七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專題18 簡(jiǎn)單的不定方程、方程組試題 （新版）新人教版.doc

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18 簡(jiǎn)單的不定方程、方程組 閱讀與思考 如果方程(組)中，未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，那么解往往有無(wú)窮多個(gè)，不能唯一確定，這樣的方程(組)稱為不定方程(組)． 對(duì)于不定方程(組)，我們常常限定只求整數(shù)解，甚至只求正整數(shù)解．加上這類限制后，解可能唯一確定，或只有有限個(gè)，或無(wú)解．這類問(wèn)題有以下兩種基本類型： 1．判定不定方程(組)有無(wú)整數(shù)解或解的個(gè)數(shù)； 2．如果不定方程(組)有整數(shù)解，求出其全部整數(shù)解． 二元一次不定方程是最簡(jiǎn)單的不定方程，一些不定方程(組)常常轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程求其整數(shù)解． 解不定方程(組)，沒(méi)有固定的方法可循，需具體問(wèn)題具體分析，經(jīng)常用到整數(shù)的整除、奇數(shù)偶數(shù)、因數(shù)分解、不等式分析、窮舉、分離整數(shù)、配方等知識(shí)與方法．根據(jù)方程(組)的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)變形，并靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)與方法是解不定方程(組)的基本思路． 例題與求解 【例1】滿足 (0＜＜＜1 998)的整數(shù)對(duì)(，)共有_______對(duì)． (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 解題思路：由方程特點(diǎn)，聯(lián)想到平方差公式，利用因數(shù)分解來(lái)解答． 【例2】電影票有10元，15元，20元三種票價(jià)，班長(zhǎng)用500元買(mǎi)了30張電影票，其中票價(jià)為20元的比票價(jià)為10元的多( )． A．20張 B．15張 C．10張 D．5張 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 解題思路：設(shè)購(gòu)買(mǎi)10元，15元，20元的電影票分別為，，張．根據(jù)題意列方程組，整體求出的－值． 【例3】某人家中的電話號(hào)碼是八位數(shù)，將前四位數(shù)組成的數(shù)與后四位數(shù)組成的數(shù)相加得14 405，將前三位數(shù)組成的數(shù)與后五位數(shù)組成的數(shù)相加得16 970，求此人家中的電話號(hào)碼． (湖北省武漢市競(jìng)賽試題) 解題思路：探索可否將條件用一個(gè)式子表示，從問(wèn)題轉(zhuǎn)換入手． 【例4】一個(gè)盒子里裝有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4?；?粒地取出，最終盒內(nèi)都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子? (重慶市競(jìng)賽試題) 解題思路：無(wú)論怎樣取，盒子里的棋子數(shù)不變。恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解． 【例5】 甲組同學(xué)每人有28個(gè)核桃，乙組同學(xué)每人有30個(gè)核桃，丙組同學(xué)每 人有31個(gè)核桃，三組的核桃總數(shù)是365個(gè)．問(wèn)：三個(gè)小組共有多少名同學(xué)? (海峽兩岸友誼賽試題) 解題思路：根據(jù)題意，列出三元一次不定方程，從運(yùn)用放縮法求取值范圍入手． 【例6】某中學(xué)全體師生租乘同類型客車(chē)若干輛外出春游，如果每輛車(chē)坐22人，就會(huì)余下1人；如果開(kāi)走一輛空車(chē)，那么所有師生剛好平均分乘余下的汽車(chē)． 問(wèn)：原先租多少輛客車(chē)和學(xué)校師生共多少人?(已知每輛車(chē)的容量不多于32人) 解題思路：設(shè)原先租客車(chē)輛，開(kāi)走一輛空車(chē)后，每輛車(chē)乘坐人，根據(jù)題意列出方程求解，注意排除不符合題設(shè)條件的解． 能力訓(xùn)練 A級(jí) 1．若，則＝__________． 2．已知， (≠0)，則的值等于________． 3．1998年某人的年齡恰等于他出生的公元年數(shù)的數(shù)字和，那么他的年齡是_________歲． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 4．已知，，為整數(shù)，且，．若＜，則的最大值為_(kāi)____． (全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 5．，都是質(zhì)數(shù)，則方程共有( )． A．1組解 B．2組解 C．3組解 D．4組解 (北京市競(jìng)賽試題) 6．如圖，在高速公路上從3千米處開(kāi)始，每隔 4千米設(shè)一個(gè)速度限制標(biāo)志，而且從10千米處開(kāi) 始．每隔9千米設(shè)一個(gè)測(cè)速照相標(biāo)志，則剛好在 19千米處同時(shí)設(shè)置這兩種標(biāo)志，問(wèn)下一個(gè)同時(shí)設(shè) 置這兩種標(biāo)志的地點(diǎn)的千米數(shù) 是( )． A．32千米 B．37千米 C．55千米 D．90千米 7．給出下列判斷： ①不定方程的整數(shù)解可表示為 (為整數(shù))． ②不定方程無(wú)整數(shù)解． ③不定方程無(wú)整數(shù)解． 其中正確的判斷是( )． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．小英在郵局買(mǎi)了10元的郵票，其中面值0.10元的郵票不少于2枚，面值O.20元的郵票不少于5枚，面值0.50元的郵票不少于3枚，面值2元的郵票不少于1枚，則小英最少買(mǎi)了( )枚郵票． A．17 B．18 C．19 D．20 (“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題) 9．小孩將玻璃彈子裝進(jìn)兩種盒子，每個(gè)大盒子裝12顆，每個(gè)小盒子裝5顆，若彈子共有99顆，所用大小盒子多于10個(gè)，問(wèn)這兩種盒子各有多少個(gè)? 10．中國(guó)百雞問(wèn)題：雞翁一，值錢(qián)五，雞母一，值錢(qián)三，雞雛三，值錢(qián)一，百錢(qián)買(mǎi)百雞．問(wèn)雞翁、雞母、雞雛各幾何? (出自中國(guó)數(shù)學(xué)家張丘建的著作《算經(jīng)》) 11．已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬都是整數(shù)，且周長(zhǎng)與面積的數(shù)值相等，求長(zhǎng)方形的面積． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 12．已知是滿足的整數(shù)，并且使二元一次方程組有整數(shù)解．問(wèn)：這樣的整數(shù)有多少個(gè)？ （“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題） B級(jí) 1．如果，，滿足，那么＝__________． (“祖沖之杯”邀請(qǐng)?jiān)囶}) 2．已知，為正偶數(shù)，且，則＝_________． 3．一個(gè)四位數(shù)與它的四個(gè)數(shù)字之和等于1 991．這個(gè)四位數(shù)是__________． (重慶市競(jìng)賽試題) 4．城市數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽共設(shè)金、銀、銅三種獎(jiǎng)牌，組委會(huì)把這些獎(jiǎng)牌分別裝在五個(gè)盒中，每個(gè)盒中只裝一種獎(jiǎng)牌．每個(gè)盒中裝獎(jiǎng)牌枚數(shù)依次是3，6，9，14，18．現(xiàn)在知道其中銀牌只有一盒，而且銅牌枚數(shù)是金牌枚數(shù)的2倍．則有金牌_____枚，銀牌______枚，銅牌_____枚． 5．若正整數(shù)，滿足，則這樣的正整數(shù)對(duì)(，)的個(gè)數(shù)是( )． A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 6．有甲、乙、丙3種商品，單價(jià)均為整數(shù)，某人若購(gòu)甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若購(gòu)甲4件、乙10件、丙l件共需33元，則此人購(gòu)甲、乙、丙各1件共需( )元． A．6元 B．8元 C．9元 D．10元 7．在方程組中，，，是不相等的整數(shù)，那么此方程組的解的組數(shù)為( )． A．6 B．3 C．多于6 D．少于3 (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 8．一個(gè)兩位數(shù)中間插入一個(gè)一位數(shù)(包括0)，就變成一個(gè)三位數(shù)，有些兩位數(shù)中間插入某個(gè)一位數(shù)后變成的三位數(shù)是原來(lái)兩位數(shù)的9倍，這樣的兩位數(shù)有( )個(gè)． A．1 B．4 C．10 D．超過(guò)10 9．李林在銀行兌換了一張面額為l00元以內(nèi)的人民幣支票，兌換員不小心將支票上的元與角、分?jǐn)?shù)字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按著錯(cuò)的數(shù)字支付，李林將其款花去3．50元之后，發(fā)現(xiàn)其余款恰為支票面額的兩倍，于是急忙到銀行將多領(lǐng)的款額退回，問(wèn)：李林應(yīng)退回的款額是多少元? (“五羊杯”邀請(qǐng)賽試題) 10．某人乘坐的車(chē)在公路上勻速行駛，從他看到的某個(gè)里程碑上的數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)時(shí)起，一小時(shí)后他看到的里程碑上的數(shù)恰好是第一次看到的數(shù)顛倒了順序的兩位數(shù)，再過(guò)一小時(shí)。他看到的里程碑上的數(shù)又恰好是第一次看到的兩位數(shù)之間添上一個(gè)零的三位數(shù)，問(wèn)這三塊里程碑上的數(shù)各是多少? (“勤奮杯”競(jìng)賽試題) 11．已知四位數(shù)滿足，求這樣的四位數(shù)． (“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題) 12．求方程的正整數(shù)解． (“希望杯”邀請(qǐng)賽試題) 專題18 簡(jiǎn)單的不定方程、方程組 例1 3 提示：(n-m)(n+m)=3995=151747，(n-m)與(n+m)奇偶性相同，對(duì)3995的任一正整數(shù)分解均可得到一個(gè) (m，n). 例2 C 設(shè)購(gòu)買(mǎi)10元，15元，20元的電影票分別為x，y，z張.則，②-①15得5( z-x)=50，解得z-x=10. 例3設(shè)此8位數(shù)為，將記為x，記為y，記為z. x，y，z均為自然數(shù).即電話號(hào)碼是100 000 x+10 000 y +z，且100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999， 則，得1111 y – x=285，由100≤x≤999，y≥0，得， 故電話號(hào)碼是82616144. 例4提示：設(shè)盒子里共有x(x≤200)粒棋子， 則12a-1=11b=x(a、b為正整數(shù))， 解得a=10，b=11，x=121. 例5設(shè)甲組學(xué)生a人，乙組學(xué)生b人，丙組學(xué)生c人，由題意得28a+30b+31c=365. 因28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365.得a+b+c＜＜13.04，所以a+b+c≤13. 因31（a+b+c）＞28a+30b+31c=365. 得a+b+c＞＞11.7，所以a+b+c≥12 因此a+b+c=12或13. 當(dāng) a+b+c=13 時(shí)，得2b+3c=1，此方程無(wú)正整數(shù)解；當(dāng) a+b+c=12 時(shí)，符合題意. 例6設(shè)原先租客車(chē)x輛，開(kāi)走一輛空車(chē)后，每輛車(chē)乘坐k人，顯然x≥2，23≤k≤32.依題意有：22x+1=k(x-1).則.因?yàn)閗為自然數(shù)，所以必是自然數(shù)，但23是質(zhì)數(shù)，因數(shù)只有1和23，且x≥2，∴x-1=1或x-1=23.如果x-1=1，則x=2，k=45，不符合k≤32的題設(shè)條件. 如果x-1=23，則x=24，k=23，符合題意.這時(shí)旅客人數(shù)等于k(x-1)=2323=529人. A級(jí) 1. . 2.1 3. 18 提示：設(shè)某人出生于，則，即11x+2y=88，解得. 4. 5013 提示：由題中條件得a+b+c=a+4011，又因?yàn)閍+b=xx，a＜b.故2a＜xx，a＜1003.又因?yàn)閍為正整數(shù)，故a的最大值為1002，于是a+b+c的最大值為5013. 5. B 6. C 設(shè)置限速標(biāo)志、照相標(biāo)志的千米數(shù)分別表示為3+4x，10+9y（x、y為自然數(shù)），將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求不定方程3+4x=10+9y的正整數(shù)解，則，4｜（y+3），為所求的解. 7. A 8.A 9.大小盒子分別為2個(gè)，15個(gè). 10.設(shè)雞翁、雞母、雞雛數(shù)目分別為x、y、z.則有，消去z，得7x+4y=100，顯然（0，25）是方程的一個(gè)特解，所以方程的通解為（t為整數(shù)）.于是z=100-x-y=100+4t-25-7t=75-3t.由x、y、z≥0且t為整數(shù)得，解得，將t的值代入通解，得四組解為（x，y，z）=（0，25，75），（4，18，78），（8，11，81），（12，4，84）．（0，25，75）應(yīng)舍去． 11．設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬高分別為x，y，則，，，或4或6，或4或3，故長(zhǎng)方形面積為18或16． 12．由方程組得，當(dāng)①（其中m，n是整數(shù)）時(shí)，方程有整數(shù)解．消去上面方程的k，得：②，由②得：（其中t為整數(shù)）③將③代入①得，．解不等式，得：，故有２個(gè)ｋ的值使原方程組有整數(shù)解． B級(jí) 1．144 提示：． 2．10 提示： 3．1972 設(shè)這個(gè)四位數(shù)為，則， 即，，從而，又最大為99+18=117．故，即，得，進(jìn)一步得，故這個(gè)四位數(shù)為1972． 4．12 14 24 提示：由題目中“通牌枚數(shù)是金牌枚數(shù)的2倍”得知金牌與銅牌數(shù)的和為3的倍數(shù)．因?yàn)殂y牌只有一盒，所以銅牌數(shù)和金牌數(shù)的和應(yīng)為3，6，9，14，18中四個(gè)數(shù)的和．因此銀牌數(shù)為14枚，金牌數(shù)為（3+6+9+18）=12枚，銅牌數(shù)為24枚． 5．C 提示：． 6．A 7．A 提示：有方程組得：． 8．B 提示：設(shè)兩位數(shù)為10a+b，中間插入的一位數(shù)為m，則9(10a+b)=100a+10m+b，10(a+m)=8b 9．原來(lái)支票的面額是14.32元，兌換員看錯(cuò)成了32.14元，應(yīng)退回32.14-14.32=17.82元． 10．設(shè)第一次看到的兩位數(shù)為，則以后兩次看到的數(shù)分別為，，由題意得 ，即，正理解的：x=1，y=6，故三塊里程碑上的數(shù)分別是16，61，106． 11．當(dāng)，，此時(shí)不存在滿足條件的四位數(shù)． 當(dāng)時(shí)，則．于是，若，得：，即1131滿足條件；若，得，即1130滿足條件． 當(dāng)時(shí)，則，于是，若，得，無(wú)解；若或，得，無(wú)解． 當(dāng)時(shí)，則，于是，若，得，即1112滿足條件；若，得，即xx滿足條件；若，得，即xx滿足條件． 12．由題中條件易知x，y，z都大于1．不妨設(shè)，則， ∵，即，由此得或3， 當(dāng)時(shí)，，即，由此得或5或6． 同理，當(dāng)時(shí)，或4，由此得：時(shí)，(x，y，z)共有(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)4組．由于x，y，z在原方程中地位平等，可得原方程的解共有15組：(2，4，12)，(2，12，4)，(4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6，6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4)，(4，4，3)，(4，3，4)．