九年級數(shù)學下冊 第6章 圖形的相似 6.4 探索三角形相似的條件 6.4.5 圓中的相似、三角形的重心同步練習 蘇科版.doc

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第6章　圖形的相似 6.4　第5課時　圓中的相似、三角形的重心 知識點 1　圓中的相似 1．如圖6－4－55，△ABC的角平分線AD的延長線交△ABC的外接圓于點E.則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．△BAE∽△DBE B．△BAE∽△DAC C．△DBE∽△DAC D．△BAD∽△DAC 圖6－4－55 　　圖6－4－56 2．如圖6－4－56，⊙O的弦AB，CD相交于點P.若AP＝3，BP＝4，CP＝2，則CD的長為(　　) A．6 B．12 C．8 D．不能確定 3．xx濱州 如圖6－4－57，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，AD⊥CD于點D，且AC平分∠DAB. 求證：(1)直線DC是⊙O的切線； (2)AC2＝2ADAO. 圖6－4－57 4．已知：如圖6－4－58，AD是△ABC的邊BC上的高，AE是△ABC外接圓的直徑． 求證：ABAC＝ADAE. 圖6－4－58 知識點 2　三角形的重心 5．三角形的重心是三角形的(　　) A．三條中線的交點 B．三條角平分線的交點 C．三邊垂直平分線的交點 D．三條高所在直線的交點 6．如圖6－4－59，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，G是重心．如果AG＝6，那么線段DG的長為(　　) A．2 B．3 C．6 D．12 圖6－4－59 　　　圖6－4－60 7．如圖6－4－60，△ABC的中線BE與CD交于點G，連接DE，下列結(jié)論正確的是(　　) A．點G是△ABC的內(nèi)心 B．BD＝2CE C．S△BGC＝2S△DGE D．S△BDG＝S△CEG 圖6－4－61 8．如圖6－4－61，若AD，BE是△ABC的中線，AD，BE相交于點F，F(xiàn)D＝2，則線段AD的長為________． 9．如圖6－4－62，在△ABC中，AE，BF交于點D，且D是△ABC的重心，S△DEF＝2，求△AEC的面積． 圖6－4－62 10．如圖6－4－63，在△ABC中，點O是重心，BC＝10，連接AO并延長交BC于點D，連接BO并延長交AC于點E，AD⊥BE.若BE＝6，AO＝6，則AC的長為(　　) A．8　　 B．4 　　 C．12　 　D．14 圖6－4－63 　　　圖6－4－64 11．如圖6－4－64，已知DE∥BC，且DE經(jīng)過△ABC的重心G.若BC＝6 cm，則DE等于________ cm. 12．xx遵義 如圖6－4－65，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90，AB＝5，BC＝10，連接AC，BD，以BD為直徑的圓交AC于點E，連接DE.若DE＝3，則AD的長為________． 圖6－4－65 　　　圖6－4－66 13．如圖6－4－66，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為D，AD＝18，點E在AC上且CE＝AC，連接BE，與AD交于點F.若BE＝15，則△DBF的周長是________． 14．xx姜堰期中 如圖6－4－67，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，F(xiàn)為△ABC的重心，AB＝6，則EF＝________． 圖6－4－67 15．xx聊城 如圖6－4－68，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點P. (1)求證：PD是⊙O的切線； (2)求證：△PBD∽△DCA； (3)當AB＝6，AC＝8時，求線段PB的長． 圖6－4－68 16．如圖6－4－69，已知點G是△ABC的重心，AG⊥GC. (1)若AC＝4 cm，求BG的長； (2)若△ABC的面積為9 cm2，求△GBC的面積． 圖6－4－69 17．如圖6－4－70，已知矩形ABCD中，DE∥AC，DE與BC的延長線交于點E，AE交CD于點F，BF交AC于點G. (1)求證：點G是△ABE的重心； (2)已知＝，求證：∠BCG＝∠BGC. 圖6－4－70 / 教 師 詳 解 詳 析 / 第6章　圖形的相似 6.4　第5課時　圓中的相似、三角形的重心 1．D 2．C　[解析] 連接AC，BD，則△PAC∽△PDB，∴＝， ∴DP＝. ∵AP＝3，BP＝4，CP＝2，∴DP＝6， ∴CD＝CP＋DP＝2＋6＝8.故選C. 3．證明：(1)連接OC， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠OAC. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD. ∵點C在⊙O上，∴直線DC是⊙O的切線． (2)連接BC，∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90，∴∠ACB＝∠ADC＝90. 又∵∠BAC＝∠DAC，∴△ACB∽△ADC， ∴＝，∴AC2＝ADAB， ∴AC2＝2ADAO. 4．證明：∵AD是△ABC的邊BC上的高，AE是△ABC外接圓的直徑， ∴∠ADB＝∠ACE＝90. 又∵∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE， ∴AB∶AE＝AD∶AC， ∴ABAC＝ADAE. 5．A 6．B　[解析] 根據(jù)重心的性質(zhì)，三角形的重心到一頂點的距離等于其到對邊中點距離的2倍，可直接求得結(jié)果． 7．D　[解析] 根據(jù)三角形重心的定義和性質(zhì)對各選項分析判斷，利用排除法求解． 8．6　[解析] ∵AD，BE是△ABC的中線，AD，BE相交于點F，F(xiàn)D＝2，∴點F是△ABC的重心，∴AF＝2FD＝22＝4，∴AD＝AF＋FD＝4＋2＝6. 9．解：∵D是△ABC的重心， ∴AD＝2DE，F(xiàn)為AC的中點， ∴S△ADF＝2S△DEF＝4， ∴S△EFC＝S△AEF＝6，∴S△AEC＝12. 10．B　[解析] ∵O是△ABC的重心， ∴E是AC的中點，OE＝BE＝6＝2. ∵AD⊥BE，∴AE＝＝2， ∴AC＝2AE＝22＝4. 故選B. 11．4　[解析] 連接AG并延長交BC于點N.∵G是△ABC的重心，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN＝CN，DG＝EG，∴＝＝.∵BC＝6 cm，∴BN＝3 cm，∴DG＝2 cm，∴DE＝4 cm. 12．2 　[解析] 連接BE，因為∠DAE＝∠DBE，∠DAE＝∠ACB，所以∠DBE＝∠ACB.因為BD是直徑，所以∠BED＝90.又因為∠ABC＝90，所以∠BED＝∠ABC，所以△BED∽△CBA，所以＝，得到EB＝6.Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得BD＝3 .在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理得AD＝2 . 13．24　[解析] 根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD＝CD，又由CE＝AC，可知F是△ABC的重心，根據(jù)重心的性質(zhì)，得BF＝BE＝10，DF＝AD＝6.在Rt△BDF中利用勾股定理求得BD＝8，進而得出△DBF的周長為24. 14．1 15．解：(1)證明：如圖，連接OD. ∵BC為⊙O的直徑， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝90. ∵∠BAC的平分線交⊙O于點D， ∴∠BAD＝∠CAD＝45，∴∠BOD＝90. ∵PD∥BC，∴∠PDO＋∠BOD＝180， ∴∠PDO＝90，即PD⊥OD. 又∵點D在⊙O上，∴PD是⊙O的切線． (2)證明：∵四邊形ABDC內(nèi)接于⊙O， ∴∠ABD＋∠DCA＝180. 又∵∠PBD＋∠ABD＝180， ∴∠PBD＝∠DCA. ∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC. 又∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠P＝∠ADC，∴△PBD∽△DCA. (3)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝＝10， ∴OB＝OC＝OD＝5. 又∵OD⊥BC，∴DB＝DC＝5 . ∵△PBD∽△DCA，∴＝， 即＝， ∴PB＝＝. 16．解：(1)如圖，延長BG交AC于點D. ∵G是△ABC的重心， ∴BD為△ABC的中線． 又∵AG⊥GC， ∴GD為Rt△AGC斜邊上的中線， ∴GD＝AC. 又∵G是△ABC的重心， ∴BG＝2GD＝AC＝4 cm. (2)∵BD為△ABC的中線， ∴S△CBD＝S△ABC＝ cm2. ∵G是△ABC的重心， ∴BD＝3GD，∴S△GBC＝S△CBD＝3 cm2. 17．證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BE，BC＝AD. 又∵DE∥AC， ∴四邊形ACED是平行四邊形， ∴AF＝EF，AD＝CE. ∵BC＝AD，∴BC＝CE， ∴點G是△ABE的重心． (2)∵∠ABE＝90，AF＝EF， ∴BF＝AE＝AF. ∵點G是△ABE的重心， ∴BG＝BF＝AF. ∵＝，∴BC＝AD＝AF， ∴BC＝BG， ∴∠BCG＝∠BGC.