七年級數(shù)學(xué)下冊 培優(yōu)新幫手 專題03 從算術(shù)到代數(shù)試題 （新版）新人教版.doc

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03 從算術(shù)到代數(shù) 閱讀與思考 算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門不同的分科，它們之間聯(lián)系緊密，代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的. 用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個重要特征，也是代數(shù)與算術(shù)的最顯著的區(qū)別.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從確定的數(shù)過渡到用字母表示數(shù)經(jīng)歷了一個漫長的過程，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個飛躍.用字母表示數(shù)有如下特點(diǎn)： 1.任意性 即字母可以表示任意的數(shù). 2.限制性 即雖然字母表示任意的數(shù)，但字母的取值必須使代數(shù)式或?qū)嶋H問題有意義. 3.確定性 即在用字母表示的數(shù)中，如果字母取定某值，那么代數(shù)式的值也隨之確定. 4.抽象性 即與具體的數(shù)值相比，用字母表示數(shù)具有更抽象的意義. 例題與求解 【例1】研究下列算式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律： 13＋1＝4＝22 24＋1＝9＝32 35＋1＝16＝42 46＋1＝25＝52 … 請將你找到的規(guī)律用代數(shù)式表示出來：_______________________________ (山東菏澤地區(qū)中考試題) 解題思路：觀察給定的幾個簡單的、特殊的算式，尋找數(shù)字間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，然后用代數(shù)式表示. 【例2】下列四個數(shù)中可以寫成100個連續(xù)自然數(shù)之和的是（ ） A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江蘇省競賽試題） 解題思路：設(shè)自然數(shù)從a＋1開始，這100個連續(xù)自然數(shù)的和為（a＋1）＋(a＋2)＋ …＋(a＋100)＝100a＋5050，從揭示和的特征入手. 【例3】設(shè)A＝＋…＋＋，求A的整數(shù)部分. （北京市競賽試題） 解題思路：從分析A中第n項(xiàng)的特征入手. 【例4】現(xiàn)有a根長度相同的火柴棒，按如圖①擺放時可擺成m個正方形，按如圖②擺放時可擺成2n個正方形. (1)用含n的代數(shù)式表示m； (2)當(dāng)這a根火柴棒還能擺成如圖③所示的形狀時，求a的最小值. （浙江省競賽試題） 解題思路：由圖①中有m個正方形、圖②中有2n個正方形，可設(shè)圖③中有3p個正方形，無論怎樣擺放，火柴棒的總數(shù)相同，可建立含m，n，p的等式. 【例5】 化簡. （江蘇省競賽試題） 解題思路：先考察n＝1，2，3時的簡單情形，然后作出猜想，這樣，化簡的目標(biāo)更明確. 【例6】觀察按下列規(guī)律排成的一列數(shù)： ，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*） （1）在（*）中，從左起第m個數(shù)記為F(m)＝ 時，求m的值和這m個數(shù)的積. （2）在（*）中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c，它后面的一個數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個數(shù)c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，請說明理由. 解題思路：解答此題，需先找到數(shù)列的規(guī)律，該數(shù)列可分組為（），（，），（，，），（，，，），（，，，，），…. 能力訓(xùn)練 A級 1.已知等式：2＋＝22，3＋＝32，4＋＝42，…，，10 ＋＝102（a，b均為正整數(shù)），則a＋b＝___________________. (湖北省武漢市競賽試題) 2.下面每個圖案都是若干個棋子圍成的正方形圖案，它的每邊（包括頂點(diǎn)）都有n（n≥2）個棋子，每個圖案棋子總數(shù)為s，按此規(guī)律推斷s與n之間的關(guān)系是______________. n＝2 n＝3 n＝4 s＝4 s＝8 s＝12 (山東省青島市中考試題) 3.規(guī)定任意兩個實(shí)數(shù)對（a，b）和（c，d）， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d時，（a，b）＝（c，d）．定義運(yùn)算“?”：（a，b）?（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）?（p，q）＝（5，0），則p＋q＝________． (浙江省湖州市數(shù)學(xué)競賽試題) 4.用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚______塊，第n個圖形中需要黑色瓷磚______塊（含n代數(shù)式表示）． （廣東省中考試題） -= 5.如果a是一個三位數(shù)，現(xiàn)在把1放在它的右邊得到一個四位數(shù)是（ ） A.1000a＋1 B. 100a＋1 C. 10a＋1 D. a＋1 (重慶市競賽試題) 6.一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十個式子是（ ） A. a10＋b19 B. a10-b19 C. a10-b17 D. a10-b21 (四川省眉山市競賽試題) 7.有三組數(shù)x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它們的平均數(shù)分別是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均數(shù)是（ ） A. B. C. a＋b－c D. 3(a＋b－c) (希望杯邀請賽試題) 8.為了綠化環(huán)境，美化城市，在某居民小區(qū)鋪設(shè)了正方形和圓形兩塊草坪，如果兩塊草坪的周長相同，那么它們的面積S1、S2的大小關(guān)系是（　?。? （東方航空杯競賽試題） A. S1＞S2 B．Sl＜S2 C．S1＝S2 D．無法比較 9.一個圓形紙板，根據(jù)以下操作把它剪成若干個扇形面：第一次將圓紙等分為4個扇形面；第二次將上次得到的一個扇形面再等分成4個小扇形；以后按第二次剪裁法進(jìn)行下去． （1）請通過操作，猜想將第3、第4次，…，第n次剪裁后扇形面的總個數(shù)填入下表； 剪裁次數(shù) 1 2 3 4 … n 所得的總數(shù) 4 7 … （2）請你推斷，能否按上述操作剪裁出33個扇形面？為什么？ （山東省濟(jì)南市中考試題） 10.某玩具工廠有四個車間，某周是質(zhì)量檢查周，現(xiàn)每個都原a（a＞0）個成品，且每個每天都生產(chǎn)b（b＞0）個成品，質(zhì)檢科派出若干名檢驗(yàn)員星期一、星期二檢驗(yàn)其中兩個原的和這兩天生產(chǎn)的所成品，然后，星期三至星期五檢驗(yàn)另兩個原的和本生產(chǎn)的所成品，假定每個檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同． （1）這若干名檢驗(yàn)員1天檢驗(yàn)多少個成品（用含a、b的代數(shù)式表示）； （2）試求出用b表示a的關(guān)系式； （3）若1名質(zhì)檢員1天能檢驗(yàn)b個成品，則質(zhì)檢科至少要派出多少名檢驗(yàn)員？ （廣東省廣州市中考試題） B級 1. 你能很快算出19952嗎？ 為了解決這個問題，我們考察個位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個個位數(shù)為5的自然數(shù)可寫成（10n＋5）（n為自然數(shù)），即求（10n＋5）2的值（n為自然數(shù)），分析n＝1，n＝2，n＝3，…這些簡單情況，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論（在下面的空格內(nèi)填上你的探索結(jié)果）. （1）通過計(jì)算，探索規(guī)律. 152＝225可寫成1001（1＋1）＋25； 252＝625可寫成1002（2＋1）＋25； 352＝1225可寫成1003（3＋1）＋25； 452＝2025可寫成1004（4＋1）＋25； ... 752＝5625可寫成______； 852＝7225可寫成______； （2）從第（1）題的結(jié)果，歸納猜想得（10n＋5）2＝______； （3）根據(jù)上面的歸納猜想，請算出19952＝______. （福建省三明市中考試題） 2.已知12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，計(jì)算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n是正整數(shù)，an＝1234…n，則＋＋…＋＋＝_______________. (“希望杯”邀請賽訓(xùn)練題) 4.已知17個連續(xù)整數(shù)的和是306，那么，緊接著這17個數(shù)后面的那17個整數(shù)的和為__________. （重慶市競賽試題） 5.A，B兩地相距S千米，甲、乙的速度分別為a千米/時、b千米/時（a＞b），甲、乙都從A地到B地去開會，如果甲比乙先出發(fā)1小時，那么乙比甲晚到B地的小時數(shù)是（ ） A． B． C． D． 6.某商店經(jīng)銷一批襯衣，進(jìn)價為每件m元，零售價比高a%，后因市場的變化，該店把零售價調(diào)整原來零售價的b%出售，那么調(diào)價后的零售價是（　?。? A．m（1＋a%）（1－b%）元 B．ma%（1－b%）元 C．m（1＋a%）b%元 D．m（1＋a%b%）元 （山東省競賽試題） 7.如果用a名同學(xué)在b小時內(nèi)共搬運(yùn)c塊磚，那么個以同樣速度所需要的數(shù)是（　?。? A． B． C． D． (“希望杯”邀請賽試題) 8.甲、乙兩班的人數(shù)相等，各有一些同學(xué)參加課外天文小組，其中甲班參加天文小組的人數(shù)是乙班未參加人數(shù)的，乙班參加天文小組的人數(shù)是甲班未參加人數(shù)的．問甲班未參加的人數(shù)是乙班未參加人數(shù)的幾分之幾？ 9.將自然數(shù)1，2，3，…，21這21個數(shù)，任意地放在一個圓周上，證明：一定有相鄰的三個數(shù)，它們的和不小于33. （重慶市競賽試題） 10.有四個互不相同的正整數(shù)，從中任取兩個數(shù)組成一組，并在同一組中用較大的數(shù)減去較小的數(shù)， 再將各組所得的數(shù)相加，其和恰好等于18.若這四個數(shù)的乘積是23100，求這四個數(shù). （天津市競賽試題） 專題03 從算術(shù)到代數(shù) 例1 例2 A 例3 原式= = 故其整數(shù)部分為xx 例4 設(shè)圖③中含有個正方形. (1) 由,得 (2) 由得,因均是正整數(shù), 所以當(dāng)時, 此時 例5解法1: 時,; 時, , 猜想: 個, 計(jì)算過程類似于 解法2: 時, 時, 猜想: 原式 驗(yàn)證如下: 反思結(jié)論必為一個數(shù)的平方形式, 不妨設(shè),得另一種解法 解法3: 原式 例6 (1)(※) 可分組為可知各組數(shù)的個數(shù)依次為. 按其規(guī)律應(yīng)在第組中, 該組前面共有個數(shù). 故當(dāng)時,. 又因各組的數(shù)積為1, 故這2003003個數(shù)的積為 (2) 依題意, 為每組倒數(shù)第2個數(shù), 為每組最后一個數(shù), 設(shè)它們在第n組, 別.即, 得, A級 1. 100 提示: 中, 根據(jù)規(guī)律可得故 2. 3. 提示: 根據(jù)題中定義的運(yùn)算可列代數(shù)式,可得 故 4. 10 5. C 6. B 7. B 8. B 9.(1) 10 13 (2) 不能, 33不符合 10. (1) 或或 (2) 由,得 (3) B級 1. (1) (2) (3) 2. (1) (2) 提示: 原式 3. 提示: 由可得, 原式 4. 595 提示: 設(shè)17個連續(xù)整數(shù)為且,它后面緊接的17 個連續(xù)自然數(shù)應(yīng)為,可得它們之和為595 5. D 6. C 7. D 提示: 每一名同學(xué)每小時所搬磚頭為塊,名同學(xué)按此速度每小時所搬磚頭為塊. 8．用a，b分別表示甲、乙兩班參加天文小組的人數(shù)，m，n分別表示甲、乙兩班未參加天文小組的人數(shù)，由a＋m＝b＋n得m－b＝n－a，又a＝n，b＝m，故m－m＝n－n，． 9．證明：設(shè)任意分法將圓周上的每相鄰三個數(shù)分為一組，他們?nèi)齻€數(shù)的和分別為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7（均為自然數(shù)），且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝①．假設(shè)a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中沒一個數(shù)都小于33，則有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＜231．與①矛盾，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中至少有一個不小于33，即一定有相鄰的三個數(shù)，它們的和不小于33． 10．設(shè)四個不同整數(shù)為a1，a2，a3，a4（a1＞a2＞a3＞a4），則（a1－a2）＋（a1－a3）＋（a1－a4）＋（a2－a3）＋（a2－a4）＋（a3－a4）＝18，即3（a1－a4）＋（a2－a3）＝18．又因3（a1－a4），18均為3的倍數(shù)，故a2－a3也是3的倍數(shù)，a2－a3＜a1－a4，則a2－a3＝3，a1－a4＝5，a1－a2＝1，a3－a4＝1，又a1a2a3a4＝23100＝22355711．從而可得a1＝15，a2＝14，a3＝11，a4＝10．