中考數(shù)學試題分項版解析匯編第02期專題5.3銳角三角形含解析.doc
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專題5.3 銳角三角形 一、單選題 1.2cos60=( ?。? A. 1 B. C. D. 【來源】黑龍江省大慶市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】A 【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值,熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵. 2.如圖,A、B、C是小正方形的頂點,且每個小正方形的邊長為1,則tan∠BAC的值為( ?。? A. B. 1 C. D. 【來源】貴州省貴陽市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】B 【解析】【分析】連接BC,由網(wǎng)格求出AB,BC,AC的長,利用勾股定理的逆定理得到△ABC為等腰直角三角形,即可求出所求. 【詳解】如圖,連接BC, 由網(wǎng)格可得AB=BC=,AC=,即AB2+BC2=AC2, ∴△ABC為等腰直角三角形, ∴∠BAC=45, 則tan∠BAC=1, 故選B. 【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,解直角三角形,以及勾股定理,熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵. 3.如圖,某地修建高速公路,要從A地向B地修一條隧道(點A、B在同一水平面上).為了測量A、B兩地之間的距離,一架直升飛機從A地出發(fā),垂直上升800米到達C處,在C處觀察B地的俯角為α,則A、B兩地之間的距離為( ) A. 800sinα米 B. 800tanα米 C. 米 D. 米 【來源】吉林省長春市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】D 【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題,解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,屬于中考??碱}型. 4.如圖,在中,,,,則等于( ) A. B. C. D. 【來源】湖北省孝感市xx年中考數(shù)學試題 【答案】A 點睛:本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義,解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及正弦函數(shù)的定義. 5.如圖,矩形紙片ABCD,AB=4,BC=3,點P在BC邊上,將△CDP沿DP折疊,點C落在點E處,PE、DE分別交AB于點O、F,且OP=OF,則cos∠ADF的值為( ) A. B. C. D. 【來源】廣西欽州市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】C 【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP,由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF可得出△OEF≌△OBP(AAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出OE=OB、EF=BP,設(shè)EF=x,則BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x,進而可得出AF=1+x,在Rt△DAF中,利用勾股定理可求出x的值,再利用余弦的定義即可求出cos∠ADF的值. 【詳解】根據(jù)折疊,可知:△DCP≌△DEP, ∴DC=DE=4,CP=EP. 在△OEF和△OBP中,, ∴△OEF≌△OBP(AAS), ∴OE=OB,EF=BP. 【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形,利用勾股定理結(jié)合AF=1+x,求出AF的長度是解題的關(guān)鍵. 6.如圖,要測量小河兩岸相對的兩點P,A的距離,可以在小河邊取PA的垂線PB上的一點C,測得PC=100米,∠PCA=35,則小河寬PA等于( ?。? A. 100sin35米 B. 100sin55米 C. 100tan35米 D. 100tan55米 【來源】湖北省宜昌市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】C 【解析】分析:根據(jù)正切函數(shù)可求小河寬PA的長度. 詳解:∵PA⊥PB,PC=100米,∠PCA=35, ∴小河寬PA=PCtan∠PCA=100tan35米. 故選:C. 點睛:考查了解直角三角形的應(yīng)用,解直角三角形的一般過程是:①將實際問題抽象為數(shù)學問題(畫出平面圖形,構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題).②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形,得到數(shù)學問題的答案,再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案. 7.如圖,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60,∠C=45,AD⊥BC,垂足為D,∠ABC的平分線交AD于點E,則AE的長為 A. B. 2 C. D. 3 【來源】陜西省xx年中考數(shù)學試題 【答案】C 【詳解】∵AD⊥BC, ∴△ADC是直角三角形, ∵∠C=45, ∴∠DAC=45, ∴AD=DC, ∵AC=8, ∴AD=4, 在Rt△ABD中,∠B=60,∴BD===, ∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30, ∴DE=BD?tan30==, ∴AE=AD-DE=, 故選C. 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,熟練掌握直角三角形中邊角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 8.如圖,AB是⊙O的直徑,且經(jīng)過弦CD的中點H,已知sin∠CDB=,BD=5,則AH的長為( ?。? A. B. C. D. 【來源】廣西壯族自治區(qū)賀州市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】B 【解析】【分析】連接OD,由垂徑定理得出AB⊥CD,由三角函數(shù)求出BH=3,由勾股定理得出DH==4,設(shè)OH=x,則OD=OB=x+3,在Rt△ODH中,由勾股定理得出方程,解方程即可. 設(shè)OH=x,則OD=OB=x+3, 在Rt△ODH中,由勾股定理得:x2+42=(x+3)2, 解得:x=, ∴OH=, ∴AH=OA+OH=+3+=, 故選B. 【點睛】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)等知識,正確添加輔助線,熟練應(yīng)用垂徑定理、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵. 9.如圖,AB是⊙O的直徑,C,D是⊙O上AB兩側(cè)的點,若∠D=30,則tan∠ABC的值為( ) A. B. C. D. 【來源】遼寧省葫蘆島市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】C 【點睛】本題考查了圓周角定理、特殊角的三角函數(shù)值,求得∠ABC=60是解本題的關(guān)鍵. 10.在Rt△ABC中,∠C=90,AC=1,BC=3,則∠A的正切值為( ?。? A. 3 B. C. D. 【來源】云南省xx年中考數(shù)學試卷 【答案】A 【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,能熟記銳角三角函數(shù)的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵. 二、填空題 11.如圖,小明為了測量校園里旗桿AB的高度,將測角儀CD豎直放在距旗桿底部B點6m的位置,在D處測得旗桿頂端A的仰角為53,若測角儀的高度是1.5m,則旗桿AB的高度約為______m.(精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin53≈0.80,cos53≈0.60,tan53≈1.33) 【來源】遼寧省大連市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】9.5 【解析】分析:根據(jù)三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可. 詳解:過D作DE⊥AB, ∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為53, ∴∠ADE=53, ∵BC=DE=6m, ∴AE=DE?tan53≈61.33≈7.98m, ∴AB=AE+BE=AE+CD=7.98+1.5=9.48m≈9.5m, 故答案為:9.5 點睛:此題考查了考查仰角的定義,要求學生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 12.如圖,在點B處測得塔頂A的仰角為30,點B到塔底C的水平距離BC是30m,那么塔AC的高度為__m(結(jié)果保留根號). 【來源】遼寧省阜新市xx年中考數(shù)學試題 【答案】 點睛:此題考查了考查仰角的定義,要求學生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 13.如圖,△ABC是等邊三角形,AB=,點D是邊BC上一點,點H是線段AD上一點,連接BH、CH.當∠BHD=60,∠AHC=90時,DH=_____. 【來源】遼寧省沈陽市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】 【詳解】作AE⊥BH于E,BF⊥AH于F,如圖, ∵△ABC是等邊三角形, ∴AB=AC,∠BAC=60, ∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60,∠BAH+∠CAH=60, ∴∠ABH=∠CAH, 在△ABE和△CAH中, ∴△ABE≌△CAH, ∴BE=AH,AE=CH, 在Rt△AHE中,∠AHE=∠BHD=60, ∴sin∠AHE=,HE=AH, ∴AE=AH?sin60=AH, ∴CH=AH, 在Rt△AHC中,AH2+(AH)2=AC2=()2,解得AH=2, ∴BE=2,HE=1,AE=CH=, ∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1, 在Rt△BFH中,HF=BH=,BF=, ∵BF∥CH, ∴△CHD∽△BFD, ∴=2, ∴DH=HF==, 故答案為:. 【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等,解題的關(guān)鍵是明確在判定兩個三角形相似時,應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件,以充分發(fā)揮基本圖形的作用,尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形. 14.如圖,航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為45,測得底部C的俯角為60,此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為110m,那么該建筑物的高度BC約為_____m(結(jié)果保留整數(shù),≈1.73). 【來源】湖北省咸寧市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】300 【詳解】如圖,∵在Rt△ABD中,AD=110,∠BAD=45, ∴BD= AD?tan45 =110(m), ∵在Rt△ACD中,∠CAD=60, ∴CD=AD?tan60=110≈190(m), ∴BC=BD+CD=110+190=300(m), 即該建筑物的高度BC約為300米, 故答案為:300. 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵. 15.在直角三角形ABC中,∠ACB=90,D、E是邊AB上兩點,且CE所在直線垂直平分線段AD,CD平分∠BCE,BC=2,則AB=_____. 【來源】貴州省銅仁市xx年中考數(shù)學試題 【答案】4 詳解:∵CE所在直線垂直平分線段AD, ∴CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE. ∵CD平分∠BCE, ∴∠DCE=∠DCB. ∵∠ACB=90, ∴∠ACE=∠ACB=30, ∴∠A=60, ∴AB==4. 故答案為:4. 點睛:本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值,通過角的計算找出∠A=60是解題的關(guān)鍵. 16.如圖,在平面直角坐標系中,菱形OABC的一個頂點在原點O處,且∠AOC=60,A點的坐標是(0,4),則直線AC的表達式是_____. 【來源】湖南省郴州市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】 【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì),可得OC的長,根據(jù)三角函數(shù),可得OD與CD,從而可得點C坐標,然后再根據(jù)待定系數(shù)法,即可求得直線AC的表達式. 【詳解】如圖, 設(shè)AC的解析式為y=kx+b, 將A,C點坐標代入函數(shù)解析式,得, 解得, 直線AC的表達式是y=﹣x+4, 故答案為:y=﹣x+4. 【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,利用銳角三角函數(shù)得出C點坐標是解題關(guān)鍵. 17.如圖,在菱形ABCD中,,是銳角,于點E,M是AB的中點,連結(jié)MD,若,則的值為______. 【來源】浙江省寧波市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】 【詳解】延長DM交CB的延長線于點H, 四邊形ABCD是菱形, ,, , ,, ≌, , , ,設(shè), , , , , , 或舍棄, , 故答案為:. 【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識,正確添加輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題是解決本題的關(guān)鍵. 18.如圖,某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB,飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分別為和若飛機離地面的高度CH為1200米,且點H,A,B在同一水平直線上,則這條江的寬度AB為______米結(jié)果保留根號. 【來源】浙江省寧波市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】 【解析】【分析】在和中,利用銳角三角函數(shù),用CH表示出AH、BH的長,然后計算出AB的長. 米, 故答案為:. 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角、俯角問題,題目難度不大,解決本題的關(guān)鍵是用含CH的式子表示出AH和BH. 19.計算:﹣|2﹣2|+2tan45=_____. 【來源】湖北省隨州市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】4 【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算,熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值、二次根式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵. 20.如圖,一次函數(shù)y=x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象相交于A、B兩點,與x軸交與點C,若tan∠AOC=,則k的值為_____. 【來源】湖北省隨州市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】3 【解析】【分析】如圖,過點A作AD⊥x軸,垂足為D,根據(jù)題意設(shè)出點A的坐標,然后根據(jù)一次函數(shù)y=x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象相交于A、B兩點,可以求得a的值,進而求得k的值即可. 【詳解】如圖,過點A作AD⊥x軸,垂足為D, ∵tan∠AOC==,∴設(shè)點A的坐標為(3a,a), ∵一次函數(shù)y=x﹣2的圖象與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象相交于A、B兩點, ∴a=3a﹣2,得a=1, ∴1=,得k=3, 故答案為:3. 【點睛】本題考查了正切,反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問題需要的條件,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答. 21.已知△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30,則△ABC的面積等于_____. 【來源】江蘇省無錫市xx年中考數(shù)學試題 【答案】15或10 詳解:作AD⊥BC交BC(或BC延長線)于點D, ①如圖1,當AB、AC位于AD異側(cè)時, 在Rt△ABD中,∵∠B=30,AB=10, ∴AD=ABsinB=5,BD=ABcosB=5, 在Rt△ACD中,∵AC=2, ∴CD=, 則BC=BD+CD=6, ∴S△ABC=?BC?AD=65=15; ②如圖2,當AB、AC在AD的同側(cè)時, 點睛:本題主要考查解直角三角形,解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的運用、分類討論思想的運算及勾股定理. 22.如圖,無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60、45,如果無人機距地面高度CD為米,點A、D、E在同一水平直線上,則A、B兩點間的距離是_____米.(結(jié)果保留根號) 【來源】湖北省黃石市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】100(1+) 【解析】分析:如圖,利用平行線的性質(zhì)得∠A=60,∠B=45,在Rt△ACD中利用正切定義可計算出AD=100,在Rt△BCD中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得BD=CD=100,然后計算AD+BD即可. 詳解:如圖, ∵無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60、45, 點睛:本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題:解決此類問題要了解角之間的關(guān)系,找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形,當圖形中沒有直角三角形時,要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形. 23.如圖,在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中,點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上,AB、CD相交于點O,則tan∠AOD=________. 【來源】四川省眉山市xx年中考數(shù)學試題 【答案】2 【解析】分析:首先連接BE,由題意易得BF=CF,△ACO∽△BKO,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,易得KO:CO=1:3,即可得OF:CF=OF:BF=1:2,在Rt△OBF中,即可求得tan∠BOF的值,繼而求得答案. 詳解:如圖,連接BE, ∵四邊形BCEK是正方形, ∴KF=CF=CK,BF=BE,CK=BE,BE⊥CK, ∴BF=CF, 根據(jù)題意得:AC∥BK, ∴△ACO∽△BKO, ∴KO:CO=BK:AC=1:3, ∴KO:KF=1:2, ∴KO=OF=CF=BF, 在Rt△PBF中,tan∠BOF==2, ∵∠AOD=∠BOF, ∴tan∠AOD=2. 故答案為:2 點睛:此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),三角函數(shù)的定義.此題難度適中,解題的關(guān)鍵是準確作出輔助線,注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 24.如圖,一艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行,在A處測得島礁P在東北方向上,繼續(xù)航行1.5小時后到達B處,此時測得島礁P在北偏東30方向,同時測得島礁P正東方向上的避風港M在北偏東60方向.為了在臺風到來之前用最短時間到達M處,漁船立刻加速以75海里/小時的速度繼續(xù)航行_____小時即可到達.(結(jié)果保留根號) 【來源】山東省濰坊市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】 【詳解】如圖,過點P作PQ⊥AB交AB延長線于點Q,過點M作MN⊥AB交AB延長線于點N, 在直角△AQP中,∠PAQ=45,則AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ(海里), 所以 BQ=PQ﹣90. 在直角△BPQ中,∠BPQ=30,則BQ=PQ?tan30=PQ(海里), 所以 PQ﹣90=PQ, 所以 PQ=45(3+)(海里), 所以 MN=PQ=45(3+)(海里), 在直角△BMN中,∠MBN=30, 所以 BM=2MN=90(3+)(海里), 所以(小時), 故答案為:. 【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用,此題是一道方向角問題,結(jié)合航海中的實際問題,將解直角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)學應(yīng)用于實際生活的思想. 三、解答題 25.如圖,一艘游輪在A處測得北偏東45的方向上有一燈塔B.游輪以20海里/時的速度向正東方向航行2小時到達C處,此時測得燈塔B在C處北偏東15的方向上,求A處與燈塔B相距多少海里?(結(jié)果精確到1海里,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73) 【來源】廣西壯族自治區(qū)賀州市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】A處與燈塔B相距109海里. ∵∠ECB=15, ∴∠BCF=90﹣15=75, ∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75﹣45=30, 在Rt△BCM中,tanB=tan30=,即, ∴BM=40, ∴AB=AM+BM=40+40≈40+401.73≈109(海里), 答:A處與燈塔B相距109海里. 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵. 26.如圖,一艘海輪位于燈塔C的北偏東45方向,距離燈塔100海里的A處,它沿正南方向航行一段時間后,到達位于燈塔C的南偏東30方向上的B處,求此時船距燈塔的距離(參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732,結(jié)果取整數(shù)). 【來源】湖北省十堰市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】船距燈塔的距離為193海里. 【解析】【分析】過C作CD垂直于AB,根據(jù)題意求出AD與BD的長,由AD+DB求出AB的長即可. 【詳解】過C作CD⊥AB, 在Rt△ACD中,∠A=45, ∴△ACD為等腰直角三角形, ∴AD=CD=AC=50海里, 在Rt△BCD中,∠B=30, ∴BC=2CD=100海里, 根據(jù)勾股定理得:BD=50海里, 則AB=AD+BD=50+50≈193海里, 則此時船鋸燈塔的距離為193海里. 【點睛】本題考查了解直角三角形﹣方向角問題,正確添加輔助線,熟練應(yīng)用直角三角形中邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 27.如圖,一座山的一段斜坡BD的長度為600米,且這段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡從B到D時,其升高的高度與水平前進的距離之比).已知在地面B處測得山頂A的仰角為33,在斜坡D處測得山頂A的仰角為45.求山頂A到地面BC的高度AC是多少米?(結(jié)果用含非特殊角的三角函數(shù)和根式表示即可) 【來源】內(nèi)蒙古呼和浩特市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】山頂A到地面BC的高度AC是米. 【解析】【分析】作DH⊥BC于H.設(shè)AE=x.在Rt△ABC中,根據(jù)tan∠ABC=,構(gòu)建方程即可解決問題即可. 【詳解】作DH⊥BC于H,設(shè)AE=x, ∵DH:BH=1:3, 在Rt△BDH中,DH2+(3DH)2=6002, 【點睛】本題考查解直角三角形——仰角問題,借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形,熟練應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想與方程思想解答問題是關(guān)鍵. 28.兩棟居民樓之間的距離CD=30米,樓AC和BD均為10層,每層樓高3米. (1)上午某時刻,太陽光線GB與水平面的夾角為30,此刻B樓的影子落在A樓的第幾層? (2)當太陽光線與水平面的夾角為多少度時,B樓的影子剛好落在A樓的底部. 【來源】遼寧省盤錦市xx年中考數(shù)學試題 【答案】(1)此刻B樓的影子落在A樓的第5層;(2)當太陽光線與水平面的夾角為45度時,B樓的影子剛好落在A樓的底部. 【解析】分析:(1)延長BG,交AC于點F,過F作FH⊥BD于H,利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可; (2)連接BC,利用利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可. 詳解:(1)延長BG,交AC于點F,過F作FH⊥BD于H, 點睛:本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,難度一般,解答本題的關(guān)鍵是利用利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答. 29.已知Rt△ABC中,∠ACB=90,點D、E分別在BC、AC邊上,連結(jié)BE、AD交于點P,設(shè)AC=kBD,CD=kAE,k為常數(shù),試探究∠APE的度數(shù): (1)如圖1,若k=1,則∠APE的度數(shù)為 ; (2)如圖2,若k=,試問(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請說明理由;若不成立,求出∠APE的度數(shù). (3)如圖3,若k=,且D、E分別在CB、CA的延長線上,(2)中的結(jié)論是否成立,請說明理由. 【來源】四川省樂山市xx年中考數(shù)學試題 【答案】(1)45;(2)(1)中結(jié)論不成立,理由見解析;(3)(2)中結(jié)論成立,理由見解析. 詳解:(1)如圖1,過點A作AF∥CB,過點B作BF∥AD相交于F,連接EF, ∴∠FBE=∠APE,∠FAC=∠C=90,四邊形ADBF是平行四邊形, ∴BD=AF,BF=AD. ∵AC=BD,CD=AE, ∴AF=AC. ∵∠FAC=∠C=90, ∴△FAE≌△ACD, ∴EF=AD=BF,∠FEA=∠ADC. ∵∠ADC+∠CAD=90, ∴∠FEA+∠CAD=90=∠EHD. ∵AD∥BF, ∴∠EFB=90. ∵EF=BF, ∴∠FBE=45, ∴∠APE=45. (2)(1)中結(jié)論不成立,理由如下: 如圖2,過點A作AF∥CB,過點B作BF∥AD相交于F,連接EF, ∵∠FAC=∠C=90, ∴△FAE∽△ACD, ∴,∠FEA=∠ADC. ∵∠ADC+∠CAD=90, ∴∠FEA+∠CAD=90=∠EMD. ∵AD∥BF, ∴∠EFB=90. 在Rt△EFB中,tan∠FBE=, ∴∠FBE=30, ∴∠APE=30, (3)(2)中結(jié)論成立,如圖3,作EH∥CD,DH∥BE,EH,DH相交于H,連接AH, ∴,∠ADC=∠HAE. ∵∠CAD+∠ADC=90, ∴∠HAE+∠CAD=90, ∴∠HAD=90. 在Rt△DAH中,tan∠ADH=, ∴∠ADH=30, ∴∠APE=30. 點睛:此題是三角形綜合題,主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),平行四邊形的判定和性質(zhì),構(gòu)造全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì). 30.據(jù)調(diào)查,超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一.小強用所學知識對一條筆直公路上的車輛進行測速,如圖所示,觀測點C到公路的距離CD=200m,檢測路段的起點A位于點C的南偏東60方向上,終點B位于點C的南偏東45方向上.一輛轎車由東向西勻速行駛,測得此車由A處行駛到B處的時間為10s.問此車是否超過了該路段16m/s的限制速度?(觀測點C離地面的距離忽略不計,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73) 【來源】四川省廣安市xx年中考數(shù)學試題 【答案】此車沒有超過了該路段16m/s的限制速度. 【解析】分析:根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出DB,DA,進而解答即可. 詳解:由題意得:∠DCA=60,∠DCB=45, 點睛:本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題,解答本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)求出AD與BD的長度,難度一般. 31.我市304國道通遼至霍林郭勒段在修建過程中經(jīng)過一座山峰,如圖所示,其中山腳A、C兩地海拔高度約為1000米,山頂B處的海拔高度約為1400米,由B處望山腳A處的俯角為30,由B處望山腳C處的俯角為45,若在A、C兩地間打通一隧道,求隧道最短為多少米(結(jié)果取整數(shù),參考數(shù)據(jù)≈1.732) 【來源】內(nèi)蒙古通遼市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】隧道最短為1093米. 【解析】【分析】作BD⊥AC于D,利用直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可. 【詳解】如圖,作BD⊥AC于D, 由題意可得:BD=1400﹣1000=400(米), ∠BAC=30,∠BCA=45, 在Rt△ABD中, ∵tan30=,即, 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,正確添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵. 32.“高低杠”是女子體操特有的一個競技項目,其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成,運動員可根據(jù)自己的身高和習慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離.某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學問題,請你解答. 如圖所示,底座上A,B兩點間的距離為90cm.低杠上點C到直線AB的距離CE的長為155cm,高杠上點D到直線AB的距離DF的長為234cm,已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4,高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3.求高、低杠間的水平距離CH的長.(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)sin82.4≈0.991,cos82.4≈0.132,tan82.4≈7.500,sin80.3≈0.983,cos80.3≈0.168,tan80.3≈5.850) 【來源】河南省xx年中考數(shù)學試卷 【答案】高、低杠間的水平距離CH的長為151cm. 【解析】分析:利用銳角三角函數(shù),在Rt△ACE和Rt△DBF中,分別求出AE、BF的長.計算出EF.通過矩形CEFH得到CH的長. 詳解:在Rt△ACE中, ∵tan∠CAE=, 點睛:本題考查了銳角三角函數(shù)解直角三角形.題目難度不大,注意精確度. 33.如圖①,在Rt△ABC中,以下是小亮探究與之間關(guān)系的方法: ∵sinA=,sinB=, ∴c=,c=, ∴=, 根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識.在圖②的銳角△ABC中,探究、、之間的關(guān)系,并寫出探究過程. 【來源】貴州省貴陽市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】==,理由見解析. 【解析】【分析】三式相等,理由為:過A作AD⊥BC,BE⊥AC,在直角三角形ABD中,利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD,在直角三角形ADC中,利用銳角三角函數(shù)定義表示出AD,兩者相等即可得證. 【點睛】本題考查了解直角三角形,熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵. 34.已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,點M是斜邊AB的中點,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于點E,連結(jié)AD、CD. (1)求證:△MED∽△BCA; (2)求證:△AMD≌△CMD; (3)設(shè)△MDE的面積為S1,四邊形BCMD的面積為S2,當S2=S1時,求cos∠ABC的值. 【來源】四川省資陽市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)cos∠ABC=. 【詳解】(1)∵MD∥BC, ∴∠DME=∠CBA, ∵∠ACB=∠MED=90, ∴△MED∽△BCA; (2)∵∠ACB=90,點M是斜邊AB的中點, ∴MB=MC=AM, ∴∠MCB=∠MBC, ∵∠DMB=∠MBC, ∴∠MCB=∠DMB=∠MBC, ∵∠AMD=180﹣∠DMB, ∠CMD=180﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180﹣∠MBC, ∴∠AMD=∠CMD, 在△AMD與△CMD中, , ∴△AMD≌△CMD(SAS); (3)∵MD=CM, ∴AM=MC=MD=MB, ∴MD=2AB, 由(1)可知:△MED∽△BCA, ∴, ∴S△ACB=4S1, ∵CM是△ACB的中線, ∴S△MCB=S△ACB=2S1, ∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1, ∵, ∴, ∴, 【點睛】本題考查相似三角形的綜合問題,涉及直角三角形斜邊中線的性質(zhì),全等三角形的性質(zhì)與判定,相似三角形的判定與性質(zhì),三角形面積的面積比,銳角三角函數(shù)的定義等知識,綜合程度較高,熟練掌握和靈活運用相關(guān)的性質(zhì)及定理進行解題是關(guān)鍵. 35.如圖是小紅在一次放風箏活動中某時段的示意圖,她在A處時的風箏線(整個過程中風箏線近似地看作直線)與水平線構(gòu)成30角,線段AA1表示小紅身高1.5米. (1)當風箏的水平距離AC=18米時,求此時風箏線AD的長度; (2)當她從點A跑動9米到達點B處時,風箏線與水平線構(gòu)成45角,此時風箏到達點E處,風箏的水平移動距離CF=10米,這一過程中風箏線的長度保持不變,求風箏原來的高度C1D. 【來源】四川省資陽市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】(1)風箏線AD的長度為12米;(2)風箏原來的高度C1D為米. 【詳解】(1)∵在Rt△ACD中,cos∠CAD=,AC=18、∠CAD=30, ∴AD==(米), 答:此時風箏線AD的長度為12米; (2)設(shè)AF=x米,則BF=AB+AF=9+x(米), 在Rt△BEF中,BE===18+x(米), 由題意知AD=BE=18+x(米), ∵CF=10, ∴AC=AF+CF=10+x, 由cos∠CAD=可得, 解得:x=3+2, 則AD=18+(3+2)=24+3, ∴CD=ADsin∠CAD=(24+3)=, 則C1D=CD+C1C=+=, 答:風箏原來的高度C1D為米. 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,熟練掌握三角函數(shù)的定義、根據(jù)題意找到兩直角三角形間的關(guān)聯(lián)是解決本題的關(guān)鍵. 36.如圖,已知△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=. (1)求邊AC的長; (2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D,求的值. 【來源】上海市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】(1)AC=;(2). 【詳解】(1)如圖,過點A作AE⊥BC, 在Rt△ABE中,tan∠ABC=,AB=5, ∴AE=3,BE=4, ∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1, 在Rt△AEC中,根據(jù)勾股定理得:AC==; (2)∵DF垂直平分BC, ∴BD=CD,BF=CF=, ∵tan∠DBF=, ∴DF=, 在Rt△BFD中,根據(jù)勾股定理得:BD==, ∴AD=5﹣=, 則. 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,正確添加輔助線、根據(jù)邊角關(guān)系熟練應(yīng)用三角函數(shù)進行解答是解題的關(guān)鍵.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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