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1、
周練卷(三)
(時間:90分鐘 滿分:120分)
【選題明細表】
知識點、方法
題號
函數(shù)單調(diào)性
1,4,5,9,13,16
函數(shù)最值
7,10,17
函數(shù)奇偶性
3,6,11,14,15
函數(shù)性質(zhì)綜合
2,8,12,18,19,20
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.函數(shù)g(x)=在[1,2]上為減函數(shù),則a的取值范圍為( C )
(A)(-∞,0) (B)[0,+∞)
(C)(0,+∞) (D)(-∞,0]
解析:因為y=在[1,2]上是減函數(shù),
所以要使g(x)=在[1,2]上是減函數(shù),
則有a>0.故選C.
2.f(x)=(m-1)x2
2、+2mx+3為偶函數(shù),則f(x)在區(qū)間(2,5)上是( A )
(A)減函數(shù) (B)增函數(shù)
(C)有增有減 (D)增減性不確定
解析:f(x)=(m-1)x2+2mx+3為偶函數(shù),
所以m=0,
所以f(x)=-x2+3,開口向下,f(x)在區(qū)間(2,5)上是減函數(shù).故選A.
3.函數(shù)f(x)=ax2+bx-2是定義在[1+a,2]上的偶函數(shù),則f(x)在區(qū)間[1,2]上是( B )
(A)增函數(shù) (B)減函數(shù)
(C)先增后減函數(shù) (D)先減后增函數(shù)
解析:因為函數(shù)f(x)=ax2+bx-2是定義在[1+a,2]上的偶函數(shù),
所以1+a+2=0,解得a=
3、-3,
由f(x)=f(-x)得,b=0,
即f(x)=-3x2-2.
其圖象是開口向下,對稱軸是y軸的拋物線,
則f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù).故選B.
4.若函數(shù)y=x2+(2a-1)x+1在區(qū)間(-∞,2]上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( B )
(A)[-,+∞) (B)(-∞,-]
(C)[ ,+∞) (D)(-∞,]
解析:因為函數(shù)y=x2+(2a-1)x+1的圖象是方向朝上,以直線x=為對稱軸的拋物線,
又因為函數(shù)在區(qū)間(-∞,2]上是減函數(shù),
故2≤,
解得a≤-,故選B.
5.函數(shù)f(x)=x|x-2|的增區(qū)間是( C )
(A)(-∞,1]
4、 (B)[2,+∞)
(C)(-∞,1],[2,+∞) (D)(-∞,+∞)
解析:f(x)=x|x-2|=
作出f(x)簡圖如圖,
由圖象可知f(x)的增區(qū)間是(-∞,1],[2,+∞).
6.設(shè)f(x)是R上的任意函數(shù),則下列敘述正確的是( D )
(A)f(x)f(-x)是奇函數(shù)
(B)f(x)|f(-x)|是奇函數(shù)
(C)f(x)-f(-x)是偶函數(shù)
(D)f(x)+f(-x)是偶函數(shù)
解析:若f(x)是R上的任意函數(shù),則f(x)f(-x)是偶函數(shù),f(x)-f(-x)是奇函數(shù),f(x)+f(-x)是偶函數(shù),B項無法確定.選D.
7.若函數(shù)y=
5、x2-6x-7,則它在[-2,4]上的最大值、最小值分別是
( C )
(A)9,-15 (B)12,-15 (C)9,-16 (D)9,-12
解析:函數(shù)的對稱軸為x=3,
所以當(dāng)x=3時,函數(shù)取得最小值為-16,
當(dāng)x=-2時,函數(shù)取得最大值為9,故選C.
8.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(-∞,0]上是減函數(shù),且f(2)=0,則使得f(x)<0的x的取值范圍是( B )
(A)(-∞,2) (B)(-2,2)
(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析:由題意知f(-2)=f(2)=0,f(x)的示意圖如圖所示.當(dāng)x∈(-2,0]
6、時,f(x)
7、B,因為f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù),-1>-,
所以f(-1)>f(-),所以B不正確;
對于C,f(2)=f(-2),
因為f(x)在(-∞,0]上是增函數(shù),-2<-,
所以f(2)=f(-2)
8、-x)=-f(x).
所以f(x)=-x2-4x-5=-(x+2)2-1(-4≤x≤-1).
當(dāng)x=-2時,取最大值-1.
11.已知函數(shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-2x,則當(dāng)x<0時,f(x)的解析式是( A )
(A)f(x)=-x(x+2)
(B)f(x)=x(x-2)
(C)f(x)=-x(x-2)
(D)f(x)=x(x+2)
解析:任取x<0,則-x>0,
因為x≥0時,f(x)=x2-2x,
所以f(-x)=x2+2x, ①
又函數(shù)y=f(x)在R上為奇函數(shù),
所以f(-x)=-f(x), ②
由①②得x<0時,f(x
9、)=-x(x+2).故選A.
12.定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f()=0,且在(0,+∞)上單調(diào)遞減,則xf(x)>0的解集為( B )
(A){x|x<-或x>}
(B){x|0}
解析:函數(shù)為奇函數(shù),
因為f()=0,
所以f(-)=0,不等式xf(x)>0化為或結(jié)合函數(shù)圖象可知的解集為0
10、單位得到,
畫出函數(shù)的圖象,如圖,
結(jié)合圖象可知該函數(shù)的遞減區(qū)間為(-∞,-1)和(-1,+∞).
答案:(-∞,-1)和(-1,+∞)
14.已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且f(-1)=2,那么f(0)+
f(1)= .
解析:因為函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù).
所以f(-x)=-f(x),
f(1)=-f(-1)=-2,f(-0)=-f(0),
即f(0)=0,
所以f(0)+f(1)=-2.
答案:-2
15.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x>0時,f(x)=x2+|x|-1,那么x<0時,f(x)= .
解析:由題意,當(dāng)x>0時,f(
11、x)=x2+|x|-1=x2+x-1,
當(dāng)x<0時,-x>0,
所以f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,
又因為f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2-x-1,
即f(x)=-x2+x+1.
答案:-x2+x+1
16.若定義在R上的二次函數(shù)f(x)=ax2-4ax+b在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),且f(m)≥f(0),則實數(shù)m的取值范圍是 .
解析:由于f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)圖象的對稱軸為x=-=2.所以x在[0,2]上的值域與在[2,4]上的值域相同,所以滿足f(m)≥f(0)的m的取值范
12、圍是0≤m≤4.
答案:[0,4]
三、解答題(共40分)
17.(本小題滿分8分)
已知函數(shù)f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函數(shù)f(x)的最值.
解:因為對稱軸為x=1,
①當(dāng)1≥t+2即t≤-1時,
f(x)max=f(t)=t2-2t-3,
f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3.
②當(dāng)≤11時,
13、
f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3,
f(x)min=f(t)=t2-2t-3.
設(shè)函數(shù)最大值為g(t),最小值為(t)時,則有
g(t)=
(t)=
18.(本小題滿分10分)
已知y=f(x)是奇函數(shù),它在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(x)<0,試問F(x)=在(-∞,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結(jié)論.
解:F(x)在(-∞,0)上是減函數(shù).
證明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0.
因為y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(x)<0,所以f(-x2)
14、x2)=-f(x2),f(-x1)=-f(x1), ②
由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)-F(x2)=>0,即F(x1)>F(x2),所以F(x)=在(-∞,0)上是減函數(shù).
19.(本小題滿分10分)
已知函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x∈R且x≠0},且滿足對于任意的x1,x2∈D都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)及f(-1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明.
解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0
15、.
(2)f(x)是偶函數(shù).令x1=x,x2=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=
f(x),故對任意的x≠0都有f(-x)=f(x).所以f(x)是偶函數(shù).
20.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)f(x)=,若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且f(1)=3,f(2)=5.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若g(x)=3f(x)+,試證明函數(shù)g(x)在(0,1)上是減函數(shù);
(3)若不等式g(x)≤m在[,]上恒成立,求m的取值范圍.
(1)解:因為f(x)=是奇函數(shù),
所以f(-x)=-f(x).
所以=-.
即=-.
所以-bx+c=-(bx+c).
16、
所以c=-c.
所以c=0.
所以f(x)=.
因為f(1)=3,f(2)=5,
所以=3,=5.
所以a=,b=.所以f(x)=.
(2)證明:g(x)=3f(x)+==7(x+).
設(shè)x1,x2∈(0,1)且x10.
所以g(x2)-g(x1)<0,g(x2)
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