七年級數(shù)學下冊 培優(yōu)新幫手 專題17 不等式(組)的應(yīng)用試題 （新版）新人教版.doc

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17 不等式(組)的應(yīng)用 閱讀與思考 許多數(shù)學問題和實際問題所求的未知量往往受到一些條件的限制，可以通過數(shù)量關(guān)系和分析，列出不等式(組)，運用不等式的有關(guān)知識予以求解，不等式(組)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在： 1．作差或作商比較有理數(shù)的大小． 2．求代數(shù)式的取值范圍． 3．求代數(shù)式的最大值或最小值． 4．列不等式(組)解應(yīng)用題． 列不等式(組)解應(yīng)用題與列方程(組)解應(yīng)用題的步驟相仿，關(guān)鍵是在理解題意的基礎(chǔ)上，將一些詞語轉(zhuǎn)化為不等式．如“不大于”“不小于”“正數(shù)”“負數(shù)”“非正數(shù)”“非負數(shù)”等對應(yīng)不等號：“≤”“≥”“＞0”“＜0”“≤0”“≥0”． 例題與求解 【例1】如果關(guān)于的方程只有負根，那么的取值范圍是_________． (遼寧省大連市“育英杯”競賽試題) 解題思路：由＜0建立關(guān)于的不等式． 【例2】已知A＝，B＝，C＝，則有( )． A．A＞B＞C B．C＞B＞A C．B＞A＞C D．B＞C＞A (浙江省紹興市競賽試題) 解題思路：當作差比較困難時，不妨考慮作商比較 【例3】已知，，，，，，是彼此不相等的正整數(shù)，它們的和等于159，求其中最小數(shù)的最大值． (北京市競賽試題) 解題思路：設(shè)＜＜＜＜，則++++＝159，解題的關(guān)鍵是怎樣把多元等式轉(zhuǎn)化為只含的不等式． 【例4】一玩具廠用于生產(chǎn)的全部勞力為450個工時，原料為400個單位，生產(chǎn)一個小熊玩具要使用15個工時、20個單位的原料，售價為80元；生產(chǎn)一個小貓玩具要使用10個工時、5個單位的原料，售價為45元．在勞力和原料的限制下合理安排生產(chǎn)小熊玩具、小貓玩具的個數(shù)，可以使小熊玩具和小貓玩具的總售價盡可能高．請用你所學過的數(shù)學知識分析，總售價是否可能達到2 200元． (“希望杯”邀請賽試題) 解題思路：列不等式的關(guān)鍵是勞力限制在450個工時，原料限制為400個單位．引入字母，把方程和不等式結(jié)合起來分析． 【例5】某錢幣收藏愛好者想把3.50元紙幣兌換成1分，2分，5分的硬幣，他要求硬幣總數(shù)為150枚，且每種硬幣不少于20枚，5分的硬幣多于2分的硬幣，請你據(jù)此設(shè)計兌換方案． (河北省競賽試題) 解題思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合組，把解方程組、解不等式組結(jié)合起來． 【例6】已知，皆為自然數(shù)，且1＜＜．若，．求的值． (香港中學數(shù)學競賽試題) 解題思路：此題可理解為在個連續(xù)自然數(shù)中去除其中一個數(shù) (且1＜＜，是非兩頭的兩個數(shù))，使剩余的數(shù)的平均數(shù)等于10，求和之和。 能力訓(xùn)練 A級 1.若方程的解小于零，則的取值范圍是___________． 2.若方程組的解為，，且2＜＜4，則－的取值范圍是___________． （山東省聊城市中考試題） 3.，，，是正整數(shù)，且＋＝20，＋＝24，＋＝22，設(shè)＋＋＋的最大值為M，最小值為N，則M－N＝_________． （重慶市競賽試題） 4．一輛公共汽車上有名乘客，到某一車站時有名乘客下車，則車上原有______________名乘客． （吉林省長春市中考試題） 5．一個盒子里裝有紅、黃、白三種顏色的球，若白球至多是黃球的，且至少是紅球的，黃球與白球合起來不多于55個，則盒子中至多有紅球__________個． (河北省競賽試題) 6．若，且≥2，則( ) A．有最小值 B．有最大值1 C．有最大值2 D．有最小值 (浙江省杭州市中考題) 7．設(shè)，，則P，Q的大小關(guān)系是（ ）． A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．不能確定 8．小芳和爸爸、媽媽三人玩蹺蹺板，三人的體重一共為150千克，爸爸坐在蹺蹺板的一端，體重只有媽媽一半的小芳和媽媽一同坐在蹺蹺板的另一端，這時，爸爸的那一端仍然著地，請你猜一猜小芳的體重應(yīng)小于( ) A．49千克 B．50千克 C．24千克 D．25千克 (山東省煙臺市中考試題) 9．中國第三屆京劇藝術(shù)節(jié)在南京舉行，某場京劇演出的票價有2元到100元多種，某團體需購買票價6元和10元的票共140張，其中票價為10元的票數(shù)不少于票價為6元的票數(shù)的2倍．問這兩種票各購買多少張所需的錢最少?最少需要多少錢? (江蘇省競賽試題) 10．某港受潮汐的影響，近日每天24小時港內(nèi)的水深變化大體如圖所示： 一艘貨輪于上午7時在該港碼頭開始卸貨，計劃當天卸完貨后離港．已知這艘貨輪卸完貨后吃水深度為2.5 m(吃水深度即船底與水面的距離)．該港口規(guī)定：為保證航行安全，只有當船底與港內(nèi)水底間的距離不少于3.5 m時，才能進出該港． 根據(jù)題目中所給的條件，回答下列問題： (1)要使該船能在當天卸完貨并安全出港，則出港時水深不能少于_______m，卸貨最多只能用______小時； (2)已知該船裝有1200噸貨，先由甲裝卸隊單獨卸，每小時卸180噸，工作了一段時間后，交由乙隊接著單獨卸，每小時卸120噸．如果要保證該船能在當天卸完貨并安全出港，則甲隊至少應(yīng)該工作幾小時，才能交給乙隊接著卸？ （江蘇省蘇州市中考試題） B級 1．設(shè)，，，都是整數(shù)，且＜3，＜5，＜7，＜30，那么的最大可能值為_______． （“新世紀杯”數(shù)學競賽試題） 2．某賓館底樓客房比二樓少5間，某旅游團有48人，若全安排住底樓，每間住4人，房間不夠；每間住5人，有房間沒有住滿5人．又若全安排在二樓，每間住3人，房間不夠；每間住4人，有房間沒有住滿4人，該賓館底樓有客房___________間． 3．已知＜0，滿足不等式，那么的取值范圍是___________． 4．若，滿足，S＝，則S的取值范圍是__________． (廣西競賽試題) 5．已知，，，…，是彼此互不相等的負數(shù)，且M＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，N＝(＋＋…＋)(＋＋…＋)，那么M與N的大小關(guān)系是( ) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．無法確定 (江蘇省競賽試題) 6．某出版社計劃出版一套百科全書，固定成本為8萬元，每印刷一套增加成本20元．如果每套書定價100元，賣出后有3成收入給經(jīng)銷商，出版社要盈利10％，那么該書至少要發(fā)行( )套． A．2 000 B．3 000 C．4 000 D．5 000 (“希望杯”邀請賽試題) 7．今有濃度為5％，8％，9％的甲、乙、丙三種鹽水分別為60克，60克，47克，現(xiàn)要配制濃度為7％的鹽水100克，問甲種鹽水最多可用多少克?最少可用多少克? (北京市競賽試題) 8．為了迎接世界杯足球賽的到來，某足球協(xié)會舉辦了一次足球聯(lián)賽，其記分規(guī)則與獎勵方案如下表： 勝一場 平一場 負一場 積分 3 1 0 獎金（元/人） 1500 700 0 當比賽進行到第12輪結(jié)束(每隊均需比賽12場)時，A隊共積1 9分． (1)請通過計算，判斷A隊勝、平、負各幾場． (2)若每賽一場，每名參賽隊員均得出場費500元．設(shè)A隊其中一名參賽隊員所得的獎金與出場費的和為W(元)，試求W的最大值。 (黑龍江省中考試題) 9．為實現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計劃對某縣A，B兩類薄弱學校全部進行改造．根據(jù)預(yù)算，共需資金1 575萬元，改造一所A類學校和兩所．B類學校共需資金230萬元；改造兩所A類學校和一所B類學校共需資金205萬元． (1)改造一所A類學校和一所B類學校所需的資金分別是多少萬元? (2)若該縣的A類學校不超過5所，則B類學校至少有多少所? (3)我市計劃今年對該縣A，B兩類學校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔，若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政投入到A，B兩類學校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元，請你通過計算求出有幾種改造方案． (湖北省襄樊市中考試題) 10．設(shè)，，…，是整數(shù)，且滿足下列條件： (1)－l≤≤2(＝1，2，…，2 008)； (2)； (3)． 求的最大值和最小值． (“宗滬杯”競賽試題) 專題16 不等式（組） 例1 C 提示：解不等式組得，則5個整數(shù)解為x＝19，18，17，16，15.結(jié)合數(shù)軸分析，應(yīng)滿足14≤3－2t＜15，故－6＜t≤. 例2 提示：，，，，. 例3 或 提示：解方程組得，由 得－1≤m≤0 例4 提示：由已知條件得 ,解得,m=3c－2.由 得,解得,故m的最大值為,最小值為 例5先用x1和x2表示x3,x 4，…，x7,得,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7= 2 010. 于是得.因為x2是自然數(shù),所以是整數(shù)，所以x1 是10的奇數(shù)倍.又因為x1＜x2，故有三組解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68. 因此x1+x2的最大值為50+68=118,所以x1+x2 +x3的最大值為2(x1+x2)=2118=236. 例6解法一 ：∵0≤a－b≤1①，1≤a+b≤4 ②，由②知－4≤－a－b≤－1③， ①+③得－4≤－2b≤0，即－2≤－b≤0④，①+④得－2≤a－2b≤1 要使a—2b最大，只有a－b=1且－b=0. ∴a=1 且b=0，此時8a+2003b=8. 解法二 ：設(shè)a－2b=m(a+b)+n(a－b)=(m+n)a+ (m－n)b,知,解得. 而,,∴a－2b=+ ∴－2≤a－2b≤1 當a—2b 最大時，a +b=1，a－b=1∴b=0，a=1，此時8a+2003b=8. A 級 1. 2.11. 1提示:原不等式組變形為由解集是0＜x＜2知,解得 故a+b=2+(－1)=1 3.a＜－b＜b＜－a 4.＜m＜7 5.B提示：由ax+3a＞3+x,得(a－1)(x+3)＞0,.由不等式的解集為x＜－3知x+3＜0, 所以a－1＜0,得a＜1. 6.C 7.B 8.C 9.k=2或3. 10. 提示：由非負數(shù)性質(zhì)求得a=2,b=5,原不等式組的解集為x＜－3. 11.原不等式組等價于,因為該不等式組的整數(shù)解一1，0，1，2不是對稱地出現(xiàn)， 所以其解不可能是必有，由整數(shù)解的情況可知, 得a=－5,－4,－3;b=5,6.故整數(shù)對(a,b)共有23=6對. B 級 1. 提示:由題意可知:.由正整數(shù)解為1,2,3知,解得 2.a≥－1 提示:原不等式組變形為由不等式組有解知－a≤1,故a≥－1 3. 9≤a＜12 4. 5. B 提示:原不等式組變形為,,. 6. C示：若x≥2000，則(x－2000)+x≤9999，即2000≤x≤5999, 共有4 000個整數(shù); 若0≤x＜2000,則(x－2000)+x≤9999.2000≤9999，恒成立，又有2000個整數(shù)適合 若x＜0，則2000－x+(－x) ≤9999即－3999.5≤x＜0，共有3999個整數(shù)適合，故一共有 4000+2 000+3999 = 9 999個整數(shù)適合. 7. D 8.C 提示:由原不等式得x2＞(x+5)2 9.提示：解不等式，得, 原式=,從而知最大值為4，最小值為 10.提示：s=x+2，2≤s≤3 11.提示:由,得，即 .又n與k是都是正整數(shù)，顯然n＞8，當n取9,10,11,12,13,14時，k都取不到整數(shù). 當n=15時,,即 此時是k=13故滿足條件的最小正整數(shù)n=15,k=13. 12.由得，故，即，又因為，故a=2，從而有，又，則，即b＜4，又b＞a=2，得b=3，從而得c=6，故a=2，b=3,c=6即為所求.