10高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識點整理歸納之十 第十章直線與圓的方程

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1、2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識點整理歸納之十 第十章 直線與圓的方程 一、基礎(chǔ)知識 1．解析幾何的研究對象是曲線與方程。解析法的實質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何.首先是通過映射建立曲線與方程的關(guān)系，即如果一條曲線上的點構(gòu)成的集合與一個方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如x2+y2=1是以原點為圓心的單位圓的方程。 2．求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)寫出滿足條件的點的集合；(3)用坐標(biāo)表示條件，列出方程；(4)化簡方程并確定未知數(shù)的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對應(yīng)點都在曲線上，且曲線上對應(yīng)點都

2、滿足方程（實際應(yīng)用常省略這一步）。 3．直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與x軸正方向所成的小于1800的正角，叫做它的傾斜角。規(guī)定平行于x軸的直線的傾斜角為00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據(jù)直線上一點及斜率可求直線方程。 4．直線方程的幾種形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）點斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）兩點式：；（6）法線式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ為法線傾斜角，|p|為原點到直線的距離）；（7）參數(shù)式：（其中θ為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點P0（x0, y0）到動點P（x, y

3、）的有向線段的數(shù)量（線段的長度前添加正負(fù)號，若P0P方向向上則取正，否則取負(fù)）。 5．到角與夾角：若直線l1, l2的斜率分別為k1, k2，將l1繞它們的交點逆時針旋轉(zhuǎn)到與l2重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫l(wèi)1到l2的角；l1與l2所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾角。若記到角為θ，夾角為α，則tanθ=,tanα=. 6．平行與垂直：若直線l1與l2的斜率分別為k1, k2。且兩者不重合，則l1//l2的充要條件是k1=k2；l1l2的充要條件是k1k2=-1。 7．兩點P1(x1, y1)與P2(x2, y2)間的距離公式：|P1P2|=。 8．點P(x0, y0)到直線l: Ax+

4、By+C=0的距離公式：。 9．直線系的方程：若已知兩直線的方程是l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0，則過l1, l2交點的直線方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2=0；由l1與l2組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；與l2平行的直線方程為A1x+B1y+C=0(). 10．二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線l方程為Ax+By+C=0. 若B>0，則Ax+By+C>0表示的區(qū)域為l上方的部分，Ax+By+C<0表示的區(qū)域為l下方的部分。 11．解決簡單的線性規(guī)劃問題的一般步驟：（1）確定各變量，并以x和y

5、表示；（2）寫出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；（3）畫出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優(yōu)解。 12．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心是點(a, b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）。 13．圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圓心為，半徑為。若點P(x0, y0)為圓上一點，則過點P的切線方程為 ① 14．根軸：到兩圓的切線長相等的點的軌跡為一條直線（或它的一部分），這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個不同的圓：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 則它們兩兩的根軸方程分別為(D1-

6、D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不難證明這三條直線交于一點或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。 二、方法與例題 1．坐標(biāo)系的選取：建立坐標(biāo)系應(yīng)講究簡單、對稱，以便使方程容易化簡。 例1 在ΔABC中，AB=AC，∠A=900，過A引中線BD的垂線與BC交于點E，求證：∠ADB=∠CDE。 [證明] 見圖10-1，以A為原點，AC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點B，C坐標(biāo)分別為（0,2a）,(2a,0)，則點D坐標(biāo)為（a, 0）。直線BD方程為，

7、①直線BC方程為x+y=2a， ②設(shè)直線BD和AE的斜率分別為k1, k2，則k1=-2。因為BDAE，所以k1k2=-1.所以，所以直線AE方程為，由解得點E坐標(biāo)為。 所以直線DE斜率為因為k1+k3=0. 所以∠BDC+∠EDC=1800，即∠BDA=∠EDC。 例2 半徑等于某個正三角形高的圓在這個三角形的一條邊上滾動。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為600。 [證明] 以A為原點，平行于正三角形ABC的邊BC的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系見圖10-2，設(shè)⊙D的半徑等于BC邊上的高，并且在B能上能下滾動到某位置時與AB，AC的交點分別為E，F(xiàn)，設(shè)半徑為r，則直

8、線AB，AC的方程分別為,.設(shè)⊙D的方程為(x-m)2+y2=r2.①設(shè)點E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則，分別代入①并消去y得 所以x1, x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的兩根。 由韋達(dá)定理，所以 |EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2．到角公式的使用。 例3 設(shè)雙曲線xy=1的兩支為C1，C2，正ΔPQR三頂點在此雙曲線上，求證：P，Q，R不可能在雙曲線的同一支上。 [證明] 假設(shè)P

9、，Q，R在同一支上，不妨設(shè)在右側(cè)一支C1上，并設(shè)P，Q，R三點的坐標(biāo)分別為且0

10、3: (m+1)x-y+m+1=0圍成ΔABC，求m為何值時，ΔABC的面積有最大值、最小值。 [解]記l1, l2, l3的方程分別為①，②，③。在①，③中取x=-1, y=0，知等式成立，所以A(-1, 0)為l1與l3的交點；在②，③中取x=0, y=m+1，等式也成立，所以B(0, m+1)為l2與l3的交點。設(shè)l1, l2斜率分別為k1, k2, 若m0，則k1?k2=, SΔABC=，由點到直線距離公式|AC|=，|BC|=。 所以SΔABC=。因為2m≤m2+1，所以SΔABC≤。又因為-m2-1≤2m，所以，所以SΔABC≥ 當(dāng)m=1時，（SΔABC）max=；當(dāng)m=-1

11、時，（SΔABC）min=. 5．線性規(guī)劃。 例6 設(shè)x, y滿足不等式組 （1）求點(x, y)所在的平面區(qū)域； （2）設(shè)a>-1，在（1）區(qū)域里，求函數(shù)f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。 [解] （1）由已知得或 解得點(x, y)所在的平面區(qū)域如圖10-4所示，其中各直線方程如圖所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4. (2) f(x, y)是直線l: y-ax=k在y軸上的截距，直線l與陰影相交，因為a>-1，所以它過頂點C時，f(x, y)最大，C點坐標(biāo)為（-3，7），于是f(x, y)的最大值為3a+7. 如果-1<

12、a≤2，則l通過點A（2，-1）時，f(x, y)最小，此時值為-2a-1；如果a>2，則l通過B（3，1）時，f(x, y)取最小值為-3a+1. 6．參數(shù)方程的應(yīng)用。 例7 如圖10-5所示，過原點引直線交圓x2+(y-1)2=1于Q點，在該直線上取P點，使P到直線y=2的距離等于|PQ|，求P點的軌跡方程。 [解] 設(shè)直線OP的參數(shù)方程為（t參數(shù)）。 代入已知圓的方程得t2-t?2sinα=0. 所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα|，而|PM|=|2-tsinα|. 所以|t-2sinα|=|2-t

13、sinα|. 化簡得t=2或t=-2或sinα=-1. 當(dāng)t=2時，軌跡方程為x2+y2=4；當(dāng)sinα=1時，軌跡方程為x=0. 7．與圓有關(guān)的問題。 例8 點A，B，C依次在直線l上，且AB=ABC，過C作l的垂線，M是這條垂線上的動點，以A為圓心，AB為半徑作圓，MT1與MT2是這個圓的切線，確定ΔAT1T2垂心 的軌跡。 [解] 見圖10-6，以A為原點，直線AB為x軸建立坐標(biāo)系，H為OM與圓的交點，N為T1T2與OM的交點，記BC=1。 以A為圓心的圓方程為x2+y2=16，連結(jié)OT1，OT2。因為OT2MT2，T1HMT2，所以O(shè)T2//HT1，同理OT1//HT2，

14、又OT1=OT2，所以O(shè)T1HT2是菱形。所以2ON=OH。 又因為OMT1T2，OT1MT1，所以O(shè)N?OM。設(shè)點H坐標(biāo)為（x,y）。 點M坐標(biāo)為(5, b)，則點N坐標(biāo)為，將坐標(biāo)代入=ON?OM，再由得 在AB上取點K，使AK=AB，所求軌跡是以K為圓心，AK為半徑的圓。 例9 已知圓x2+y2=1和直線y=2x+m相交于A，B，且OA，OB與x軸正方向所成的角是α和β，見圖10-7，求證：sin(α+β)是定值。 [證明] 過D作ODAB于D。則直線OD的傾斜角為，因為ODAB，所以2?, 所以。所以 例10 已知⊙O是單位圓，正方形ABCD的一邊AB是⊙O的弦，

15、試確定|OD|的最大值、最小值。 [解] 以單位圓的圓心為原點，AB的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα)，由題設(shè)|AD|=|AB|=2sinα，這里不妨設(shè)A在x軸上方，則α∈(0,π).由對稱性可設(shè)點D在點A的右側(cè)（否則將整個圖形關(guān)于y軸作對稱即可），從而點D坐標(biāo)為(cosα+2sinα,sinα)， 所以|OD|= = 因為，所以 當(dāng)時，|OD|max=+1；當(dāng)時，|OD|min= 例11 當(dāng)m變化且m≠0時，求證：圓(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程

16、。 [證明] 由消去m得a-2b+1=0.故這些圓的圓心在直線x-2y+1=0上。設(shè)公切線方程為y=kx+b，則由相切有2|m|=，對一切m≠0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0對一切m≠0成立 所以即當(dāng)k不存在時直線為x=1。所以公切線方程y=和x=1. 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1．已知兩點A(-3,4)和B(3,2)，過點P(2,-1)的直線與線段AB有公共點，則該直線的傾斜角的取值范圍是__________. 2．已知θ∈[0,π]，則的取值范圍是__________. 3．三條直線2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0圍

17、成一個三角形，當(dāng)點P(x, y)在此三角形邊上或內(nèi)部運動時，2x+y的取值范圍是__________. 4．若三條直線4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能圍成三角形，則m的范圍是__________. 5．若λ∈R。直線(2+λ)x-(1+λ)y-2(3+2λ)=0與點P(-2,2)的距離為d，比較大?。篸__________. 6．一圓經(jīng)過A(4,2), B(-1,3)兩點，且在兩個坐標(biāo)軸上的 四個截距的和為14，則此圓的方程為__________. 7．自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，

18、則光線l所在的方程為__________. 8．D2=4F且E≠0是圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切的__________條件. 9．方程|x|-1=表示的曲線是__________. 10．已知點M到點A（1，0），B（a,2）及到y(tǒng)軸的距離都相等，若這樣的點M恰好有一個，則a可能值的個數(shù)為__________. 11．已知函數(shù)S=x+y，變量x, y滿足條件y2-2x≤0和2x+y≤2，試求S的最大值和最小值。 12．A，B是x軸正半軸上兩點，OA=a，OB=b(a

19、 （3）當(dāng)∠AMB取最大值時，求過A，B，M三點的圓的半徑。 四、高考水平訓(xùn)練題 1．已知ΔABC的頂點A(3,4)，重心G(1,1)，頂點B在第二象限，垂心在原點O，則點B的坐標(biāo)為__________. 2．把直線繞點（-1，2）旋轉(zhuǎn)300得到的直線方程為__________. 3．M是直線l:上一動點，過M作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，則在線段AB上滿足的點P的軌跡方程為__________. 4．以相交兩圓C1：x2+y2+4x+y+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦為直徑的圓的方程為__________. 5．已知M={(x,y)|y=,a>0},

20、N={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0}.MN，a的最大值與最小值的和是__________. 6．圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，O為原點，OPOQ，則m=__________. 7．已知對于圓x2+(y-1)2=1上任意一點P(x,y)，使x+y+m≥0恒成立，m范圍是__________. 8．當(dāng)a為不等于1的任何實數(shù)時，圓x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均與直線l相切，則直線l的方程為__________. 9．在ΔABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC

21、成等差數(shù)列，那么直線xsin2A+ysinA=a與直線xsin2B+ysinC=c的位置關(guān)系是__________. 10．設(shè)A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4}是坐標(biāo)平面xOy上的點集，C=所圍成圖形的面積是__________. 11．求圓C1：x2+y2+2x+6y+9=0與圓C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切線方程。 12．設(shè)集合L={直線l與直線y=2x相交，且以交點的橫坐標(biāo)為斜率}。 （1）點(-2,2)到L中的哪條直線的距離最??？ （2）設(shè)a∈R+，點P(-2, a)到L中的直線的距離的最小值設(shè)為dmin，

22、求dmin的表達(dá)式。 13．已知圓C：x2+y2-6x-8y=0和x軸交于原點O和定點A，點B是動點，且∠OBA=900，OB交⊙C于M，AB交⊙C于N。求MN的中點P的軌跡。 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．在直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)都是有理數(shù)的點稱為有理點。若a為無理數(shù)，過點(a,0)的所有直線中，每條直線上至少存在兩個有理點的直線有_______條。 2．等腰ΔABC的底邊BC在直線x+y=0上，頂點A(2,3)，如果它的一腰平行于直線x-4y+2=0，則另一腰AC所在的直線方程為__________. 3．若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=

23、0表示表示條互相垂直的直線，則m=__________. 4．直線x+7y-5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長之差的絕對值是__________. 5．直線y=kx-1與曲線y=有交點，則k的取值范圍是__________. 6．經(jīng)過點A(0,5)且與直線x-2y=0, 2x+y=0都相切的圓方程為__________. 7．在直角坐標(biāo)平面上，同時滿足條件：y≤3x, y≥x, x+y≤100的整點個數(shù)是__________. 8．平面上的整點到直線的距離中的最小值是__________. 9．y=lg(10-mx2)的定義域為R，直線y=xsin(arctanm)+10的傾

24、斜角為__________. 10．已知f(x)=x2-6x+5，滿足的點(x,y)構(gòu)成圖形的面積為__________. 11．已知在ΔABC邊上作勻速運動的點D，E，F(xiàn)，在t=0時分別從A，B，C出發(fā)，各以一定速度向B，C，A前進(jìn)，當(dāng)時刻t=1時，分別到達(dá)B，C，A。 （1）證明：運動過程中ΔDEF的重心不變； （2）當(dāng)ΔDEF面積取得最小值時，其值是ΔABC面積的多少倍？ 12．已知矩形ABCD，點C(4,4)，點A在圓O：x2+y2=9(x>0,y>0)上移動，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸。求矩形ABCD面積的最小值，以及取得最小值時點A的坐標(biāo)。 13．已知直線

25、l: y=x+b和圓C：x2+y2+2y=0相交于不同兩點A，B，點P在直線l上，且滿足|PA|?|PB|=2,當(dāng)b變化時，求點P的軌跡方程。 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1．設(shè)點P(x,y)為曲線|5x+y|+|5x-y|=20上任意一點，求x2-xy+y2的最大值、最小值。 2．給定矩形Ⅰ（長為b，寬為a），矩形Ⅱ（長為c、寬為d），其中a

26、有一個整點。 4．在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點，試證：存在一個同心圓的集合，使得：（1）每個整點都在此集合的某一圓周上；（2）此集合的每個圓周上，有且只有一個整點。 5．在坐標(biāo)平面上，是否存在一個含有無窮多條直線l1,l2,…，ln，…的直線族，它滿足條件：（1）點（1,1）∈ln,n=1,2,3,…；（2）kn+1≥an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，n=1,2,3,…；（3）knkn+1≥0, n=1,2,3,….并證明你的結(jié)論。 6．在坐標(biāo)平面內(nèi)，一圓交x軸正半徑于R，S，過原點的直線l1,l2都與此圓相交，l1交圓于A

27、，B，l2交圓于D，C，直線AC，BD分別交x軸正半軸于P，Q，求證： 2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識點整理歸納之十八 第十八章 組合 一、方法與例題 1．抽屜原理。 例1 設(shè)整數(shù)n≥4,a1,a2,…,an是區(qū)間(0,2n)內(nèi)n個不同的整數(shù)，證明：存在集合{a1,a2,…,an}的一個子集，它的所有元素之和能被2n整除。 [證明] （1）若n{a1,a2,…,an},則n個不同的數(shù)屬于n-1個集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屜原理知其中必存在兩個數(shù)ai,aj(i≠j)屬于同一集合，從而ai+aj

28、=2n被2n整除； （2）若n∈{a1,a2,…,an}，不妨設(shè)an=n，從a1,a2,…,an-1(n-1≥3)中任意取3個數(shù)ai, aj, ak(ai,0)不被n整除，考慮n個數(shù)a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+an-1。 ?。┤暨@n個數(shù)中有一個被n整除，設(shè)此數(shù)等于kn，若k為偶數(shù)，則結(jié)論成立；若k為奇數(shù)，則加上an=n知結(jié)論

29、成立。 ⅱ）若這n個數(shù)中沒有一個被n整除，則它們除以n的余數(shù)只能取1,2,…,n-1這n-1個值，由抽屜原理知其中必有兩個數(shù)除以n的余數(shù)相同，它們之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故這個差必為ai, aj, ak-1中若干個數(shù)之和，同?。┛芍Y(jié)論成立。 2．極端原理。 例2 在nn的方格表的每個小方格內(nèi)寫有一個非負(fù)整數(shù)，并且在某一行和某一列的交叉點處如果寫有0，那么該行與該列所填的所有數(shù)之和不小于n。證明：表中所有數(shù)之和不小于。 [證明] 計算各行的和、各列的和，這2n個和中必有最小的，不妨設(shè)第m行的和最小，記和為k，則該行中至少有n-k個0，這n-k個0所在的各列的和都不小于

30、n-k，從而這n-k列的數(shù)的總和不小于(n-k)2，其余各列的數(shù)的總和不小于k2，從而表中所有數(shù)的總和不小于(n-k)2+k2≥ 3.不變量原理。 俗話說，變化的是現(xiàn)象，不變的是本質(zhì)，某一事情反復(fù)地進(jìn)行，尋找不變量是一種策略。 例3 設(shè)正整數(shù)n是奇數(shù)，在黑板上寫下數(shù)1，2，…，2n，然后取其中任意兩個數(shù)a,b,擦去這兩個數(shù)，并寫上|a-b|。證明：最后留下的是一個奇數(shù)。 [證明] 設(shè)S是黑板上所有數(shù)的和，開始時和數(shù)是S=1+2+…+2n=n(2n+1)，這是一個奇數(shù)，因為|a-b|與a+b有相同的奇偶性，故整個變化過程中S的奇偶性不變，故最后結(jié)果為奇數(shù)。 例4 數(shù)a1, a2,

31、…,an中每一個是1或-1，并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0. 證明：4|n. [證明] 如果把a1, a2,…,an中任意一個ai換成-ai，因為有4個循環(huán)相鄰的項都改變符號，S模4并不改變，開始時S=0，即S≡0，即S≡0(mod4)。經(jīng)有限次變號可將每個ai都變成1，而始終有S≡0(mod4)，從而有n≡0(mod4)，所以4|n。 4．構(gòu)造法。 例5 是否存在一個無窮正整數(shù)數(shù)列a1,

32、≥|A|，則an+A均為|A|的倍數(shù)且大于|A|，不可能為素數(shù)；當(dāng)A=1時，an1=(n!1)?[(n!)2n!+1]，當(dāng)≥3時均為合數(shù)。從而當(dāng)A為整數(shù)時，{(n!)3+A}中只有有限個素數(shù)。 例6 一個多面體共有偶數(shù)條棱，試證：可以在它的每條棱上標(biāo)上一個箭頭，使得對每個頂點，指向它的箭頭數(shù)目是偶數(shù)。 [證明] 首先任意給每條棱一個箭頭，如果此時對每個頂點，指向它的箭頭數(shù)均為偶數(shù)，則命題成立。若有某個頂點A，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，則必存在另一個頂點B，指向它的箭頭數(shù)也為奇數(shù)（因為棱總數(shù)為偶數(shù)），對于頂點A與B，總有一條由棱組成的“路徑”連結(jié)它們，對該路徑上的每條棱，改變它們箭頭的方向，

33、于是對于該路徑上除A，B外的每個頂點，指向它的箭頭數(shù)的奇偶性不變，而對頂點A，B，指向它的箭頭數(shù)變成了偶數(shù)。如果這時仍有頂點，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，那么重復(fù)上述做法，又可以減少兩個這樣的頂點，由于多面體頂點數(shù)有限，經(jīng)過有限次調(diào)整，總能使和是對每個頂點，指向它的箭頭數(shù)為偶數(shù)。命題成立。 5．染色法。 例7 能否在55方格表內(nèi)找到一條線路，它由某格中心出發(fā)，經(jīng)過每個方格恰好一次，再回到出發(fā)點，并且途中不經(jīng)過任何方格的頂點？ [解] 不可能。將方格表黑白相間染色，不妨設(shè)黑格為13個，白格為12個，如果能實現(xiàn)，因黑白格交替出現(xiàn)，黑白格數(shù)目應(yīng)相等，得出矛盾，故不可能。 6．凸包的使用。 給

34、定平面點集A，能蓋住A的最小的凸圖形，稱為A的凸包。 例8 試證：任何不自交的五邊形都位于它的某條邊的同一側(cè)。 [證明] 五邊形的凸五包是凸五邊形、凸四邊形或者是三角形，凸包的頂點中至少有3點是原五邊形的頂點。五邊形共有5個頂點，故3個頂點中必有兩點是相鄰頂點。連結(jié)這兩點的邊即為所求。 7．賦值方法。 例9 由22的方格紙去掉一個方格余下的圖形稱為拐形，用這種拐形去覆蓋57的方格板，每個拐形恰覆蓋3個方格，可以重疊但不能超出方格板的邊界，問：能否使方格板上每個方格被覆蓋的層數(shù)都相同？說明理由。 [解] 將57方格板的每一個小方格內(nèi)填寫數(shù)-2和1。如圖18-1所示，每個拐形覆蓋

35、的三個數(shù)之和為非負(fù)。因而無論用多少個拐形覆蓋多少次，蓋住的所有數(shù)字之和都是非負(fù)的。另一方面，方格板上數(shù)字的總和為12(-2)+231=-1，當(dāng)被覆蓋K層時，蓋住的數(shù)字之和等于-K，這表明不存在滿足題中要求的覆蓋。 -2 1 -2 1 -2 1 -2 1 1 1 1 1 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2 1 1 1 1 1 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2 8．圖論方法。 例10 生產(chǎn)由六種顏色的紗線織成的雙色布，在所生產(chǎn)的雙色布中，每種顏色的紗線至少與其他三種顏色的紗線搭配過。證明：可以挑出三種

36、不同的雙色布，它們包含所有的顏色。 [證明] 用點A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六種顏色，若兩種顏色的線搭配過，則在相應(yīng)的兩點之間連一條邊。由已知，每個頂點至少連出三條邊。命題等價于由這些邊和點構(gòu)成的圖中有三條邊兩兩不相鄰（即無公共頂點）。因為每個頂點的次數(shù)≥3，所以可以找到兩條邊不相鄰，設(shè)為A1A2，A3A4。 （1）若A5與A6連有一條邊，則A1A2，A3A4，A5A6對應(yīng)的三種雙色布滿足要求。 （2）若A5與A6之間沒有邊相連，不妨設(shè)A5和A1相連，A2與A3相連，若A4和A6相連，則A1A2，A3A4，A5A6對應(yīng)的雙色布滿足要求；若A4與A6不相連，則A6與A1相連，

37、A2與A3相連，A1A5，A2A6，A3A4對應(yīng)的雙色布滿足要求。 綜上，命題得證。 二、習(xí)題精選 1．藥房里有若干種藥，其中一部分藥是烈性的。藥劑師用這些藥配成68副藥方，每副藥方中恰有5種藥，其中至少有一種是烈性的，并且使得任選3種藥恰有一副藥方包含它們。試問：全部藥方中是否一定有一副藥方至少含有4種烈性藥？（證明或否定） 2．21個女孩和21個男孩參加一次數(shù)學(xué)競賽，（1）每一個參賽者最多解出6道題；（2）對每一個女孩和每一個男孩至少有一道題被這一對孩子都解出。求證：有一道題至少有3個女孩和至少有3個男孩都解出。 3．求證：存在無窮多個正整數(shù)n，使得可將3n個數(shù)1, 2,…, 3

38、n排成數(shù)表 a1, a2…an b1, b2…bn c1, c2…cn 滿足：（1）a1+b1+c1= a2+b2+c2=…= an+bn+cn=，且為6的倍數(shù)。 （2）a1+a2+…+an= b1+b2+…+bn= c1+c2+…+cn=，且為6的倍數(shù)。 4．給定正整數(shù)n，已知克數(shù)都是正整數(shù)的k塊砝碼和一臺天平可以稱出質(zhì)量為1，2，…，n克的所有物品，求k的最小值f(n)。 5．空間中有1989個點，其中任何3點都不共線，把它們分成點數(shù)各不相同的30組，在任何3個不同的組中各取一點為頂點作三角形。試問：為使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點數(shù)應(yīng)分別為多少？ 6．在平面給定點A0和

39、n個向量a1，a2，…，an，且使a1+a2+…+an =0。這組向量的每一個排列都定義一個點集：A1，A2，…，An=A0，使得 求證：存在一個排列，使由它定義的所有點A1，A2，…，An-1都在以A0為角頂?shù)哪硞€600角的內(nèi)部和邊上。 7．設(shè)m, n, k∈N，有4個酒杯，容量分別為m,n,k和m+n+k升，允許進(jìn)行如下操作：將一個杯中的酒倒入另一杯中或者將另一杯倒?jié)M為止。開始時，大杯中裝滿酒而另3個杯子卻空著，問：為使對任何S∈N，S