許多對(duì)于拓?fù)淇臻g中的序列是不適合的．但總有一些性質(zhì)還保留著，其中最主要的可見于以下三個(gè)定理中． 定理2.7.1　設(shè)是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)序列．則 　?。?）如果是一個(gè)常值序列，即對(duì)于某一個(gè)x∈

60、X，有=x,i∈，則lim=x； 　?。?）如果序列收斂于x∈X，則序列的每一個(gè)子序列也收斂于x． 證明（略）． 定理2.7.2　設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，A X，x∈X．如果有一個(gè)序列 在A-{x}中（此意即，對(duì)于每一個(gè)i∈有∈A-{x})，并且收斂于x，則x是集合A的一個(gè)凝聚點(diǎn)． 證明設(shè)序列在A－{x}中并且收斂于x．如果U是x的一個(gè)鄰域，則存在M∈使得U，因此U∩(A-{x})，從而U∩(A-{x})≠．這證明x是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)． 例2.7.1　定理 設(shè)X是一個(gè)不可數(shù)集，考慮它的拓?fù)錇榭蓴?shù)補(bǔ)拓?fù)?，這時(shí)X的一個(gè)子集是閉集當(dāng)且僅當(dāng)或者它是X本身或者它是一個(gè)可數(shù)集．我們先指出可數(shù)

61、補(bǔ)空間X的兩個(gè)特征： （1）X中的一個(gè)序列收斂于x∈X的充分必要條件是存在M∈使得當(dāng)i＞M時(shí)，=x． 條件的充分性是顯然的．以下證明必要性．設(shè)lim=x由于集合是一個(gè)可數(shù)集，因此D的補(bǔ)集是x的一個(gè)鄰域，從而存在M∈使得當(dāng)i＞M時(shí)有，此時(shí) 必有=x． （2）如果A是X的一個(gè)不可數(shù)子集，則集合A的導(dǎo)集d（A）＝X． 這是因?yàn)閄中任何一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域中都包含著某一個(gè)非空開集，而拓?fù)淇臻gX中的每一個(gè)非空開集都是一個(gè)可數(shù)集的補(bǔ)集，所以任何一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域都是某一個(gè)可數(shù)集的補(bǔ)集．由于A是一個(gè)不可數(shù)集，它將與任何一個(gè)點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域有非空的交，因此X中任何一個(gè)點(diǎn)都是集合A的凝聚點(diǎn)，即d（A）

62、＝X． 現(xiàn)在我們來指出，在這個(gè)拓?fù)淇臻gX中，定理，它是一個(gè)不可數(shù)集．根據(jù)（2），我們有∈d（A），也就是說， 是A的一個(gè)凝聚點(diǎn)；然而根據(jù)（1），在A（=X-{}）中不可能有序列收斂于 這個(gè)例子表明，在一般的拓?fù)淇臻g中不能像在數(shù)學(xué)分析中那樣通過序列收斂的性質(zhì)來刻畫凝聚點(diǎn)． 定理2.7.3　設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，f:X→Y．則 （1）如果f在點(diǎn)∈X處連續(xù)，則X中的一個(gè)序列收斂于蘊(yùn)涵著Y中的序列收斂于f（)； （2）如果f連續(xù)，則X中的一個(gè)序列收斂于x∈X蘊(yùn)涵著Y中的序列收斂于f(x)． 證明　（1）設(shè)f在點(diǎn)處連續(xù)，是X中的一個(gè)收斂于的序列．如果U是f()的一個(gè)鄰域，則(U)是

63、的一個(gè)鄰域．這時(shí)存在M∈使得當(dāng)i＞M時(shí)有． （2）成立是因?yàn)檫B續(xù)即在每一點(diǎn)處連續(xù)（參見定理2．3．5）． 例2.7.2　定理 現(xiàn)在設(shè)X是實(shí)數(shù)集合，并且考慮它的拓?fù)錇榭蓴?shù)補(bǔ)拓?fù)洌紤]從拓?fù)淇臻gX到實(shí)數(shù)空間R的恒同映射i：X→R．由于如果拓?fù)淇臻gX中的序列收斂于x∈X，則有：存在M∈使得當(dāng)i＞M時(shí)有=x，因此此時(shí)序列在實(shí)數(shù)空間R中也收斂于x．這就是說映射i滿足定理 ，只要不是R本身，那么(U)=U在拓?fù)淇臻gX中不能包含任何一個(gè)開集(因?yàn)閁的補(bǔ)集不是可數(shù)集)，也就不能作為任何一個(gè)點(diǎn)的鄰域． 上述例子表明，在一般的拓?fù)淇臻g中不能像在數(shù)學(xué)分析中那樣通過序列收斂的性質(zhì)來刻畫映射的連續(xù)性．

64、 至于在什么樣的條件下，定理，也就是說可以用序列收斂的性質(zhì)來刻畫凝聚點(diǎn)和映射的連續(xù)性，我們今后還要進(jìn)行進(jìn)一步的研究． 此外，在度量空間中，序列的收斂可以通過度量來加以描述． 定理2.7.4　設(shè)（X，ρ）是一個(gè)度量空間，是X中的一個(gè)序列，x∈X．則以下條件等價(jià)： 　?。?）序列收斂于x； 　　（2）對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)ε＞0，存在N∈使得當(dāng)i＞N時(shí) ρ(,x)<ε； 　　（3）limρ(,x)=0(i→∞)． 　　證明(略) 　　 作業(yè): 　　P．88 1,3(記住習(xí)題3的結(jié)論) 　　 本章總結(jié)： 1．本章的研究對(duì)象是一個(gè)任意的集合，在其上定義了一個(gè)“開集”族結(jié)構(gòu)(為了

65、能夠運(yùn)算，所定義的開集必須滿足P．48定義2．2．1)．這個(gè)集合就成了“拓?fù)淇臻g”．(注意它與通常的實(shí)數(shù)空間不同) 2．在拓?fù)淇臻g中由開集衍生定義出鄰域,閉集,閉包,導(dǎo)集,序列等概念．(要掌握這些概念的等價(jià)命題) 3．為了進(jìn)一步研究開集的結(jié)構(gòu),又引進(jìn)了基與子基的概念．(要掌握基與開集的關(guān)系) 4．此時(shí)拓?fù)淇臻g的序列有哪些性質(zhì)?與實(shí)數(shù)空間的序列有哪些不同? 5．兩個(gè)空間的關(guān)系用一個(gè)映射來聯(lián)系,怎樣的映射是連續(xù)的?有幾種方法可以判斷映射是連續(xù)的? 6．為了向?qū)崝?shù)空間看齊,可以在集合中引進(jìn)“度量”這個(gè)概念．度量空間有哪些性質(zhì)? 按以上這些要點(diǎn)復(fù)習(xí)一遍．然后記住以下幾個(gè)常見的空間的性質(zhì): 實(shí)數(shù)空間,平庸空間,離散空間,有限補(bǔ)空間,可數(shù)補(bǔ)空間； 開集,閉集,鄰域是怎樣的? 39