九年級數(shù)學(xué)上冊 第一章 特殊平行四邊形 1 菱形的性質(zhì)與判定（第3課時）菱形的性質(zhì)與判定的綜合練習(xí) 北師大版.doc

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1.1.3　菱形的性質(zhì)與判定的綜合 1．一個平行四邊形的一條邊長為3，兩條對角線的長分別是4和2，則它的面積為__ __． 2．如圖，將菱形ABCD沿AC方向平移至A′B′C′D′，A′D′交CD于點E，A′B′交BC于點F，判斷四邊形A′FCE是不是菱形，并說明理由． 3．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，若AB＝，AC＝4，BD＝2. (1)求證：AC⊥BD． (2)求證：平行四邊形ABCD是菱形． (3)求四邊形ABCD的面積． 4．[xx東麗區(qū)一模]如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長分別為3和4，∠A＝120，則圖中陰影部分的面積是__ __． 5．如圖，△ABC中，∠A＝90，AB＝AC，D，E，F(xiàn)分別在AB，AC，BC上，且AD＝AE，DC為EF的中垂線，求證：BF＝2AD． 　　 6．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，BD＝4，E，F(xiàn)分別是AD，CD上的動點(包含端點)，且AE＋CF＝4，連接BE，EF，F(xiàn)B． (1)試探究BE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (2)求EF的最大值與最小值． 　　 參考答案 【分層作業(yè)】 1． 4 2．解：四邊形A′FCE是菱形．理由如下： ∵四邊形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，AD∥BC，AB∥CD，∠DAC＝∠DCA． ∵菱形ABCD沿AC方向平移至A′B′C′D′， ∴AD∥A′D′，DC∥D′C′， ∴∠DAC＝∠D′A′C，A′E∥BC，CE∥A′B′， ∴四邊形A′FCE是平行四邊形，∠D′A′C＝∠DCA， ∴EA′＝EC，∴四邊形A′FCE是菱形． 3．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AO＝AC＝2，BO＝BD＝1. ∴AO2＋BO2＝AB2，∴∠AOB＝90，即AC⊥BD． (2)證明：∵AC⊥BD，四邊形ABCD是平行四邊形， ∴平行四邊形ABCD是菱形． (3)S四邊形ABCD＝ACBD＝42＝4. 4． 　答圖 【解析】 連接CF，如答圖，∴BD∥CF，∴S△FDB＝S△CDB＝S菱形ABCD＝. 5． 　　,答圖) 證明：連接DE，DF，設(shè)DC與EF相交于點O， 設(shè)AD＝x，則AE＝x. ∵AD＝AE，∠A＝90，∴DE＝x. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴∠AED＝(180－∠A)＝∠ACB，∴DE∥FC， ∴∠DEO＝∠CFO. 又∵EO＝OF，∠EOD＝∠FOC， ∴△EOD≌△FOC(ASA)，∴OD＝OC． 又∵OE＝OF，EF⊥DC， ∴四邊形DECF是菱形， ∴EC＝DE＝x，∴AC＝x＋x. ∴BC＝AC＝(x＋x)＝x＋2x， ∴BF＝BC－FC＝2x，∴BF＝2AD． 6． 解：(1)BE＝BF，證明如下： ∵四邊形ABCD是邊長為4的菱形，BD＝4， ∴△ABD，△CBD都是邊長為4的正三角形． ∵AE＋CF＝4，∴CF＝4－AE＝AD－AE＝DE. 又∵BD＝BC＝4，∠BDE＝∠C＝60， ∴△BDE≌△BCF(SAS)，∴BE＝BF. (2)∵△BDE≌△BCF，∴∠EBD＝∠FBC， ∴∠EBD＋∠DBF＝∠FBC＋∠DBF， ∴∠EBF＝∠DBC＝60. 又∵BE＝BF，∴△BEF是正三角形， ∴EF＝BE＝BF. 當(dāng)動點E運動到點D或點A時，BE的最大值為4； 當(dāng)BE⊥AD，即E為AD的中點時，BE的最小值為2， ∴EF的最大值為4，最小值為2.