北大離散數(shù)學.ppt
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2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,1,第7講關系冪運算與關系閉包北京大學,內(nèi)容提要關系冪(power)運算關系閉包(closure),2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,2,關系的冪運算,n次冪的定義指數(shù)律冪指數(shù)的化簡,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,3,關系的n次冪,關系的n次冪(nthpower):設R?A?A,n?N,則(1)R0=IA;(2)Rn+1=Rn○R,(n?1).Rn表示的關系,是R的關系圖中長度為n的有向路徑的起點與終點的關系.,,,,,,,,,,,,1,2,n,n-1,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,4,關系冪運算(舉例),例:設A={a,b,c},R?A?A,R={,,},求R的各次冪.解:,,,,,,,b,a,c,,,,b,a,c,,,,,,,G(R),G(R0),2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,5,關系冪運算(舉例,續(xù)),解(續(xù)):R0=IA,R1=R0○R=R={,,},R2=R1○R={,,},,,,,,,,b,a,c,,,,b,a,c,,,,,G(R),G(R2),,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,6,關系冪運算(舉例,續(xù)2),解(續(xù)):R0=IA,R1=R0○R=R={,,},R2=R1○R={,,},R3=R2○R={,,}=R1,,,,,,,,b,a,c,,,,b,a,c,G(R),G(R3),,,,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,7,關系冪運算(舉例,續(xù)3),解(續(xù)):R4=R3○R=R1○R=R2,R5=R4○R=R2○R=R3=R1,一般地,R2k+1=R1=R,k=0,1,2,…,R2k=R2,k=1,2,…,.#,,,,,,,b,a,c,,,,b,a,c,G(R),G(R5),,,,,,,b,a,c,,,,,G(R4),,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,8,關系冪運算是否有指數(shù)律?,指數(shù)律:(1)Rm○Rn=Rm+n;(2)(Rm)n=Rmn.說明:對實數(shù)R來說,m,n?N,Z,Q,R.對一般關系R來說,m,n?N.對滿足IA?R且A?domR?ranR的關系R來說,m,n?N,Z,例如R2○R-5=R-3,因為可以定義R-n=(R-1)n=(Rn)-1?,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,9,定理17,定理17:設R?A?A,m,n?N,則(1)Rm○Rn=Rm+n;(2)(Rm)n=Rmn.說明:可讓m,n?Z,只需IA?domR?ranR(此時IA=R○R-1=R-1○R)并且定義R-n=(R-1)n=(Rn)-1.回憶:(F○G)-1=G-1○F-1(R2)-1=(R○R)-1=R-1○R-1=(R-1)2,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,10,定理17(證明(1)),(1)Rm○Rn=Rm+n;證明:(1)給定m,對n歸納.n=0時,Rm○Rn=Rm○R0=Rm○IA=Rm=Rm+0.假設Rm○Rn=Rm+n,則Rm○Rn+1=Rm○(Rn○R1)=(Rm○Rn)○R1=Rm+n○R=R(m+n)+1=Rm+(n+1).(2)同樣對n歸納.#,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,11,R0,R1,R2,R3,…是否互不相等?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,R0,R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8,R0,R1,R2,R3,R4,R5=R19=R33=R47=…,R6=R20=R34=R48=…,R7=R21=R35=R49=…,R8=R22=R36=…,R15,R9,R10,R11,R14,R16,R17,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,12,定理16,定理16:設|A|=n,R?A?A,則?s,t?N,并且,使得Rs=Rt.證明:P(A?A)對冪運算是封閉的,即?R,R?P(A?A)?Rk?P(A?A),(k?N).|P(A?A)|=,在R0,R1,R2,…,這個集合中,必有兩個是相同的.所以?s,t?N,并且,使得Rs=Rt.#,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,13,鴿巢原理(pigeonholeprinciple),鴿巢原理(pigeonholeprinciple):若把n+1只鴿子裝進n只鴿巢,則至少有一只鴿巢裝2只以上的鴿子.又名抽屜原則(Dirichletdrawerprinciple),(PeterGustavLejeuneDirichlet,1805~1859)推廣形式:若把m件物品裝進k只抽屜,則至少有一只抽屜裝只以上的物品.?1.8?=2,?1.8?=1,?-1.8?=-1,?-1.8?=-2.,2019/12/24,《集合論與圖論》第7講,14,定理18,定理18:設R?A?A,若?s,t?N(st-1?s,則令q=s+kp+i,其中k,i?N,p=t-s,s+i
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- 北大 離散數(shù)學
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