七年級數(shù)學下冊 培優(yōu)新幫手 專題12 數(shù)余的擴充試題 （新版）新人教版.doc

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12 數(shù)余的擴充 ———實數(shù)的概念與性質(zhì) 閱讀與思考 人類對數(shù)的認識是在生活中不斷加深和發(fā)展的。數(shù)系的每一次擴張都源于實際生活的需要，在非負有理數(shù)知識的基礎(chǔ)上引進負數(shù)，數(shù)系發(fā)展到有理數(shù)，這是數(shù)系的第一次擴張；但隨著人類對數(shù)的認識不斷加深和發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實世界中確實存在不同于有理數(shù)的數(shù)——無理數(shù)。在引人無理數(shù)的概念后，數(shù)系發(fā)展到實數(shù)，這是數(shù)系的第二次擴張. 理篇無理數(shù)是學好實數(shù)的關(guān)鍵，為此應注意： 1. 把握無理數(shù)的定義：無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分數(shù)的形式（這里，是互質(zhì)的整數(shù)，且≠0）； 2．掌握無理數(shù)的表現(xiàn)形式：無限不循環(huán)小數(shù)，與π相關(guān)的數(shù)，開方開不盡得到的數(shù)等； 3. 有理數(shù)對加、減、乘、除是封閉的，即任何兩個有理數(shù)的和、差、積、商還是有理數(shù)；無理數(shù)對四則運算不具有封閉性，即兩個無理數(shù)的和、差、積、商不一定是無理數(shù)； 4．明確無理數(shù)的真實性. 克菜因認為：“數(shù)學是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨特的創(chuàng)作，音樂能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學能給予以上的一切.” 想一想： 下列說法是否正確？ ①帶根號的數(shù)是無理數(shù)； ②兩個無理數(shù)的和、差、積、商一定還是無理數(shù)； ③一個無理數(shù)乘以一個有理數(shù)，一定得無理數(shù)； ④一個無理數(shù)的平方一定是有理數(shù). 例題與求解 【例1】 已知．則的平方根是________. （湖南省長沙市“學用杯”競賽試題） 解題思路：運用式子的非負性，求出，，的值． 【例2】若，是實數(shù)，且．則的值是( ). A．3或－3 B．3或－1 C．－3或－1 D．3或1 （湖北省黃岡市競賽試題） 解題思路：由算術(shù)根的雙非負性，可得≥0，≥0，求出＝1．代入原式中可得＝2． 由算術(shù)平方根的定義可得到算術(shù)平方根的雙非負性： ①中≥0； ②≥0. 運用算術(shù)平方根的雙非負性是挖掘隱含條件的常用方法. 【例3】 已知實數(shù)，，滿足等式 ，求的值． （北京市競賽試題） 解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)，互為相反數(shù)，由算術(shù)平方根定義、性質(zhì)探尋解題的切入點． 【例4】已知，是有理數(shù)，且，求，的值． 解題思路：把原等式整理成有理數(shù)與無理數(shù)兩部分，運用實數(shù)的性質(zhì)建立關(guān)于，的方程組. 實數(shù)有以下常用性質(zhì)： ①若，都是有理數(shù)，為無理數(shù)，且，則＝＝0; ②若，，，都是有理數(shù)，，為無理數(shù)，且“，則＝，． 要證一個數(shù)是有理數(shù)，常證這個數(shù)能表示成幾個有理數(shù)的和、差、積、商的形式；要證一個數(shù)是無理數(shù)，常用反證法，即假設這個數(shù)為有理數(shù)，設法推出矛盾. 想一想 怎樣證明是無理數(shù)？ 【例5】一個問題的探究 問題：設實數(shù)，，滿足≠0．且. 求證： 在上述問題的基礎(chǔ)上，通過特殊化、一般化，我們可編擬出下面兩個問題： (1)設，，為兩兩不相等的有理數(shù)，求證：為 有理數(shù)． （2）設，求的整數(shù)部分. 解題思路：從公式入手． 【例6】設，，，…，， 求的值（用含的代數(shù)式表示，其中為正整數(shù)）． （四川省成都市中考試題） 解題思路：解答此題的關(guān)鍵是將變形為一個代數(shù)式的平臺。 能 力 訓 練 A 級 1．在實數(shù)－4，，0，，，，中，共有_______個無理數(shù)． （貴州省貴陽市中考試題） 2．設，是的小數(shù)部分，則的值為____ . (xx年全國初中數(shù)學競賽試題) 3．已知，則的值為_______． （山東省濟南市中考試題） 4．觀察下列各式： ， ， ， 猜測：________ . （遼寧省大連市中考試題） 5．已知有理數(shù)，，，滿足，，那么＝________. A. B. C. D. （xx年“實中杯”數(shù)學競賽試題） 6．若，為實數(shù)，且，則的值為( )． A. 1 B．－1 C．2 D．－2 （天津市中考試題） 7．一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為，則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是( )． A. B． C． D． （山東省濰坊市中考試題） 8．若，則的值為( )． A．－1 B．1 C．2 D．3 （湖北省荊門市中考試題） 9．已知是的立方根，而是的相反數(shù)，且，求與的平方和的立方根． 10.計算：． （廣西競賽試題） 11.若，滿足，求的取值范圍． （全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題） B 級 1．與互為相反數(shù)，且．那么的值為____． （全國初中數(shù)學競賽試題） 2．若，則的值為_______ ． （海南省競賽試題） 3．已知實數(shù)滿足，則＝_______ . 4．的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值為____． （廣東省競賽試題） 5．已知非零實數(shù)，滿足，則等于( )． A．－1 B．0 C．1 D．2 （“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽試題） 6．已知，，．則，，的大小關(guān)系是( )． A. B. C. D. 7．已知：，那么代數(shù)式的值為( )． A． B． C． D. （重慶市競賽試題） 8．下面有3個結(jié)論： ①存在兩個不同的無理數(shù)，它們的差是整數(shù)； ②存在兩個不同的無理數(shù)，它們的積是整數(shù)； ③存在兩個不同的非整數(shù)的有理數(shù)，它們的和與商都是整數(shù). 其中，正確的結(jié)論有( )個． A.0 B．1 C．2 D．3 （江蘇省競賽試題） 9．已知是整數(shù)，求所有滿足條件的正整數(shù)的和． （“CASIO杯”武漢市競賽試題） 10.設，，，，都是有理數(shù)，是無理數(shù). 求證： (1) 當時，是有理數(shù)； (2) 當時，是無理數(shù)． 11.已知非零實數(shù)，滿足.求值． （“《數(shù)學周報》杯”全國初中數(shù)學競賽試題） 專題12數(shù)余的擴充 ———實數(shù)的概念與性質(zhì) 例1 土 提示：由條件得a－2＝0,b＋4＝0,a＋b－2c＝0，則a＝2，b＝－4，c＝－1．故（ac）b＝[2（一1）]－4＝，的平方根為土． ； 例2 B 例3 由,得．∴m＋n＝199. ∴，由非負數(shù)性質(zhì)，得 解得p=201。 例4 已知等式整理，得 因為a，b是有理數(shù)，所以且， 解得 例5 = 故，進一步 . （1）可證明 （2）令x =1，y=n，得 S= 故S的整數(shù)部分為xx. 例6 ∵ ∴ ∴原式= A級 1. 2 2. 9 提示：，則b=, b+2= 故 3. 4. 5. B 提示：由題知， 則即， 故 6. B 7. B 8. C 9. 2 10. 原式== === 11. 由題中條件 ①3 + ②5 得 ①2 - ②3 得 又∵≥0，≥0，則 解得 B組 1. 提示：由條件，解得 故x2 + 2xy +1= 2. 2 提示：由得，故有(x+1)+2x=7 ,所以x的值為2. 3. xx 提示：由條件得：a≥xx，則，從而有： a2 - 2004 = xx 4. 1 5. C 提示：由條件得：a≥3，則，a+b=1。 6. C 提示：因為，，所以.故ba，因此b0， 8. D 舉例：，滿足①②；，滿足③ 9. 設，則b2 - a2 =xx，而xx = 5401,5,401均為質(zhì)數(shù)，a，b為正整數(shù)，∴或 解得a =1002或a=198，從而1002+198 = 1200. 10. (1)c、d不能同時為0，否則y無意義，若c=0，由bc=ad，d≠0，得a=0, 此時y=為有理數(shù)；若d=0，則C≠0，由bc=ad，得b=0，此時為有理數(shù)，若c≠0，且d≠0，由bc=ad，得，代入y得y為有理數(shù)． (2)假設bc≠ad時，y為有理數(shù)，則（cx+d)y=ax+b，即（cy－a)x+(dy－b)=0，因cy－a，dy－b為有理數(shù)，x為無理數(shù)，故有cy－a=0,dy－b=0，從而bc=cdy=(cy)d=ad，這與已知條件bc≠ad矛盾，從而y不是有理數(shù)，y一定是無理數(shù)． 11．∵（a－3)b2≥0，∴a－3≥0，∴a≥3．原式可化為，即，解得a=3,b=－2，故a+b=3+(－2)=1．