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1、
歸納與類比
1.歸納推理
根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個事物都有這種屬性.我們將這種推理方式稱為歸納推理.簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.
歸納推理的基本模式:a、b、c∈M且a、b、c具有某屬性,結(jié)論:任意d∈M,d也具有某屬性.
2.類比推理
由于兩類不同對象具有某些類似的特征,在此基礎(chǔ)上,根據(jù)一類對象的其他特征,推斷另一類對象也具有類似的其他特征,我們把這種推理過程稱為類比推理.簡言之,類比推理是兩類事物特征之間的推理.
類比推理的基本模式:A:具有屬性a,
2、b,c,d;
B:具有屬性a′,b′,c′; 結(jié)論:B具有屬性d′.(a,b,c,d與a′,b′,c′,d′相似或相同)
3.歸納推理和類比推理是最常見的合情推理,合情推理的結(jié)果不一定正確.
4.演繹推理是根據(jù)已知的事實和正確的結(jié)論,按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程.
考點一。歸納推理
命題點1 與數(shù)字有關(guān)的等式的推理
1.(1)觀察下列等式:
1-=,1-+-=+,1-+-+-=++,…,據(jù)此規(guī)律,第n個等式可為_________.
解:等式左邊:第1個等式有2項,第2個有4項,第3個有6項,且正負交錯,故第n個等式為1-+-+…+-;等式右邊:第1個有1項,第2個有2
3、項,第3個有3項,故第n個有n項,則第n個等式右邊應為++…+.
(2)觀察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,求a10+b10=_________.
解:從第三項開始,后一個式子的右端值等于它前面兩個式子右端值的和,依據(jù)此規(guī)律,a10+b10=123.
命題點2 與不等式有關(guān)的推理
2.(1)已知x∈(0,+∞),觀察下列各式:x+≥2,x+=++≥3,x+=+++≥4,…,得x+≥n+1(n∈N+),則a=________.
解:第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,此時
4、a=22=4;第三個式子是n=3的情況,此時a=33=27,歸納可知a=nn.
命題點3 與數(shù)列有關(guān)的推理
3.(1)在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,則有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19,n∈N+)成立,類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則b1b2b3b4…bn=________________.
解:b1b2b3b4…b17-n (n<17,n∈N+)
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論,設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn,則T4,________,_____
5、___, 成等比數(shù)列.
解:有等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn,則T4=a1a2a3a4,T8=a1a2…a8,T12=a1a2…a12,T16=a1a2…a16,因此=a5a6a7a8,=a9a10a11a12,=a13a14a15a16,而T4,,,的公比為q16,因此T4,,,成等比數(shù)列.
命題點4 與圖形變化有關(guān)的推理
4.(1)觀察下圖,可推斷出“x”處應該填的數(shù)字是________.
(2) 有一個六邊形的點陣,它的中心是1個點(算第1層),第2層每邊有2個點,第3層每邊有3個點,…,依此類推,如果一個六邊形點陣共有169個
6、點,那么它的層數(shù)為________.
解:(1)中間數(shù)等于四周四個數(shù)的平方和,∴“x”處應填的數(shù)字是32+52+72+102=183.
(2)第1層點數(shù)為1,第2層點數(shù)為6,第3層點數(shù)為26,第4層點數(shù)為36,第5層點數(shù)為46,…,第n層點數(shù)為6(n-1).設(shè)一個點陣有n層,則共有的點數(shù)為1+6+62+…+6(n-1)=1+(n-1)=3n2-3n+1,由題意得3n2-3n+1=169,即(n+7)(n-8)=0,所以n=8,故共有8層.
考點二。類比推理
5.(1)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若am=a,an=b(n-m≥1,m,n∈N+),則am+n=.類比等差數(shù)列{an}的上述結(jié)
7、論,對于等比數(shù)列{bn}(bn>0,n∈N+),若bm=c,bn=d(n-m≥2,m,n∈N+),則可以得到bm+n=________.
解:設(shè)數(shù)列{an}公差為d,數(shù)列{bn}公比為q,因an=a1+(n-1)d,bn=b1qn-1,am+n=,則bm+n=.
(2)在平面上,設(shè)ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高,P為三角形內(nèi)任一點,P到相應三邊的距離分別為Pa,Pb,Pc,我們可以得到結(jié)論:++=1.把它類比到空間,則三棱錐中的類似結(jié)論為______________.
解:設(shè)ha,hb,hc,hd分別是三棱錐A-BCD四個面上的高,P為三棱錐A-BCD內(nèi)任一點,P到相應四個面的距離分別為Pa,Pb,Pc,Pd,于是可以得出結(jié)論:+++=1.